數(shù)值分析課件第5章

1、機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 內(nèi)容提要5.1 引言與預(yù)備知識5.2 高斯消去法5.3 高斯列主元消去法5.4 矩陣三角分解法5.5 向量與矩陣的范數(shù)5.6 誤差分析機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 5.1 引言引言baxbbbxxxaaaaaaaaabxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnmnmnmmnnnn 簡簡記記為為矩矩陣陣形形式式線線性性方方方方程程組組212121222211121122112222212111212111機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 12323123 6 452112-xxxxxxxx例5用消去法解

2、方程組關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：1、直接解法：經(jīng)過有限次的算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組精確、直接解法：經(jīng)過有限次的算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組精確解的方法（若計(jì)算過程中沒有舍入誤差）。但實(shí)際計(jì)算中解的方法（若計(jì)算過程中沒有舍入誤差）。但實(shí)際計(jì)算中由由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得線性方程于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得線性方程組組的近似解。本章主要研究此類問題的解法。的近似解。本章主要研究此類問題的解法。2、迭代法：用某種極限過程去逐步逼近現(xiàn)行方程組精確解、迭代法：用某種極限過程去逐步逼近現(xiàn)行方程組精確解的方法。迭代法具有需要計(jì)算機(jī)的存儲

3、單元較少、程序設(shè)的方法。迭代法具有需要計(jì)算機(jī)的存儲單元較少、程序設(shè)計(jì)計(jì)簡單、原始系數(shù)矩陣在計(jì)算過程中始終不變等優(yōu)點(diǎn)。簡單、原始系數(shù)矩陣在計(jì)算過程中始終不變等優(yōu)點(diǎn)。機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 txba)3 , 2 , 1 (*)(656200140111)(1156140140111)(156122140111)(解解得得回回代代、求求解解消消去去第第二二列列消消去去第第一一列列解解 :機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 5.2 高斯消去法高斯消去法)2()2()2()2(2) 1 (1)2()2(2) 1 (1)2(2)2(22) 1 (12) 1 (11)0(

4、), 3 , 2() 1 () 1 (2) 1 (1) 1 () 1 (2) 1 (1) 1 (2) 1 (1) 1 (22) 1 (21) 1 (12) 1 (11) 1 () 1 (:00:) 1 ()1(11)1(11)1(11babbbaaaaaaabbbaaaaaaaaabanmnnnmaaamminmnnnmmii), 2(), 2;, 2()1(11)1()2()1(11)1()2(mibmbbnjmiamaaiiijiijij機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 )3()3()3()2(2) 1 (1)3()2(2) 1 (1)2(22) 1 (12) 1 (11)0

5、(), 3()2()2(2) 1 (1)2()2(2) 1 (1)2(2)2(22) 1 (12) 1 (11)2()2(:00000:) 2()2(22)2(22)2(212babbbaaaaaabbbaaaaaaabanmnnnaaamminmnnnmi), 3(), 3;, 3()2(22)2()3()2(2)2()3(mibmbbnjmiamaaiiijijijij機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ) 1() 1() 1()()2(2) 1 (1) 1()()()2(2)2(2)2(22) 1 (1) 1 (1) 1 (12) 1 (11)0(), 1()()()2(2)

6、 1 (1)()()()()2(2)2(2)2(22) 1 (1) 1 (1) 1 (12) 1 (11)()(:0:)()()()(2kkkmkkkmnkknkkknknkaaammkikmkkkmnkmkkknkkknknkkkbabbbbaaaaaaaaaabbbbaaaaaaaaaaabakkkkkkkkkik), 1(), 1;, 1()()() 1()()() 1(mkibmbbnkjmkiamaakkikkikikkjikkijkij機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 為為上上梯梯形形。其其中中價(jià)價(jià)的的簡簡單單方方程程組組最最后后得得到到與與原原方方程程組組等等步步消

7、消元元計(jì)計(jì)算算。直直到到完完成成第第繼繼續(xù)續(xù)上上述述過過程程）（1s1)(s1)(s,abxasn,)()()()(1)()()()(kkknkjjkkjkkknnnnnaxabxabx在求解三角方程組在求解三角方程組, ,得得)()()()2(2) 1 (1)()2(2)2(22) 1 (1) 1 (12) 1 (11)()()(:nnnnnnnnnnnbxabbbaaaaaabanm對對應(yīng)應(yīng)方方程程組組為為時(shí)時(shí)特特別別地地機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 。約約化化為為將將交交換換兩兩行行的的初初等等變變換換）過過高高斯斯消消去去法法（及及為為非非奇奇異異矩矩陣陣，則則可可通

8、通如如果果。，且且計(jì)計(jì)算算公公式式組組約約化化為為等等價(jià)價(jià)的的三三角角方方程程將將，則則可可通通過過高高斯斯消消去去法法如如果果其其中中設(shè)設(shè)定定理理)()2()()(), 2 , 1(0) 1 (,)(baxabaxnkarabaxkkknn 5高斯消去法的條件高斯消去法的條件), 2 , 1(0, 0)., 2 , 1(0), 2 , 1(01111111)(kiaaaadadkidakiaiiiiiiiii即即的的順順序序主主子子式式矩矩陣陣的的充充要要條條件件是是約約化化的的主主元元素素定定理理 6機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 得得計(jì)計(jì)算算解解不不可可靠靠。誤誤差差的的

9、擴(kuò)擴(kuò)散散，最最后后也也使使長長和和舍舍入入他他元元素素?cái)?shù)數(shù)量量級級的的嚴(yán)嚴(yán)重重增增用用其其作作除除數(shù)數(shù)，會會導(dǎo)導(dǎo)致致其其但但很很小小時(shí)時(shí)，；即即使使主主元元素素這這時(shí)時(shí)消消去去法法將將無無法法進(jìn)進(jìn)行行的的情情況況，在在消消元元過過程程中中可可能能出出現(xiàn)現(xiàn)由由高高斯斯消消去去法法知知道道00)()(kkkkkkaa,1234 020102232243017616256-xxxx用高斯列主元法解線性方例程組55.3 高斯主元素消去法高斯主元素消去法列主元消去法列主元消去法機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2311212578275429000911621175001131343110

10、65616633111112400933186117500113134311065616010201131343110431153506561607261020103423225616672056161034232210204321xxxxba故故解解 :機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 )2()1(1)2()1(1131211,1111bblaalmmmln5.4 矩陣三角分解法矩陣三角分解法 ax=b是線性方程組是線性方程組,a是是nn方陣方陣,并設(shè)并設(shè)a的各階順序主的各階順序主子式不為零。令子式不為零。令 a(1)=a,當(dāng)高斯消元法進(jìn)行第一步后當(dāng)高斯消元法進(jìn)行第一步后,相當(dāng)

11、于相當(dāng)于用一個(gè)初等矩陣左乘用一個(gè)初等矩陣左乘a(1) 。不難看出，這個(gè)初等矩陣為。不難看出，這個(gè)初等矩陣為機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 重復(fù)這個(gè)過程，最后得到重復(fù)這個(gè)過程，最后得到)1()()1()(, 1,1111kkkkkknkkkkbblaalmml一般地一般地)()1(111)()1(121nnnnbblllaalll機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 為為單單位位下下三三角角矩矩陣陣其其中中得得到到記記為為將將上上三三角角矩矩陣陣1111,321323121111211111211)(nnnnnnmmmmmmllllluulllaua 這就是說，高斯消去

12、法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個(gè)將這就是說，高斯消去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個(gè)將a分解為分解為兩個(gè)三角形矩陣相乘的因式分解，于是我們得到如下重要兩個(gè)三角形矩陣相乘的因式分解，于是我們得到如下重要定理。定理。機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ) 1 , 2, 1(/ )(/) 2 (), 3 , 2() 1 (11111nniuxuyxuyxniylbybyyuxblyiinikkiknnnnikkikii具具體體計(jì)計(jì)算算公公式式為為 a0aa )lu7(i唯唯一一的的。的的乘乘積積，且且這這種種分分解解是是一一個(gè)個(gè)上上三三角角矩矩陣陣和和角角矩矩陣陣可可分分解解為為一一個(gè)個(gè)單單位位下下三三，則則的的順

13、順序序主主子子式式階階矩矩陣陣，如如果果為為設(shè)設(shè)分分解解矩矩陣陣的的定定理理ulnidn) 1, 2 , 1(當(dāng)當(dāng)a進(jìn)行進(jìn)行l(wèi)u分解后，分解后，ax=b就容易解了就容易解了. 即即ax=b等價(jià)于等價(jià)于:機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 123 123142521831-2035xxx用直接三角分解法解例5ttttxuxyllua)3,2,1(,)72,10,14()72,10,14(,)20,18,14(2400410321153012001得得得得求求解解用用分分解解公公式式計(jì)計(jì)算算得得解解y :機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 nnnnnnnnnffffxxxx

14、bacbacbacb12112111122211 追趕法追趕法 在一些實(shí)際問題中，在一些實(shí)際問題中， 例如解常微分方程邊值問題，熱傳導(dǎo)方例如解常微分方程邊值問題，熱傳導(dǎo)方程以及船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)等，都會要求解系程以及船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)等，都會要求解系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角線方程組數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角線方程組機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 為為待待定定系系數(shù)數(shù)。、其其中中iii1111122111122211nnnnnnnnbacbacbacba機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ) 1 , 2 , 2, 1(), 3 , 2()/()(

15、/111111nnixyxyxyuxnibyfybfyflyiiiinniiiiiii解解解解 iiiiiiiiiinibniabcbc), 3 , 2() 1, 3 , 2()/(/1111i1計(jì)計(jì)算算公公式式的的過過程程稱稱為為趕趕的的過過程程。計(jì)計(jì)算算方方程程組組的的解解的的過過程程稱稱為為追追的的過過程程。及及計(jì)計(jì)算算系系數(shù)數(shù)111nnnxxxyyy212121機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1234 2200013200 013200013-42xxxx用追趕法解方程5組例.1111,1000,111111121212123100231002310022xyxuyby

16、lula :解解機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 5.5 向量和矩陣的范數(shù)向量和矩陣的范數(shù)定義定義1 ( 向量范數(shù)向量范數(shù)) x 和和 y 是是 rn 中的任意向量中的任意向量 , 向量范數(shù)向量范數(shù)是定義是定義在在 rn上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù), 它滿足它滿足:(1) x 0, 并且當(dāng)且僅當(dāng)并且當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)時(shí), x =0;(2) k x =|k| x , k 是一個(gè)實(shí)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù);(3) x + y x + y 常使用的向量范數(shù)有三種常使用的向量范數(shù)有三種,設(shè)設(shè) x=(x1,x2,xn)t 范范數(shù)數(shù)向向量量的的范范數(shù)數(shù)向向量量的的范范數(shù)數(shù)向向量量的的-212)(1max1

17、21211niiniiinixxxxxx機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 常使用的矩陣范數(shù)有三種常使用的矩陣范數(shù)有三種,設(shè)設(shè) x=(x1,x2,xn)t 的的最最大大特特征征值值。表表示示其其中中范范數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的矩矩陣陣的的列列范范數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的行行范范數(shù)數(shù)aaaaaaaaatttnijninjijni)(2)(maxmaxmaxmax1111- aa2i1）的的一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣范范數(shù)數(shù)（或或模模是是則則稱稱三三角角不不等等式式其其次次條條件件為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)正正定定條條件件，滿滿足足條條件件實(shí)實(shí)值值函函數(shù)數(shù)的的某某個(gè)個(gè)非非負(fù)負(fù)的的如如果果矩矩陣陣矩矩陣陣的的范范數(shù)數(shù)定定義義n

18、nnnranbaabbabacaccaaaaanra)()4()()3()()2()(00(0)()( a (1) 2機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 46.522115a7a,6a 21 解解：12aa-34設(shè)，計(jì)算 的各種范數(shù)。例例5 5- - - -5 5為為譜譜半半徑徑。）（稱稱），（的的特特征征值值為為設(shè)設(shè)定定義義ini1innmaxa,n21ira6 機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 bbaaxx)0b(bax1xabbaxbaxb,bx)a(x x,xbba111-1 于于是是設(shè)設(shè)于于是是則則，解解為為有有誤誤差差是是精精確確的的，設(shè)設(shè)小小擾擾動動、方

19、方程程組組得得右右端端項(xiàng)項(xiàng)有有微微5.6 誤差分析機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 bbaaxx bbx)a(x 0baxa 221 則則且且是是非非奇奇異異陣陣，設(shè)設(shè)定定理理a)aa(ia)(aaaaa)x(xa)(a bx)a)(x(a x,xaabaa2-1 可能奇異，而可能奇異，而不受限制的話，不受限制的話，如果如果則則，解為，解為有誤差有誤差是精確的，是精確的，設(shè)設(shè)有微小擾動有微小擾動、方程組系數(shù)矩陣、方程組系數(shù)矩陣機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 aaaa1aaaaxx1aa)a(a1xaax)aai (1aa2111-1111-1-1 ，即即得得設(shè)設(shè)因因此此存存在在，時(shí)時(shí)，知知，當(dāng)當(dāng)由由定定理理aaaa1aaaaxx, 1aabx)(x)aa( , 0baxa23111 則右式成立則右式成立如果如果且且為非奇異矩陣，為非奇異矩陣，設(shè)設(shè)定理定理機(jī)動上頁下頁首頁結(jié)束工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 22221( )20 ()(c ) =( )3( )1()()( )vvvacond aaccondacond aacond aarcond racond arcond a條件數(shù)常用性質(zhì)：、對任何非奇異矩陣 ，都有1、設(shè) 為非奇異陣且常數(shù) ，則 、如果 為正交矩陣，則；如果 為非奇異矩陣，為正交