第五節(jié)定積分

1、第五節(jié)第五節(jié) 定積分定積分一、問題的提出一、問題的提出區(qū)域區(qū)域R的面積的面積不能由一個不能由一個簡單公式給出簡單公式給出 (a)用包含用包含R的兩個矩形估計所求面積的上和的兩個矩形估計所求面積的上和（b）用四個矩形估計的面積更準確）用四個矩形估計的面積更準確（a）用區(qū)域）用區(qū)域R包含的三個矩形估計面積的下和包含的三個矩形估計面積的下和（b）用小矩形底邊中點的函數(shù)值作為高估計的）用小矩形底邊中點的函數(shù)值作為高估計的 面積精確度更高面積精確度更高將將0，1十六等分得到十六等分得到的面積下和與上和的面積下和與上和區(qū)域區(qū)域R的近似面積的近似面積子區(qū)間子區(qū)間數(shù)量數(shù)量下和下和中點對應和中點對應和上和上和a

2、bxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個分點，個分點，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iii

3、iixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時時，趨趨近近于于零零即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長長度度當當分分割割無無限限加加細細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設設某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tv

4、v 是是時時 間間 間間 隔隔,21TT上上t的的 一一 個個 連連續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù) ， 且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值（1）分割）分割 、近似、近似212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2

5、）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義

6、二、定積分的定義定義定義怎樣的分法，怎樣的分法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和（一）（一） 分割分割第第i個子區(qū)間個子區(qū)間第第i個子區(qū)間的長度為個子區(qū)間的長度為 x i=xi-xi-1xi-1xixixi-1xi（二）（二）

7、 近似近似12第第i個矩形個矩形in(2, f(2) )(i, f(i) )(n, f(n) )1, f(1)xi-1xi作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i（三）（三） 求和求和iinixfS )(1 ， （四）（四） 取極限取極限 baIdxxf)(iinixf )(lim10 注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而

8、與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.黎曼可積黎曼可積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定積分的幾何意義定積分的幾何意義幾何意義：幾何意義：積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 定理定理1 1定理定理2 2斷點，斷

9、點，則則)(xf在在,ba上可積上可積. . (證明證明略略) 定積分的存在定理定積分的存在定理nninin1lim21 ninin1231lim6) 12)(1(1lim3 nnnnn nnn121161lim.31 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx dxx 102解解O1 xyni2xy 注注121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定積分表示下列極限用定積分表示下列極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd11

10、0Ox1ni 1ni例例3 3 求極限求極限)12111(limnnnnn 解解nnnnnn1)11211111(lim 原原式式nninin111lim1 dxx 1011證明證明 nnnnfnfnf)()2()1(limlnnnnnfnfnf)()2()1(lim 試證試證.10)(ln dxxfe nnnnfnfnf)()2()1(lnlimnnifnin1)(lnlim1 10)(lndxxf小結小結定積分的實質定積分的實質：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以

11、直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 思考思考: 如何用定積分表示下述極限如何用定積分表示下述極限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1n1limsinnnn 1(1)limsinnnnn 0dsin1xx極限為 0 !一、一、 填空題：

12、填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關，而與有關，而與_的記法無關的記法無關 . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 baxdx，)(ba . .練練 習習 題題四、四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強壓強 P的的水水深深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若閘門高，若閘門高米米3 H，寬，寬米米2 L，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水壓力壓力P（見教材圖（見教材圖 5-35-3）.