2019年高考理科數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ理數(shù)(附參考答案和詳解)

1、第1頁（共13頁） 6 月 7 日 15:00-17:00 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷川） 數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類） 總分：150 分 考試時間：120 分鐘 ?？荚図樌?注意事項(xiàng)： 1、 本試卷分第 I卷（選擇題）和第 II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。 2、 選擇題的作答：選出每小題答案后，用 2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試 題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3、 填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿 紙、

2、答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4、 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。 第I卷 一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求 的。 1. （2019 全國卷川 -理）已知集合 A 1,0,1,2, B x|x2 1， 則 AI B () A. 1,0,1 B.0,1 C. 1,1 D.0,1,2 【解析】因?yàn)?B x| 2 x 1 x| 1 x 1，又 A 1,0,1,2，所以 AI B 1,0,1.故選 A 【答案】A 2. （2019 全國卷川 -理)若 z(1 i) 2i，則 z () A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1

3、 i 【解析】由 z（1 i） 2i，得 z 2i 2i(1 i) 2i(1 i) i(1 i) 1 i .故選 D 1 i (1 i)(1 i) 2 【答案】D 3. （2019 全國卷川 理） 西游記 三國演義 水滸傳不口紅樓 是中國古典文學(xué)瑰 并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了 100位 學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 90位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 80 位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 60位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生 人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（） A. 0.5 B. 0.6 C.0.7 D. 0.8 【解析】設(shè)調(diào)

4、查的 100 位學(xué)生中閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為 X,則x 80 60 90 ,解得x 70 , 所以該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校總?cè)藬?shù)的比值的估計值為 匹 0.7，故選 C.絕密啟用前 100 第2頁（共13頁） 【答案】C 4.（ 2019 全國卷川理）（1 2X2）（1 x）4的展開式中 x3的系數(shù)為（） A. 12 B.16 C.20 D. 24 【解析】（1 2X2）（1 X）4的展開式中X3的系數(shù)為 1 C4 2C4 12.故選 A. 【答案】A 5.（ 2019 全國卷川理） 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an的前4項(xiàng)和為 15,且 a 3a3 4a1，則 a3 () A. 16

5、 B.8 C.4 D. 2 ai 【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列 an的公比為 0,q 0, 2 3 . a1q a1q a1q 15, a1q4 3a1q2 4a1, 解得a1 q 1 l,所以 2, a3 qq2 4 .故選 C. 【答案】 6. （2019 全國卷川理） 已知曲線 y X ae xlnx 在點(diǎn)（1,ae）處的切線方程為 y 2X b, 則（） A. a e, b 1 B. a e , b 1 1 C. a e , b 1 D. a e 1 , b 【解析】y aex Inx 1 , k y |X 1 ae 1 , 所以切線方程為 y ae (ae 1)(X 1), 即 y （a

6、e 1）X 1 又因?yàn)榍芯€方程為 y 2x b, 第3頁（共13頁） 所以 J 1即a e1 , b 1故選 D. 2X3 在 X X 2 2 【答案】D y 6,6 的圖象大致為（ ) 第4頁（共13頁） 【答案】 A BM EN , 且直線 BM , EN是相交直線 B. BM EN , 且直線 BM , EN是相交直線 C. BM EN , 且直線 BM , EN是異面直線 D BM EN , 且直線 BM , EN是異面直線 【解析】取 CD 的中點(diǎn) O,連接 EO, ON.由厶 ECD是正三角形，平面 ECD 丄平面 ABCD，知 EO 丄平 面 ABCD，所以 EO 丄 CD ,

7、EO 丄 ON.又 N 是正方形 ABCD 的中心，所以 ON 丄 CD. uun 以 CD 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，ON 方向?yàn)?x正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 . 不妨設(shè) AD 2，則 E(0,0, 3) , N(0,1,0) , M -,0/ 3 , B( 1,2,0), 2 2 所以 |EN| 12 ( 3)2 2 , |BM | , 3 4 學(xué) 7 , 所以EN BM . 連接 BD, BE, 因?yàn)辄c(diǎn) N 是正方形 ABCD 的中心，所以點(diǎn) N 在 BD 上，且BN DN , 所以 BM , EN 是厶 DBE的中位線， 所以 BM, EN 必相交故選 B. 【解析】 因?yàn)?y f

8、(x)備,x 6,6，所以 f( x) 3 3 2( x) 2x x x x 2 2 2 f(x)，所以 f(x)是 奇函數(shù), 排除選項(xiàng) C.當(dāng)x 4時，y 2 43 24 2 4 128 16丄 16 (7,8), 排除選項(xiàng) A , D.故選 B. 8.( 2019 全國卷川 理)如圖，點(diǎn)N為正方形 M是線段ED的中點(diǎn)，則() ABCD 的中心，AECD為正三角形，平面 D ECD 平面 ABCD , E 第5頁(共13頁) s 1 丄丄】,x 丄,X 不成立; 【答案】B 9. （2019 全國卷川理）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 為0.01,則輸出 s 的值等于（） A. 2 1 24

9、 B. 2 C.2 26 1 D.2刁 【解析】 0.01, x 1,s 1 0,s 0 1 1,x ,x 2 不成立; 1 1 s 1 ,x , x 2 4 不成立; 1 ,x 4 1 ,x 8 不成立; j- 1 $=0 第6頁（共13頁） 2 4 8 16 此時輸出 s 2 +，故選 C. 2 【答案】C1 1 1 1 1 s 1 - ,x ,2 4 8 16 32 不成立; 1 1 1 1 1 1 s 1 - ,x 2 4 8 16 32 64 不成立; 1 1 1 1 1 1 1 s 1 - x 2 4 8 16 32 64 128 成立, 第7頁(共13頁) 2 2 10. (20

10、19 全國卷川理)雙曲線 C : - 1 的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上， 0為 4 2 【答案】A A. f log3 - 4 C. f 2 2 11. (2019 全國卷川理)設(shè) f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù), 且在 (0, )單調(diào)遞減，則() 【解析】因?yàn)?f(x)是定義域?yàn)?R 的偶函數(shù)，所以 f ( log3 4) f(log3 4)， 又因?yàn)?f(log34) 0，且函數(shù) f(x)在(0,)上單調(diào)遞增減, 所以 f 2 2 f log 3 1，故選 C. 4 【答案】C n 12. (2019 全國卷川理)設(shè)函數(shù) f(x) sin x ( 0)，已知 5 f(x)在0,2 n

11、有且僅有 5個零 點(diǎn)，下述四個結(jié)論： f(x)在(0,2 n有且僅有3個極大值點(diǎn)； f(x)在(0,2 n有且僅有2個極 小值點(diǎn)；f(x)在咤單調(diào)遞增；的取值范圍是器 其中所有正確結(jié)論的編號是 () A. B. C. D. 坐標(biāo)原點(diǎn)， |PO | |PF |，則 PFO的面積為() B.32 2 C.22 D. 3 2 【解析】雙曲線 1 的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為 G 6,0)，一條漸近線的方程為 2 y x，不妨設(shè)點(diǎn) P 在第一象限，由于 |P0| | PF |，則點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為 2 .6 3 一，即 PFO 的底邊 2 長為.6，高為乜 2 ，所以它的面積為1 6 3-2 .故選

12、 A. 2 B. f D. f 第8頁(共13頁) 有且僅有 3 個極大值點(diǎn), 0)在0,2 n 上有且僅有5個零點(diǎn)，如圖, 其圖像的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間 a,b)上，此時 f(x)在(0,2 n上 f (x)在(0,2 n上可能有 2 或 3 個極小值點(diǎn), 所以正確，不正確; x 0,2 n 時， x -,2 n 上，由 f (x)在0,2 n上有且僅有 5 5 5個零點(diǎn)可得 得的取值范圍是 12 5 29，所以正確；當(dāng) x 0,時, 10 10 n 10 49 n 100 所以 f(x)在陀 單調(diào)遞增，所以正確故選 D. 【答案】D 二、填空題: 本題共 4 小題，每小題 5 分。 13.

13、 ( 2019 全國卷川理)已知 a , b為單位向量， 若 c 2a 5b , cos a,c 【解析】由題意得 cos a,c |a|g2a ag(2a .5 b) 2| a |2 5ag) 5b| | a |g| 2a 5b |2 【答案】- 3 14. ( 2019 全國卷 川理)記 Sn為等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和 a 0 , a? 3 a , 0 S5 【解析】由 a1 0 , a2 3a1，可得 d 2a1 , 所以 S10 10a1 10 9 d 2 100q , S5 5a1 5 4 d 25a1, 2 所以 S|0 S5 第7頁（共13頁） 【答案】4 2 2 X y 15.

14、 （2019 全國卷川理）設(shè) Fi, F2為橢圓C : 1 的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象 36 20 限若 MF1F2為等腰三角形，則 M 的坐標(biāo)為 _ . 【解析】設(shè) F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn) M 在以 F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓 2 2 （x 4） y 64 上. 2 2 因?yàn)辄c(diǎn) M 在橢圓二 y 1 上, 36 20 【答案】（3, . 15） 16. （2019 全國卷川理）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用 3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方 體 ABCD-AB1CQ1挖去四棱錐 O-EFGH后所得的幾何體，其中 0為長方體的中心， E , F , G , H分別為所

15、在棱的中點(diǎn)，AB BC 6cm , AA 4cm , 3D打印所用原料密度為 0.9g / cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 _ g . j a 【解析】由題知，挖去的四棱錐的是一個菱形，對角線長分別是 6 cm 和 4 cm, 又 V長方體 6 6 4 144(cm3), 所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為 132 0.9 118.8（g）. 【答案】118.8 三、解答題：本題共 70 分。 17. （2019 全國卷川理）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將 200只 所以聯(lián)立方程可得 (x 4)2 36 20 2 y 1, 64, 解得 x 3, y

16、 15. 又因?yàn)辄c(diǎn) M 在第一象限，所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（3, 15）. 故 V挖去的四棱錐 1 1 4 6 3 12(cm3). 3 2 所以模型的體積為 V長方體 V挖去的四棱錐 3 144 12 132(cm3), 第10頁(共13頁) 小鼠隨機(jī)分成 A , B 兩組，每組100只，其中 A 組小鼠給服甲離子溶液， B 組小鼠給服乙離子溶第7頁（共13頁） 解得b 0.10. (2 )由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為： 0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05. 乙離子殘留百分比的平均值為： 0.05 3 0.10 4

17、0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6. 18. ( 2019 全國卷川理)AABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為 a , b , c .已知 .A C asi n 2 (1) 求 B ; (2) 若厶 ABC為銳角三角形，且 c 1，求 ABC面積的取值范圍. A C 【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得 sinAsin - sinBsinA . 2 因?yàn)?sinA 0, 所以 .A sin sinB . 2 由A B C 180o，可得 sin A C B , cos ，故 B cos B B 2sin cos 2 2 2 2 2 B B 1 bsinA . 液每只小

18、鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘 留在小鼠體內(nèi)離子的百分比根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件： 乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5 ”，根據(jù)直方圖得到 P(C)的估計值為 0.70 (1) 求乙離子殘留百分比直方圖中 a , b的值； (2) 分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表). 【解析】(1)由題得a 0.20 0.15 0.70. 解得a 0.35. 由 0.05 b 0.15 1 P(C) 1 0.70. 第12頁(共13頁) 因?yàn)?cos 0，故 sin,因此 B 60o . 2 2 2第

19、13頁(共13頁) 由于 ABC為銳角三角形，故 0o A 90 , 0o 30 C 90，故 1 a 2，從而二 SAABC 2 8 2 19. (2019 全國卷川理)圖 1是由矩形 ADEB , RtAABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其 中AB 1 , BE BF 2 , FBC 60 將其沿 AB , BC折起使得 BE與BF重合，連接 DG , 如圖2 (1) 證明：圖2中的A , C , G , D四點(diǎn)共面，且 平面 ABC 平面 BCGE ; (2) 求圖2中的二面角 B-CG-A的大小. 【解析】(1 )由已知得 ADPBE , CGPBE , 所以AD PCG , 故

20、AD , CG確定一個平面，從而 A , C , G , D四點(diǎn)共面. 由已知得 AB BE , AB BC，故 AB 平面 BCGE . 又因?yàn)锳B 平面 ABC , 所以平面 ABC 平面 BCGE . (2)作EH BC，垂足為H 因?yàn)镋H 平面 BCGE ,平面 BCGE 平面 ABC , 所以EH 平面 ABC . 由已知，菱形 BCGE的邊長為2 , EBC 60，可求得BH 1 , EH 3 . luir 以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC 的方向?yàn)?x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 H xyz, l unr - uuir 則 A( 1,1,0), C(1,0,0) , G(2,0,

21、 .3) , CG (1,0, 3) , AC (2, 1,0).(2)由題設(shè)及( 由正弦定理得 a csinA si n(12C C) 4 3 1 si nC si nC 2ta nC 2 C 90，由(1 )知 A C 120，所以 因此， ABC面積的取值范圍是 V3 V3 _8,-2_ 1 )知 AABC 的面積 SAABC a - 第14頁(共13頁) 設(shè)平面 ACGD的法向量為 n (x, y,z)，則 所以可取 n (3,6, , 3). 又平面BCGE的法向量可取為 m (0,1,0), 因此二面角B-CG-A的大小為 30o . 3 2 20. (2019 全國卷川理)已知函

22、數(shù) f (x) 2x ax b . (1) 討論 f (x)的單調(diào)性； (2) 是否存在 a , b，使得 f(x)在區(qū)間0,1的最小值為 1且最大值為1?若存在，求出 a 所有值；若不存在，說明理由. (1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a), 令 f (x) 0 ,得 x 0 或 x a , 3 a 若 a 0,則當(dāng) x ( ,0) U , 時，f (x) 0 ； 3 當(dāng) x 0,a 時，f (x) 0 , 3 故 f (x)在(，0),-, 單調(diào)遞增，在 0,-單調(diào)遞減; 3 3 若a 0 , f(x)在(，)單調(diào)遞增； 若 a 0 ,則當(dāng) x ， U (0,)時，f (x)

23、 0 ； 3 當(dāng) x a,0 時，f (x) 0 , 3 故 f (x)在 ，a , (0,)單調(diào)遞增，在 -,0 單調(diào)遞減. 3 3 (2) 滿足題設(shè)條件的 a , b存在. (i) 當(dāng)a 0時，由(1)知， f (x)在0,1單調(diào)遞增， 所以 f (x)在區(qū)間0,1的最小值為 f (0) b，最大值為 f(1) 2 a b . 此時 a , b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) b 1, 2 a b 1,即 a 0, b 1 (ii )當(dāng)a 3時，由(1)知， f(x)在0,1單調(diào)遞減， iur CG n iur AC n 0,即 x 3z 0, 0, 2x y 0. 所以 cosn, m n m |n

24、|m| 第15頁(共13頁) 所以 f(x)在區(qū)間0,1的最大值為 f (0) b，最小值為 f(1) 2 a b . 此時 a , b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) 2 a b 1, b 1，即 a 4, b 1 . 2 第11頁（共13頁） (iii )當(dāng) 0 3時，由（ 知，f（x）在0,1的最小值為 f - 3 3 b，最大值為b或 27 a b . 3 a 27 3 a 27 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a 33 2，與0 a 3矛盾. 則 a 33 或 a 3 3 或a 0 ,與0 a 3矛盾. 1 或 a 4 , b 1 時, f （x）在0,1的最小值為1，最大值為 21. （2019 全國卷川理）已

25、知曲線 C : 2 y 7，D為直線y 1 -上的動點(diǎn)，過 D作C的兩條切 2 線，切點(diǎn)分別為A , B. （1）證明：直線AB過定點(diǎn); （2）若以 E 0,5為圓心的圓與直線 2 AB相切，且切點(diǎn)為線段 AB的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE的面 積. 【解析】（1 ）設(shè) D t, 1 2 ，A(X1,yJ，則 2 X1 由于 y x，所以切線 DA的斜率為為 y1 ，故 1 2 x(. 整理得 2tx1 2y1 1 0 . 設(shè) B（X22），同理可得 2 牧2 故直線AB的方程為 2tx 2y 2y2 1 所以直線AB過定點(diǎn) 1 0,- 2 （2 ）由（1）得直線AB的方程為 y tx tx 2

26、2 可得 x2 2tx 1 0 . X 2 工曰 于是 X1 X2 2t, X1X2 1 , y1 y2 AB 1 t t(X1 X2) 1 2t2 1 , 2為 X2 . 1 t2 ,(X| X2)2 4x2 2 2(t 1). 設(shè) d1 , d2分別為點(diǎn)D , E到直線AB的距離，則 d1 .t2 1 , d2 t2 1 因此，四邊形 ADBE的面積 S 1AB(d1 d2) (t2 3)譏2 1 . 2 第17頁(共13頁) 所以M 1的極坐標(biāo)方程為 2cos 0 冗 4 M 2的極坐標(biāo)方程為 n :2si n 4 3 冗 4 M3的極 E坐標(biāo)方程為 c 3 n 2cos n 4 (2)設(shè) P(,)，由題設(shè) 及(1 )知： 若 0 n -，貝V 2cos 3，解得 冗 4 6 若丄 35，則 2sin 3，解得 -或 4 4 3 3 n 右一 n，則 2cos 3，解得 5 n 4 6 綜上， P的極坐標(biāo)為 .3,-或. 3,- 或一 3, 寺或嗎. 設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，貝 U M t,t2 1 2 uuur uuu Luu c mu 由于 EM