數字信號處理第三版第二章

1、第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 第第2章章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質序列的傅里葉變換的定義及性質 2.3 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式2.4 時域離散信號的傅里葉變換與模擬時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換信號傅里葉變換之間的關系之間的關系 2.5 序列的序列的z變換變換 2.6 利用利用z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散

2、系統(tǒng) 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質序列的傅里葉變換的定義及性質 2.2.1 序列傅里葉變換的定義序列傅里葉變換的定義 定義定義()( )jj nnx ex n e(2.2.1) 為序列為序列x(n)的傅里葉變換，用的傅里葉變換，用ft(fourier transform)表表示。示。 ft成立的成立的充分必要條件充分必要條件是序列是序列x(n)絕對可和，即滿絕對可和，即滿足下式：足下式： ( )nx n (2.2.2) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) ft反變換定義為：反變換定義為：(2.2.4) (2.2.1)和和(2.2.4)式組成式組成一對傅里葉

3、變換公式一對傅里葉變換公式。一些絕對不可和的序列（如周期序一些絕對不可和的序列（如周期序列），其傅里葉列），其傅里葉變換可用沖激函數的形式表示出來。變換可用沖激函數的形式表示出來。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【例例2.2.1】設x(n)=rn(n)，求x(n)的傅里葉變換。解解 當n=4時，其幅度與相位隨頻率的變化曲線如圖2.2.1所示。 )2/sin()2/sin(e )ee (e)ee (ee1e1 ee )()e (2)1( j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjnnrxnnnnnnnnnn第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散

4、信號和時域離散系統(tǒng) 圖2.2.1r4(n)的幅度與相位曲線 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.2.2 序列傅里葉變換的性質序列傅里葉變換的性質1. ft的周期性的周期性 在定義式在定義式(2.2.1)中，中，n取整數，下式成立：取整數，下式成立： (2)()( ),jjm nnx ex n em為整數為整數 (2.2.6) 序列的傅里葉變換是頻率序列的傅里葉變換是頻率的周期函數，周期是的周期函數，周期是2。 這樣這樣x(ej)可可以展成傅里葉級數，以展成傅里葉級數，(2.2.1)式就是傅里葉級式就是傅里葉級數的形式，數的形式，x(n)是其系數。是其系數。 (

5、)( )jj nnx ex n e由于由于ft的周期性，一般的周期性，一般只分析只分析或或02之間的之間的ft第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2. 線性線性 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjx eft x nxeft x nft ax nbx nax ebxe則則 設設 式中式中a, b為常數。為常數。 3. 時移與頻移時移與頻移 設設x(e j) = ftx(n)，則：，則：(2.2.7)0000( ()()( )()j njjnjft x nnex eft ex nx e (2.2.8) (2.2.9) ）第第1章章 時

6、域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4. 對稱性對稱性 先了解先了解共軛對稱共軛對稱與與共軛反對稱共軛反對稱以及它們的性質：以及它們的性質： 定義：定義：設序列設序列xe(n)滿足滿足 xe(n)=x*e(-n) 則稱則稱xe(n)為共軛為共軛對稱序列對稱序列。共軛對稱序列的共軛對稱序列的性質性質： 將將xe(n)用其實部與虛部表示：用其實部與虛部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n) 兩邊兩邊 n 用用 n 代替，并取共軛，得：代替，并取共軛，得： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n)

7、 = -xei(-n) (2.2.12)v 共軛對稱序列其實部是偶函數，而虛部是奇函數。共軛對稱序列其實部是偶函數，而虛部是奇函數。對比兩式，對比兩式，得：得：第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 共軛反對稱序列的共軛反對稱序列的性質性質： 將將x0(n) 用實部與虛部表示：用實部與虛部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得：得： xor(n) = -xor(-n) (2.2.14) xoi(n) = xoi(-n) (2.2.15)v 共軛反對稱序列的實部是奇函數，共軛反對稱序列的實部是奇函數， 而虛部是偶函數而虛部是偶函數。定義：定義：滿足下式

8、的序列稱滿足下式的序列稱共軛反對稱序列：共軛反對稱序列： xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) v 一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示， 即：即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.16) xe(n), xo(n)可以分別用原序列可以分別用原序列x(n)求出求出 將將(2.2.16)式中的式中的n用用-n代替，代替， 再取共軛得到：再取共軛得到： x*(-n) = xe(n)-xo(n) (2.2.17) 比較兩式，比較兩式， 得得 ：1( ) (

9、)()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.19) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 在頻域，函數在頻域，函數x(ej)也有類似的概念和結論：也有類似的概念和結論： x(ej) = xe(ej)+xo(ej) (2.2.20) 共軛對稱部分共軛對稱部分xe(ej)和共軛反對稱部分和共軛反對稱部分xo(ej) 滿足：滿足： xe(ej) =x*e(e-j) (2.2.21) xo(ej) = -x*o(e-j) (2.2.22) 同樣有下面公式：同樣有下面公式： 1()()()21()()()2jjjejjjoxe

10、x exexex exe(2.2.23) (2.2.24) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) ft的對稱性的對稱性 (a) 將序列將序列x(n)分成實部分成實部xr(n)與虛部與虛部xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 進行進行ft，得：，得： x(e j) = xe(e j) + xo(e j) 式中式中 xr(n)和和xi(n)都是實數序列。都是實數序列。xe(ej) 具具有共軛對稱性，其實部是偶函數，虛部是奇函數。有共軛對稱性，其實部是偶函數，虛部是奇函數。 xo(ej) 具有共軛反對稱性質，其實部是奇函數，虛部是偶函數。具有共軛反對稱性

11、質，其實部是奇函數，虛部是偶函數。 結論結論： x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j) + xo(e j)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) (b) 將序列分成共軛對稱部分將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部和共軛反對稱部分分xo(n)，即：，即： x(n) = xe(n)+xo(n) (2.2.25) 由由(2.2.18)式和式和(2.2.19)式：式： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn 將上面兩式分別進行將上面兩式分別進行ft，得：，得： ftxe(n)=1/2x(

12、ej)+x*(ej)= rex(ej)= xr(ej) ftxo(n)=1/2x(ej) -x*(ej)= jimx(ej)= jxi(ej) 因此對因此對(2.2.25)式進行式進行ft得到：得到： x(ej) = xr(ej)+jxi(ej) (2.2.26)結論結論： x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) x(n) = xe(n) + xo(n) x(ej) = xr(ej) + jxi(ej)x(n) = xr(n) + jxi(n) x(e j) = xe(e j)

13、+ xo(e j)利用利用ft的對稱性的對稱性，可得以下四個結論：可得以下四個結論：（1） x(n)為為實序列實序列（xi(n)=0），得），得x(ej) = xe(ej)為共軛為共軛對稱函數，即對稱函數，即 x(ej) = x*(e-j)（2） x(n)為為實偶序列實偶序列（ xi(n)=0且且x(n)= x(-n)，x0(n)=0），），得得x(ej)為實偶函數，即為實偶函數，即 x(ej) = x(e-j)（3） x(n)為為實奇序列實奇序列（xi(n)=0且且x(n)= -x(-n)，xe(n)=0），），得得x(ej)為純虛奇對稱函數，即為純虛奇對稱函數，即 x(ej) = x*(e

14、-j)=-x(e-j)（4） x(n)為為實因果序列：實因果序列：x(n)= xe(n) +xo(n) ，0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnxee或：或：0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2x(n)+ x(-n) x o(n)=1/2x(n) - x(-n)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 對對實因果序列實因果序列，只要知道，只要知道xr(ej) ，就可求得，就可求得x(n)，過程如下：過程如下：已知已知：xr(ej)=ftxe(n) xe(n) x(n) x(ej) 已知已知xi(ej)和和 x(0) ：jxi

15、(ej) xo(n) x(n) x(ej)v 對實對實因果因果序列：序列：其傅里葉變換其傅里葉變換x(ej)的實部的實部包含了包含了x(ej)或或x(n)的全部信息，即的全部信息，即x(ej) 中有冗余信息中有冗余信息。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例例 2.2.3 x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函數求其偶函數xe(n) 和和奇函數奇函數xo(n)。 解：解： x(n) = xe(n)+xo(n)(0),01( ),021(),02xnx nnxnn( )ex n 1,01,021,02nnnanan第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散

16、信號和時域離散系統(tǒng) 5. 時域卷積定理時域卷積定理 設設 y(n)=x(n)*h(n), 則則 y(e j)=x(e j)h(e j) (2.2.32) 定理說明，定理說明， 兩序列卷積的兩序列卷積的ft，服從相乘的關系。，服從相乘的關系。 對對lti系統(tǒng)，其輸出的系統(tǒng)，其輸出的ft等于輸入信號的等于輸入信號的ft乘以單位脈乘以單位脈沖響應的沖響應的ft。 因此因此求系統(tǒng)的輸出求系統(tǒng)的輸出信號，信號， (1)可以在時域用卷積公式可以在時域用卷積公式(1.3.7)； (2)可以在頻域按照可以在頻域按照 (2.2.32)式，求出輸出的式，求出輸出的ft，再作逆，再作逆ft求出輸出信號。求出輸出信號

17、。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 6. 頻域卷積定理頻域卷積定理 設設y(n) = x(n)h(n)，則：，則：(2.2.33) 定理說明，定理說明，在時域兩序列相乘，對應在時域兩序列相乘，對應頻域為頻域為卷積關系。卷積關系。 7. 帕斯維爾帕斯維爾(parseval)定理定理 定理說明定理說明，信號時域的總能量等于頻域的總能量信號時域的總能量等于頻域的總能量。這里頻域總能量是指這里頻域總能量是指|x(e j)|2在一個周期中的積分再乘以在一個周期中的積分再乘以1/(2)。(2.2.34) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.

18、3 周期序列的離散傅里葉級數周期序列的離散傅里葉級數 及傅里葉變換表示式及傅里葉變換表示式 2.3.1 周期序列的離散傅里葉級數周期序列的離散傅里葉級數 設設 是以是以n為周期的周期序列，為周期的周期序列， 由于周期性，由于周期性， 可以展成傅里葉級數：可以展成傅里葉級數：( )x n2( )jknnkkx na e(2.3.1)式中式中ak是傅里葉級數的系數。是傅里葉級數的系數。-k1 x(z)存在的條件是存在的條件是|z-1|1， 由由x(z)表達式表明，極點是表達式表明，極點是z=1，單位圓上的，單位圓上的z變換不存變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，在，或者說

19、收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用更不能用(2.5.4)式求式求ft。該序列的該序列的ft不存在，但如果引進奇異函數不存在，但如果引進奇異函數()，其傅里，其傅里葉變換可以表示出來葉變換可以表示出來(見表見表2.3.2)。該例說明該例說明一個序一個序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內內z變換是存在的。變換是存在的。 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.5.2 序列特性對收斂域的影響序列特性對收斂域的影響 序列的特性決定其序列的特性決定其z變換收斂域，了解序列特性與收變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一些關系

20、，有助于斂域的一些關系，有助于z變換的使用。變換的使用。 x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它其它其其z變換為：變換為：21( )( )nnn nx zx n z1. 有限長序列有限長序列 如序列如序列x(n)滿足：滿足： 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) x(n)為有界序列為有界序列，由于是有限項求和，除，由于是有限項求和，除0與與兩點是兩點是否收斂與否收斂與n1、n2取值有關外，整個取值有關外，整個z平面均收斂。平面均收斂。 若：若：n10，出現，出現z-n項，則收斂域不包括項，則收斂域不包括z=0點；點；如果是因果序列，收斂域包括如果是因果序列，收斂

21、域包括z=點。點。v有限長序列的收斂域表示如下：有限長序列的收斂域表示如下：21( )( )nnn nx zx n zn10， n20， 0|z|:n10， 00， 0|z|:第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例例 2.5.2 求求x(n)=rn(n)的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。解解： 1101( )( )1nnnnnnnzx zrn zzz這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0z。 從從x(z)的分母看到的分母看到z=1似乎是似乎是x(z)的極點，但同時分子的極點，但同時分子多項式在多項式在z=1時也有一個零點

22、，極零點對消，時也有一個零點，極零點對消，x(z)在單位圓在單位圓上仍存在。上仍存在。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2. 右序列右序列 右序列是在右序列是在nn1時，序列值不全為零，而在時，序列值不全為零，而在nn1 時，時，序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。 v第一項為有限長序列，設第一項為有限長序列，設n1-1，其收斂域為，其收斂域為0|z|。 v第二項為因果序列，其收斂域為第二項為因果序列，其收斂域為rx-|z|，rx-是第二項是第二項最小的收斂半徑。最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為將兩收斂域相與，其收斂域為rx- |z|。如果是因果序

23、列，如果是因果序列， 收斂域定為收斂域定為rx- |z|。 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) v 如果如果n20, z=0點收斂，點收斂，z=點不收斂，其收斂域為點不收斂，其收斂域為0|z|0，則收斂域為，則收斂域為0|z|n2， 序列值全為零的序列。序列值全為零的序列。 其其z變換為：變換為： 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4. 雙邊序列雙邊序列 一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之一個雙邊序列可以看作一個左序列和一個右序列之和，其和，其z變換為：變換為：x(z)的收斂域是的收斂域是x1(z)和和x2(z)收斂域的公

24、共收斂區(qū)域。收斂域的公共收斂區(qū)域。v 如果如果rx+rx-，其收斂域為，其收斂域為rx-|z|rx+ ，這是一個環(huán)狀域，這是一個環(huán)狀域v 如果如果rx+ rx- ，兩個收斂域沒有公共區(qū)域，兩個收斂域沒有公共區(qū)域，x(z)沒有收斂沒有收斂域，域， 因此，因此，x(z)不存在。不存在。 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例例2.5.5x(n)=a|n|, a為實數，求為實數，求x(n)的的z變換及其收變換及其收斂域。斂域。解解第一部分收斂域為第一部分收斂域為|az|1，得，得|z|a|1; 第二部分收斂域為第二部分收斂域為|az1|a|。如果。如果|a|1, 兩部分

25、的公共收斂域為兩部分的公共收斂域為|a|z|a|1, 其其z變換如下式變換如下式:如果如果|a|1，則無公共收斂域，因此，則無公共收斂域，因此x(z)不存在。當不存在。當0aa，求其逆，求其逆z變變換換x(n)。解解： 用留數定理求解，用留數定理求解， 要先找出要先找出f(z)的極點，的極點，極點有：（極點有：（1）z=a （2）當）當n0時，時，z=0也是極點也是極點其中極點其中極點z=0與與n的取值有關：的取值有關：n0時，時，n=0不是極點。不是極點。 n0時，時，z=0是一個是一個n階極點。階極點。 因此要因此要分成分成n0和和n0兩種情況求兩種情況求x(n)。 第第1章章 時域離散信

26、號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （1）n0 時，只有一個時，只有一個極點極點：( )re ( ), ()nz anx ns f z azzazaa （2）n0時，增加時，增加z=0的的n階極點，不易求留數，采用留數輔階極點，不易求留數，采用留數輔助定理求解，檢查助定理求解，檢查(2.5.10)式是式是否滿足，由于否滿足，由于n0，只要，只要n-m0，(2.5.10)式就滿足。式就滿足。 本例滿足本例滿足(2.5.10)式。式。n-m-n1 (2.5.10)圖圖 2.5.4 例中例中na，根據前面分析的序，根據前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，列特性對收斂域的影響知道，x(n)一

27、定是因果的右序列，這一定是因果的右序列，這樣樣n0部分一定為零，無需再求。部分一定為零，無需再求。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例例2.5.7已知已知, 求其求其逆變換逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列列x(n)，必須先確定收斂域。分析，必須先確定收斂域。分析x(z)， 得到其極點得到其極點分布如圖分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個極點：所示。圖中有兩個極點：z=a和和z=a1，這樣收斂域有三種選法，它們是這樣收斂域有三種選法，它們是 （1） |z|a1|，對應的，對應的x(n)是因果序列；是因

28、果序列；（2） |z|a|，對應的，對應的x(n)是左序列；是左序列；（3） |a|z|a1|:這種情況的原序列是因果的右序列，無須求這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n0時的時的x(n)。當。當n0時，時，f(z)在在c內有兩個極點：內有兩個極點：z=a和和z=a1，因此因此2111( )(1)(1)naf zzazaz211()()naza za za第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 最后表示成：最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a12211(1)(1)()()()(1)()(

29、)nnz az aazazzazazaaza za zannaa第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （2） 收斂域為收斂域為|z|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算這種情況原序列是左序列，無須計算n0情況。實情況。實際上，當際上，當n0時，圍線積分時，圍線積分c內沒有極點，因此內沒有極點，因此x(n)=0。n0時，時，c內只有一個極點內只有一個極點z=0，且是，且是n階極點，改求階極點，改求c外外極點留數之和。極點留數之和。n0時時, 1( )res ( ), res ( ),x nf z af z a 122111(1)(1)()()()()()()nnz

30、az aazazzazaa za zaa za za ()nnnnaaaa 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 最后將最后將x(n)表示成封閉式：表示成封閉式：x(n)=(anan)u(n1)（3） 收斂域為收斂域為|a|z|a1|:這種情況對應的這種情況對應的x(n)是雙邊序列。根據被積函數是雙邊序列。根據被積函數f(z)，按，按n0和和n0兩種情況分別求兩種情況分別求x(n)。n0時，時，c內只有內只有1個極點：個極點：z=a, x(n)=resf(z), a=ann0時，時，c內極點有內極點有2個，其中個，其中z=0是是n階極點，改求階極點，改求c外極點留數

31、，外極點留數，c外極點只有外極點只有z=a1， 因此因此x(n)=resf(z), a1=an最后將最后將x(n)表示為表示為即即 x(n)=a|n|0( )0nnanx nan第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.5.4 z 變換的性質和定理變換的性質和定理1. 線性線性 設設 x(z)=ztx(n), rx- |z| rx+ y(z)=zty(n), ry- |z| ry+ 則則 zt a x(n)+b y(n) =ax(z)+by(z), r m-|z|r m+ (2.5.15)其中：其中： rm+= min rx+ ,ry+ rm-= max rx- ,

32、ry-即即z變換的收斂域變換的收斂域(rm-，rm+)是是x(z)和和y(z)的公共收斂域，的公共收斂域，若無公共收斂域則若無公共收斂域則z變換不存在。變換不存在。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2. 序列移位序列移位 設設 x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ 則則 ztx(n-n0)= z-n0x(z), r x-|z|r x+ (2.5.16)3. 乘指數序列乘指數序列 設設 x(z)=ztx(n), r x-|z|r x+ y(n)=anx(n), a為常數為常數 則則 y(z)=ztanx(n) =x(a-1 z) |a|r x- |z|

33、 |a|r x+ (2.5.17)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4. 序列乘序列乘n 設設 ( ) ( )( )( )xxxxx zzt x nrzrdx zzt nx nzrzrdz 則則(2.5.18) 5. 復序列的共軛復序列的共軛 設設6. 初值定理初值定理 設設 x(n)是因果序列，是因果序列，x(z)=ztx(n)(0)lim( )xxx z(2.5.20) 則則第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 7. 終值定理終值定理 若若x(n)是因果序列，其是因果序列，其z變換的極點，除可以變換的極點，除可以有一個有一個一階極

34、點在一階極點在z=1上上，其它極點均，其它極點均在單位圓內，則在單位圓內，則 ：終值定理也可用終值定理也可用x(z)在在z=1點的留數表示：點的留數表示：如果單位圓上如果單位圓上x(z)無極點，則無極點，則x()=0。 (2.5.22) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 9. 復卷積定理復卷積定理如果如果 ztx(n)= x(z)， r x-|z|r x+ zty(n)= y(z), r y-|z|r y+ w(n) = x(n)y(n)則則w(z)的收斂域的收斂域 (2.5.24) (2.5.25)8. 序列卷積序列卷積 設設 第第1章章 時域離散信號和時域離

35、散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 10. 帕斯維爾帕斯維爾(parseval)定理定理 那么那么 v 平面上，平面上，c 所在的收斂域為：所在的收斂域為：11max(,)min(,)xxyyrvrrr設設 (2.5.27)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.5.5 利用利用z變換解差分方程變換解差分方程 用用z變換求解差分方程，將差分方程變成了代數方程，變換求解差分方程，將差分方程變成了代數方程，使求解過程簡單。使求解過程簡單。 n階線性常系數差方程為：階線性常系數差方程為：利用線性和序列移位性利用線性和序列移位性對于對于n階差分方程，求其解必須已知階差分方程

36、，求其解必須已知n個初始條件。個初始條件。 設設x(n)是因果序列（是因果序列（x(n)=0,nmax(|a|,|b|)1111( )2(),0nnny nbabnab式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。11111bzbazaba|,*2bzwhenbbn第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.6.2 用系統(tǒng)函數的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性用系統(tǒng)函數的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果因果(可實現可實現)系統(tǒng)系統(tǒng)其單位脈沖響應其單位脈沖響應h(n)一定滿足當一定滿足當n0時，時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數，那

37、么其系統(tǒng)函數h(z)的收斂域一定包含的收斂域一定包含點，點，即即點不是極點，極點分布在某個圓的圓內，點不是極點，極點分布在某個圓的圓內，收斂域在某收斂域在某個圓外。個圓外。( )nh n 穩(wěn)定穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)要求要求 ，對照，對照z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求要求收斂域包含單位圓收斂域包含單位圓。 如果如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含，收斂域包含點和單位圓，那點和單位圓，那么收斂域可表示為：么收斂域可表示為： r|z|， 0r1 v 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，h(z)的極點集中在單位的極點集中在單位圓圓的內部。的內部。v 具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數的具體系統(tǒng)

38、的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數的極點分布極點分布確定。確定。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例例2.6.1 已知已知 ，分析其因果性分析其因果性和穩(wěn)定性。和穩(wěn)定性。211( ),01(1)(1)ah zaazaz解：解：h(z)的極點為的極點為z=a，z=a-1，如圖所示。，如圖所示。 (1)收斂域收斂域a-1|z|，對應的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂，對應的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應：域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應：h(n)=(an-a-n)u(n)(見例題見例題2.5.7)，這是一個因果序列，但不收

39、斂。，這是一個因果序列，但不收斂。 (2)收斂域收斂域0|z|a，對應的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其，對應的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應單位脈沖響應h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(見例題見例題2.5.7)，這是一個非因，這是一個非因果且不收斂的序列。果且不收斂的序列。 (3)收斂域收斂域a|z|a-1，對應的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于，對應的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖，這是一個收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示所示。第第

40、1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 下面分析本例這種系統(tǒng)的下面分析本例這種系統(tǒng)的可實現性可實現性：在在h(z)h(z)的三種收斂域中，前二種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；的三種收斂域中，前二種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；在最后一種收斂域中，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體在最后一種收斂域中，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實現。實現。嚴格地講，這種系統(tǒng)是無法具體實現的。嚴格地講，這種系統(tǒng)是無法具體實現的。但是我們利用數字系統(tǒng)或計算機的存貯性質，可以近似實但是我們利用數字系統(tǒng)或計算機的存貯性質，可以近似實現第三種情況。現第三種情況。方法方法：將圖：將圖2.6.1(a)2.6.1(a)的的

41、h(n)h(n)從從-n-n到到n n截取一段，再向右移，截取一段，再向右移，形成如圖形成如圖2.6.1(b)2.6.1(b)所示的所示的h(n)h(n)序列，將序列，將h(n)h(n)作為具體實現作為具體實現的系統(tǒng)單位脈沖響應。的系統(tǒng)單位脈沖響應。n n愈大，愈大，h(n)h(n)表示的系統(tǒng)愈接近表示的系統(tǒng)愈接近h(n)h(n)系統(tǒng)。系統(tǒng)。具體實現時，預先將具體實現時，預先將h(n)h(n)存貯起來，備運算時應用。存貯起來，備運算時應用。v這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實現性，是數字信號處理技這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實現性，是數字信號處理技術比模擬信息處理技術優(yōu)越的地方。術比模擬信息處理技術優(yōu)

42、越的地方。第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2.6.3 利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將將(2.6.2)式因式分解，得：式因式分解，得： 式中：式中：a=b0/a0，影響傳輸函數的幅度大小；，影響傳輸函數的幅度大??； cr是是h(z)的的零點零點，dr是其是其極點極點。 零點零點cr和極點和極點d 的分布影響系統(tǒng)的特性。的分布影響系統(tǒng)的特性。 下面用幾何方法來研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特下面用幾何方法來研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。性的影響。將將(2.6.4)式分子分母變?yōu)檎齼绱?，得：式分子分母變?yōu)檎齼?/p>

43、次，得：00( )( )( )miiiniiibzy zh zx za z(2.6.4) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 11()11()( )()()()()mrn mrnrrmjrjjn mrnjrrzch zazzdech eaeed設系統(tǒng)穩(wěn)定，將設系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=e j，得到頻率響應函數：，得到頻率響應函數： (2.6.5) (2.6.6) 若若n=m，則：，則：(2.6.7)第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) jrrjrrc becd bed 和和 分別稱為零點矢量和極點矢量，將它們用分別稱為零點矢量和極點矢量，將它們用極坐標表：極坐標表：rc b rd b將將 和和 表示