西北工業(yè)大學矩陣論第三章例題矩陣分析ppt課件

1、例例2 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 02 . 0A 解解，19 . 01A所以所以A是收斂矩陣。是收斂矩陣。( (或或) 1943. 089. 0FA( (可求得可求得 ，5 . 21mA，5 . 15 . 03mA)4 . 1A能否為收斂矩陣？能否為收斂矩陣？為什么？為什么？由于由于矩陣矩陣第三章第三章 矩陣分析矩陣分析 1 1 矩陣序列的極限矩陣序列的極限 解解)63)(65(361531)det(261313461AI得得A的特征值為的特征值為，651212從而從而，165)(A故故A是收斂矩陣。是收斂矩陣。 由由例例能否為收斂矩陣？能否為收

2、斂矩陣？為什么？為什么？矩陣矩陣61313461A例例012816kkkk 解解，1281A取冪級數(shù)取冪級數(shù)。06kkkxk判別矩陣冪級數(shù)判別矩陣冪級數(shù)的斂散性。的斂散性。法法1. 1. 令令由于由于2 2 矩陣級數(shù)矩陣級數(shù) kkkaa1limkkkkk661lim161161limkkk所以收斂半徑為所以收斂半徑為。61r可求得可求得A的特征值為的特征值為3, 521即即，65)(A故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。 ，0kkkx。128161A可求得可求得，1rA的特征值為的特征值為21,6521于是于是，165)(A故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。故矩陣冪級數(shù)絕對收斂。 法法2. 2.

3、取冪級數(shù)取冪級數(shù)那么那么例例2 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 02 . 0A判別判別0kkA解解，19 . 01A所以所以0kkA收斂，收斂，10)(AIAkk18 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 08 . 0352520426244141428141知知的斂散性。的斂散性。 假設收斂，求其和。假設收斂，求其和。由于由于且且例例，61313461A那么那么0kkA收斂的緣由是收斂的緣由是，165)(A且其和為且其和為31034316310知知可求得可求得A的特征值為的特征值為，651212分析分析從而從而。3

4、103431631010)(AIAkk165)(A，。例例，0110A試求試求。，ttAAAAcossinee解解111)det(2AI所以所以，OIA2即即。IA2從而從而知知由于由于3 3 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) ，AA3，IA 4，AA 5，IA6，AA7，IA 8可知可知，IAkk) 1(2AAkk) 1(12), 2 , 1(k故故6! 615! 514! 413! 312! 21! 11eAAAAAAIAIAIAIAIAI! 81!71! 61! 51! 41! 31! 21! 11AI)1 ()1 (!71! 51! 31! 81! 61! 41! 21AI) 1(sin) 1(cos

5、1cos1sin1sin1cos44! 4133! 3122! 21! 11etttttAAAAIAAI)()1 (! 5! 3! 6! 4! 253642ttttttAI)(sin)(costtttttcossinsincos9! 917!715! 513! 31sinAAAAAAAAAA!71! 51! 31)1 ()1 (! 31! 21! 1121! 31! 21! 1121 A2ee1 A1shA01sh1sh066! 6144! 4122! 21costtttAAAIA)1 (4! 412! 21ttI2eett ItchIttch00ch例例nnCA滿足滿足，AA 2試求試求，A

6、AAsineet。tAcos 解解AA k，), 3 , 2(k所以所以6! 615! 514! 413! 312! 21! 11eAAAAAAIA)(! 31! 21! 11AI 1)1(! 31! 21! 11AIAI) 1(e設設由于由于44! 4133! 3122! 21! 11etttttAAAAIAAI)(! 3! 2! 132tttAI) 1(e t9! 917!715! 513! 31sinAAAAAAAAAA!71! 51! 311sinA66! 6144! 4122! 21costtttAAAIA)(4! 412! 21ttAIAI) 1(cos t例例，)4, 0, 2,

7、 1diag( 求求，tt sinee。 cos解解 )e, 1,ediag(e,e42 )e, 1,e,diag(ee42tttt )4sin, 0,2sin,diag(sinsintttt )4cos, 1, 2cos, 1diag(coscos 知知例例，211121112A試求試求。，ttAAAsinee解解)3)(2)(1()det(AIA的特征值為的特征值為3, 2, 1321對應的特征向量分別為對應的特征向量分別為，T1) 1, 0, 1(p，T2) 1, 1, 1(pT3)0, 1, 1(p故類似變換陣故類似變換陣011110111P知知可求得可求得使得使得 3211APP從而

8、從而 Ae132eeePP2223223232232eeeeeeeeeeeeeeeeetAe132eeePPtttttttttttttttttttt2223223232232eeeeeeeeeeeeeeeeetAsin13sin2sinsinPPtttttttttttttttttttt2sin2sinsin2sinsin3sin2sin2sin3sin2sin3sin2sin2sinsin3sin2sinsin例例，2000120001200012A試求試求。，AAAAcossineett解解 Ae，2222212226122122eeeeeeeeeetAetttttttttttttttt22

9、22222262222eeeeeeeeee232知知tAsintttttttttttttttt2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin262232Acos2cos2sin2cos2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos216121例例，111201010A求求。，tttAAAAcossinee知知解解 AetAe，111221eeee11111tttttttteeee111222tAsintttttttsincossin2sin0000tAcosttttttcossincos2cos1010122例例，411011013A求求。，AAsi

10、net 解解，1000101121P使使4000200121JAPP故故 1eePPJAtt1011010e000e00ee21214222tttttP知知可求得可求得1)(sinsinPJPA4sin4sin2sin4sin2sin02cos2sin2cos02cos2cos2sin21212121ttttttttttttttt442122142122122222eeeee0eee0eee14sin0002sin002cos2sinPP例例，411301621A求求。，AAsinet 解解，010011121P使使11111JAPP故故 1eePPJAtt1eeeePPttttt知知可求得類

11、似變換陣可求得類似變換陣tttttttttttttttttte)31 (eee3e)1 (ee6e2e)21 (1)(sinsinPJPA1cos31sin1cos1cos1cos31cos1sin1cos1cos61cos21cos21sin11sin1cos1sin1sinPP例例，311111002A試計算試計算。，AAAAcossineett解解3)2()det(AIA的特征值為的特征值為2321( (三重三重) )2210)(bbbr列方程組：列方程組：Ae求求 2212102)2(4)2(42)2(brbbrbbbr222eee解得解得 22122120eeebbb知知法法1.1.

12、設設1)1)故故 2210eAAIAbbb21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbb222222e2eee0e00e2) 2) 求求tAe ttttbrtbbrbbbr2222212210e2)2(e4)2(e42)2(解得解得 tttttttbttbttb22212222122220ee2ee2e2e故故 2210eAAIAbbbt21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbbttttttttttttttt222222222eeeeeeee00e3) 3) 求求tAsin ttbrttbbrtbbbr2sin2)

13、2(2cos4)2(2sin42)2(2221210解得解得 ttbttttbtttttb2sin2sin22cos2sin22cos22sin22122120故故 2210sinAAIAbbbt21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbbttttttttttttttt2cos2sin2cos2cos2cos2cos2sin2cos002sin4) 4) 求求Acos 2cos2)2(2sin4)2(2cos42)2(221210brbbrbbbr解得解得 2cos2cos22sin2cos2sin221210bbb故故 2210cosAAIAbbb21

14、021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbb2cos2sin2sin2sin2sin2cos2sin2sin002cos法法2. 2. 2)2()(Am是是A的最小多項式。的最小多項式。 設設 10)(bbr對應特征值對應特征值2 2有有2 2個線性無關的特征向量，個線性無關的特征向量，于是于是由由 110)2(2)2(brbbrAe(求求tAetAsin)cos A解得解得ttt22eettt2cos2sin2sin2cos22ee2sin2cosee2sin22cos2cos22sine)21 (e221220tttbttttbtt故故 )(Af( (或

15、或)( tf AAI10bb10111101103002bbbbbbbbbb例例，130020412A試計算試計算tAe和和。Asin解解 ) 1()2()det(2AIA的特征值為的特征值為1, 2321設設 2210)(bbbr那么由那么由21021210) 1 (4)2(42)2(bbbrbbrbbbrtttteee22tAe(求求)sin A知知解得解得 ttttttttttbtbtb222221220eeee3e4e4e2e3e42cos2sin1sin2cos32sin41sin42cos22sin31sin41sin2cos2sin于是于是 )(Af( (或或)( tf A221

16、0AAIbbb210212102121210)3(300420)3(41642bbbbbbbbbbbbbbb故故 ttttttttttttee3e300e0e4e4e13e12e12ee222222A1sin2sin31sin3002sin02sin41sin42cos132sin121sin122sinsin A例例知知4 4階方陣階方陣A A的特征值為的特征值為，00試計算試計算Asin和和。Acos解解2242)()det( AI由由H-CH-C定理得定理得，OAA224從而從而，224AA，325AA，246AA，347AA即即 ，2222AAkk32212AAkk), 3 , 2(k

17、法法1 1故故 9! 917!715! 513! 31sinAAAAAA3! 93!73! 53! 31642AAAAA)(! 9!7! 5! 313642AA8! 816! 614! 412! 21cosAAAAIA)(! 6! 4! 21242AI21cos2AI)(! 6! 4! 2126422AI222AI法法2 2 4 4階方陣階方陣A A的特征值為的特征值為。，00設設 332210)(bbbbr)(! 9!7! 5! 31397533AA3sin3AA312AA解得解得 213210010bbbb001322102bbbb故故 ，312sinAAA222cosAIA那么由那么由

18、10332210332210)0()0()()(brbrbbbbrbbbbr10cos00sin0)sin(0sin00sin10cos1)cos(1cosAsin(求求)cos A例例，411301621A求求A和和。Aln 解解，010011121P使使11111JAPP且且 3111001101P取取，)(f，ln)(g那么那么，21)( f，1)( g知知可求得類似變換陣可求得類似變換陣故故 1) 1 (00) 1 () 1 (000) 1 ()(PPAAfffff31110011010010001010011121212521212321213101) 1 (00) 1 () 1 (

19、000) 1 ()(lnPPAAggggg311100110000100000010011121311311622例例，21212A求求。)(Af解解 ，21212TA )2()2()2()2()2()2()(21Tfffffff A故故 )(AfTT)(Af )2()2()2()2()2()2(21ffffff知知例例，111010A求求。，AAcoset解解 ，tttttteee11eA1cos1sin1cos101cosA知知例例，ttttt2e20e1)(A求求)(1tA的存在區(qū)間，的存在區(qū)間，。)(1ddttA解解，ttt2e2)(detA僅當僅當0t時，時，)(tA奇特，奇特， 設

20、設并求并求由于由于4 4 矩陣微積分矩陣微積分 )(1tA的存在區(qū)間為的存在區(qū)間為。), 0(),0 ,(法法1. 1. )(1tA10ee2e2122ttttttttt22121e0e1故故 由于由于所以所以 )(1ddttAtttt222121e0e02法法2. 2. tttttttttt22121222121e0e1e)21 (20e)1 (0e0e1tttt222121e0e02( (由定義由定義) )(1ddttA)()()(1dd1ttttAAA例例 設設A是可逆矩陣，是可逆矩陣，。10dettA)(e1IAA分析分析 10dettA101dettAAA101)(etAA)(e1I

21、AA那么那么10dd1detttAA例例，axxaxTT)(f其中其中是知向量，是知向量，T1),(nxx x是向量變量，是向量變量，。xdd f解解 nnxaxa11由于由于iiaxf), 2 , 1(ni所以所以T1),(ddnxfxffxaT1),(naa 知知T1),(naa a求求axxaxTT)(f例例nnija)(A知，知，T1),(nxx x是向量變量，是向量變量，AxxxT)(f求求。xdd f設設解解 AxxxT)(fnsnttsstxxa11ntttntttxaxxax122111nttntnnttitixaxxax11由于由于 ixf)(11, 111nttitiiii

22、iiixaxaxaxanniiiixaxa1, 1nttitnsssixaxa11所以所以 xdd fnxfxf1nsnttntssnnsntttssxaxaxaxa111111AxxATxAA)(T特例，特例，AA T時，時， 即即A對稱時，對稱時，。Axx2ddf當當例例mnijx)(X為矩陣變量，為矩陣變量，)tr()(AXX f求求。Xdd f解解 )tr()(AXX fmsnttsstxa11itjsmsnttsstijjixaxa或或11由于由于，jiijaxf所以所以Xdd fmnijxf)(TA設設nmija)(A知，知，mnjia)(例例nnijx)(X是矩陣變量，是矩陣變量

23、，XXdet)(f試求試求。Xdd f解解ijX是是Xdet中元素中元素ijx的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式，ininijijiiXxXxXx11由于由于，ijijXxf所以所以Xdd fnnijxf)(T*)(X當當 X 可逆時，可逆時，Xdd fT1)(detXXT)(detXX設設設設那么那么XXdet)(fnnijX)(例例，654321ttttttX，435261)(ttttt tfX那么那么。Xdd f分析分析例例，nnijx)(X，XXtr)(f那么那么nI知知123456tttttt654321ddtftftftftftffX123456tttttt知知。Xdd f分析分析XXtr

24、)(fnnxxx2211于是于是，jijixfij, 0, 1故故。nnnijxffIXdd例例，nmRA，mRb對于矛盾方程組對于矛盾方程組，bAx 使得使得22)(bAxxf為最小的向量為最小的向量)0(x稱為最小二乘解，稱為最小二乘解，知知試導出最小二乘解所滿足的試導出最小二乘解所滿足的方程組。方程組。解解 )0(x使使)(xf到達極小，到達極小，0)0(ddxxxf由于由于 從而應有從而應有22)(bAxxf)()(TbAxbAxbbAxbbAxAxAxTTTTTT由前幾例得由前幾例得bAAxAxTT22ddf于是于是)0(ddxxxfbAAxAT)0(T220即即bAAxAT)0(T

25、稱稱bAAxATT為法方程組，為法方程組， 它是最小二乘解它是最小二乘解所滿足的方程組。所滿足的方程組。例例，nmija)(A，T1),(mxx x且且，AxxFT)(求求。xFdd解解AxxFT)(),(11211mkknkmkkkmkkkaxaxax由于由于),(21iniiiaaaxF所以所以 xFddmxxFF1Amnmmnaaaaaa2111211知知例例3)0(, 1)0(, 2)0(32442321323dd22dd3211ddxxxxxxxxtxxxxttt用矩陣函數(shù)方法求解微分方程組用矩陣函數(shù)方法求解微分方程組解解0)0()()(d)(dxxfAxxtttt寫成矩陣方式寫成矩陣方式5 矩陣分析的運用矩陣分析的運用 其中其中，130020412A，004)(ttf3120 x可求得可求得 ) 1()2()det(2AIA的特征值為的特征值為 1, 2321設設2210)(bbbr由由 tttbbbrtbbrbbbre) 1 (e4)2(e42)2(2102212210解得