第四節(jié)泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

1、第四節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)與幕級(jí)數(shù)教學(xué)目的：理解幕級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；了解幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些根本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)會(huì)求一些幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和；了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件、掌握ex,si nx,cosx, I n(1 x)和(1 x)的麥克勞林展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；ex,sin x,cos x , ln(1 x)和(1 a)的麥克勞林展開(kāi)式。教學(xué)難點(diǎn)：幕級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。教學(xué)時(shí)數(shù)：4教學(xué)內(nèi)容：一、函數(shù)項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)的概念1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)Un(x)(n 1,2,3 )都在D上有定義，那么稱(chēng)表達(dá)式Un(x) 5(X)U2(X)卅n 1為定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，un(X)稱(chēng)為通項(xiàng)，Sn(x)Uk(x)稱(chēng)為局部和函數(shù).k 1X。 D，假設(shè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un(X。)收斂,n 12. 收斂域定義：設(shè)un(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),n 1那么稱(chēng)X。是un(x)的一個(gè)收斂點(diǎn)所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂域.n 13. 和函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的收斂域?yàn)?，那么任給x I，存在唯一的實(shí)數(shù) S(x)，使得n 1S(x)un(x)成立定義域?yàn)镮的函數(shù)S(x)稱(chēng)為級(jí)數(shù) un(x)的和函數(shù)

3、.n 1n 1評(píng)注：求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法.、幕級(jí)數(shù)1 幕級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè) an (n 0,1,2,)是一實(shí)數(shù)列，那么稱(chēng)形如an(x x0)n的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為x0處的n 0幕級(jí)數(shù).滄0時(shí)的幕級(jí)數(shù)為anxn n 02.阿貝爾定理定理：對(duì)幕級(jí)數(shù)an(xn 0x)n有如下的結(jié)論: 如果該幕級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1收斂，那么對(duì)滿(mǎn)足x怡N x0的一切的x對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)an(x x0)n都絕對(duì)收斂;n 0 如果該幕級(jí)數(shù)在點(diǎn)x2發(fā)散，那么對(duì)滿(mǎn)足x x0x2 x0的一切的x對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)an(x x0)n都發(fā)散.n 0例1：假設(shè)幕級(jí)數(shù)an(x 2)n在x1處收斂，問(wèn)此級(jí)數(shù)在 x 4處是

4、否收斂，假設(shè)收斂，是n 0絕對(duì)收斂還是條件收斂解：由阿貝爾定理知，幕級(jí)數(shù)an(x 2)n在x 1處收斂，那么對(duì)一切適合不等式n 0x 2123 (即1 x 5 )的x該級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.故所給級(jí)數(shù)在 x 4處收斂且絕對(duì)收斂.3.幕級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果幕級(jí)數(shù)an(x Xo)n不是僅在x Xo處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，那么必定n 0存在一個(gè)正數(shù)R，它具有下述性質(zhì)：當(dāng)xX。R時(shí)，an(xn 0x0)n絕對(duì)收斂；當(dāng)xX。R時(shí)，an(xn 0x0)n發(fā)散.如果幕級(jí)數(shù)an(xx0)n僅在x x。處收斂，定義 R 0 ；如果幕級(jí)數(shù)an(x x)n 在n 0n 0(,)內(nèi)收斂，那么定義R那么稱(chēng)上述

5、R為幕級(jí)數(shù)an(x x0)n的收斂半徑稱(chēng)開(kāi)區(qū)間(x0 R, x0 R)為幕級(jí)數(shù)n 0an(x x0)n的收斂區(qū)間.n 04. 幕級(jí)數(shù)收斂半徑的求法求幕級(jí)數(shù)an(x x0)n的收斂半徑Rn 0法一：求極限(x x0)limnan 1(X x0)n1an(x x0)n令(x x0) 1 x x0m那么收斂半徑為R m；法二：假設(shè)an滿(mǎn)足an 0 ,那么Rlimnanan 1法三；(1)求極限(x x0) lim n an(x x0)n n令(x x0)1 x x0 m那么收斂半徑為R m.例2：求以下幕級(jí)數(shù)的收斂域n n 1 2nn!(x 5)nn 1、nx2n2n1 2n解：收斂半徑Rlimli

6、mn12n 1( n 1)!2nn!所以收斂域?yàn)?收斂半徑Rlimnanan 1limn1/n當(dāng)x 51時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為(9這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),n 1 Jn當(dāng)x 51時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為1L這是發(fā)散的pn 1 n級(jí)數(shù),于是該幕級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?,6)；由于 (x) limnn2n 1 2n 2n 1 x2n 22(2n 1)x令(x)1，可得x.2，所以收斂半徑為 R當(dāng)x x 2時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)為2n 1n 12，此級(jí)數(shù)發(fā)散,于是原幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)設(shè)幕級(jí)數(shù)an(xn 0x0)n收斂半徑為Ri；bn(x x0)n收斂半徑為n 01an(xn 0xo)nbn(xn 0xo)n(ann 0bn)

7、(x Xo)n，收斂半徑Rmin(Ri, R?)；2. an(xn 0X)n bn(xn 0n“(n 0 i 1aibn i)(x x0)n ,收斂半徑R min( R, R2)；3幕級(jí)數(shù)nan(x xo)n的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上連續(xù);R 即4幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為S(x) an(x Xo)nan(x Xo)nn a.(x x)n1 -n 0n 0n 15幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的幕級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R 即有xxS(x)dx an(x x)ndxx0冷 n 0xx an(x x)ndxx0= an(x x)n10

8、n 13:用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求以下幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) nxn 1(n 11 x 1)x4n1)解：令S(x)nxn 1(x 1)，那么x0 S(x)dxxo(nnx1)dxn所以S(x)冷(1 x)2,(1)令S(x)4n 1-(1 n 1 4n 11)，那么4n 1xS(x)()n 1 4n 14n xx41x4x x4x所以 S(x)4dx0 1 xo( 111 x22)dx1 1In41 x1arcta nx x ,2(1 x 1) 例4：求幕級(jí)數(shù)(2nn 01)xn的收斂域，并求其和函數(shù)。解：易求得收斂域?yàn)?1,1)=2x1 x n 0n】x 因?yàn)?(2n 1)xn =2n

9、xn + xn = 2x (xn)n0n0n0n0111 X2x(丄)丄, x ( 1,1)。1 x 1 x (1 x)1 x所以和函數(shù)為s(x) 丄2，x ( 1,1)。(1 x)三、函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)1. 函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，X。I，假設(shè)存在幕級(jí)數(shù)an(x xo)n，使得n 0f(x)an(x Xo)n, x In 0那么稱(chēng)f (x)在區(qū)間I上能展開(kāi)成x0處的幕級(jí)數(shù).2. 展開(kāi)形式的唯一性定理：假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間I上能展開(kāi)成x0處的幕級(jí)數(shù)f (x)an(x x)n, x In 0那么其展開(kāi)式是唯一的，且(n 0,1,2,|).n!M3. 泰勒級(jí)數(shù)

10、與麥克勞林級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)的定義f(n)(X)n!(x定義：如果f(x)在X。的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么稱(chēng)幕級(jí)數(shù)f(x)X)川f一(x X)n川1!M1 n!為函數(shù)f (X)在X0點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù).當(dāng)X0 0時(shí)稱(chēng)冪級(jí)數(shù)。普xn f(0)晉III為函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件定理：函數(shù)f(x)在X。 I處的泰勒級(jí)數(shù)在I上收斂到f(x)的充分必要條件是：f(x)在X。處的泰勒公式f(x) n4(x X0)k R(x)k 0 k!的余項(xiàng)Rn(x)在I上收斂到零，即對(duì)任意的 x I，都有l(wèi)im R(x)0 .n4. 函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)的方法直接法利用泰勒級(jí)數(shù)的定義

11、及泰勒級(jí)數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開(kāi)成指定點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)的方法.間接法通過(guò)一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)將原來(lái)的函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)的方法.所用的運(yùn)算主要是四那么運(yùn)算、(逐項(xiàng))積分、(逐項(xiàng))求導(dǎo)、變量代換.利 用的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式是以下一些常用函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)公式.幕級(jí)數(shù)常用的七個(gè)展開(kāi)式sin x2n 11六cosx1)2n n x(2n)!ln(1x)n 11)nn 1(1 x)(1)2!x2III(,),)1 x 1(1)( 2川l( n J I, x ( 1,1)n!r 1x ( 1,1)(1)nxn, x ( 1,1).例5:將f(X)-展開(kāi)成x 1的幕級(jí)數(shù)。x解：由于f (x)In xln(1 x)，而In xln1(x1)(1)n1(1n1)；ln(1x)ln2(x1)x 1In 2