方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計(jì) 兩篇

1、 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計(jì) 兩篇 一內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理函數(shù)零點(diǎn)是研究當(dāng)函數(shù)的值為零時(shí)，相應(yīng)的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點(diǎn)必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實(shí)上，若方程有解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，且方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，也是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)順理成章的，方程的求解問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題這是函數(shù)與方程關(guān)系認(rèn)識(shí)的第一步零點(diǎn)存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件如果函數(shù)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并

2、且滿足f(a)f(b)0，則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷定理的逆命題不成立方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的研究方法，符合從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應(yīng)方程的情形；零點(diǎn)存在性的研究，也同樣采用了類(lèi)似的方法，同時(shí)還使用了“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與化歸思想”方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學(xué)數(shù)學(xué)重要思想方法“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)可見(jiàn)，函數(shù)零點(diǎn)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)

3、中具有核心地位本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理二目標(biāo)和目標(biāo)解析通過(guò)本課教學(xué)，要求學(xué)生：理解并掌握方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)將求方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題；理解零點(diǎn)存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間1能夠結(jié)合具體方程（如二次方程），說(shuō)明方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)以及相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；2正確理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件；了解函數(shù)零點(diǎn)只能不止一個(gè)；3能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；4能順利將一個(gè)方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，寫(xiě)出與

4、方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)；并會(huì)判斷存在零點(diǎn)的區(qū)間（可使用計(jì)算器）三教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過(guò)“當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)自變量的值”的問(wèn)題，初步認(rèn)識(shí)到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對(duì)二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認(rèn)識(shí)與體會(huì)在高中階段，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)存在性定理的深入理解與應(yīng)用以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點(diǎn)的概念，說(shuō)明方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，學(xué)生并不會(huì)覺(jué)得困難學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理，并針對(duì)具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點(diǎn)（或根）的區(qū)

5、間教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；而零點(diǎn)存在性定理的教學(xué)，則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的情況，來(lái)研究函數(shù)零點(diǎn)的情況，通過(guò)研究：函數(shù)圖象不連續(xù)；，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，等各種情況，加深學(xué)生對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解四教學(xué)支持條件分析本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，需要借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點(diǎn)以及同時(shí)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的關(guān)系；另一方面，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間過(guò)程中，一些函數(shù)值的計(jì)算也必須借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器五教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1方程的根與相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系復(fù)習(xí)總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)與軸的交點(diǎn)及其坐標(biāo)的關(guān)系：一元二次

6、方程根的個(gè)數(shù)圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備問(wèn)題一、上述結(jié)論對(duì)其他函數(shù)成立嗎？為什么？在幾何畫(huà)板下展示如下函數(shù)的圖象：、，比較函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系。函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)，即當(dāng)，該方程有幾個(gè)根，的圖象與軸就有幾個(gè)交點(diǎn)，且方程的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)意圖：通過(guò)各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。2函數(shù)零點(diǎn)概念對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)說(shuō)明：函數(shù)零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是具體的自變量的取值3方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)以上關(guān)系說(shuō)明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程

7、問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，同樣，函數(shù)問(wèn)題有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)4零點(diǎn)存在性定理問(wèn)題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據(jù)該圖象片段，將其補(bǔ)充成完整函數(shù)圖象，并問(wèn)：是否有某時(shí)刻的溫度為0？為什么？（假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的）意圖：通過(guò)類(lèi)比得出零點(diǎn)存在性定理給出零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根.問(wèn)題三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。在幾何畫(huà)板下結(jié)合函數(shù)的圖象說(shuō)明。問(wèn)題四、若，函數(shù)在區(qū)間在上一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎？問(wèn)題五、若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？可能有幾個(gè)？問(wèn)題六、時(shí)，增加

8、什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個(gè)零點(diǎn)？在幾何畫(huà)板下結(jié)合函數(shù)的圖象說(shuō)明問(wèn)題四、五、六。意圖：通過(guò)四個(gè)問(wèn)題使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理5例題：求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題七、能否確定一個(gè)區(qū)間，使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問(wèn)題八、該函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？意圖：通過(guò)例題分析，學(xué)會(huì)用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)存在區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法六目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表，則函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)？為什么？x1234610f (x)20-5.5-2618-32.函數(shù)在區(qū)間-5，6上是否存在零點(diǎn)？若存在，有幾個(gè)？3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個(gè)根（1）（2）

9、4指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間（1）（2）最后，師生共同小結(jié)（略）思考題：函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，如何求出這個(gè)零點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：為下一節(jié)“二分法”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)2 一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。函數(shù)f(x)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念,從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)

10、點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定定理，其目的就是通過(guò)找函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)研究方程的根，進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用，也為二分法求方程的近似解作好知識(shí)上和思想上的準(zhǔn)備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學(xué)生通過(guò)感知體驗(yàn)并加以確認(rèn)，由些需要結(jié)合具體的實(shí)例，加強(qiáng)對(duì)定理進(jìn)行全面的認(rèn)識(shí)，比如“變號(hào)”零點(diǎn)；定理結(jié)論中零點(diǎn)存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進(jìn)一步的判斷。對(duì)函數(shù)與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認(rèn)識(shí)的過(guò)程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一

11、般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。函數(shù)與方程相比較,一個(gè)“動(dòng)”，一個(gè)“靜”；一個(gè)“整體”，一個(gè)“局部”。用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問(wèn)題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究，這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識(shí)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系的角度來(lái)引入較為適宜。二、教學(xué)目標(biāo)解析1結(jié)合具體的問(wèn)題，并從特殊推廣到一般，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。2結(jié)合函數(shù)圖象，通過(guò)觀察分析特殊函數(shù)的零點(diǎn)存在的特點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題，理解連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，并能由此方法

12、判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)。了解定理應(yīng)用的前提條件，應(yīng)用的局限性，及定理的準(zhǔn)確結(jié)論。3通過(guò)具體實(shí)例，學(xué)生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。4在學(xué)習(xí)過(guò)程中，體驗(yàn)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫(huà)法，及一定的看圖識(shí)圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn)，或是函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)，造成對(duì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時(shí)，有必要點(diǎn)明函數(shù)的核心地位，即說(shuō)明函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用，

13、初步樹(shù)立起函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)。并從此出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生思考，再通過(guò)實(shí)例的確認(rèn)與體驗(yàn)，從直觀到抽象，從特殊到一般的學(xué)習(xí)方式，捅破學(xué)生認(rèn)識(shí)上的這層“窗戶紙”。2對(duì)于零點(diǎn)存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生舉例來(lái)驗(yàn)證，最終能自主地獲得并確認(rèn)該定理的結(jié)論。對(duì)于定理的條件和結(jié)論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過(guò)具體的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。3函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學(xué)中應(yīng)遵循高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線的這一原則進(jìn)行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時(shí)為二分法求方程的近似解作知識(shí)和思想上

14、的準(zhǔn)備。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問(wèn)題的金鑰匙。案例1：周長(zhǎng)為定值的矩形不妨取l=12問(wèn)題1：求其面積的值： ，顯然面積是一個(gè)關(guān)于x的一個(gè)二次多項(xiàng)式，用幾何畫(huà)板演示矩形的變化：?jiǎn)栴}2：求矩形面積的最大值？當(dāng)x取不同值時(shí)，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎？問(wèn)題3：能否使得矩形的面積為8？你是如何分析的？（1）實(shí)驗(yàn)演示的角度進(jìn)行估計(jì)，拖動(dòng)時(shí)難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況；（2）解方程：x（6-x）=8（3）方程x（6-x）=8能否從函數(shù)的

15、角度來(lái)進(jìn)行描述？問(wèn)題4：一般地，對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系？結(jié)論：代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值；方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。更一般地方程f（x）=0的根，就是使函數(shù)值y=f（x）的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱(chēng)之為零點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課，有必要讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問(wèn)題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從學(xué)生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進(jìn)一步推廣到一般的函數(shù)。（二） 互動(dòng)交流 研討新知1函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)2對(duì)零點(diǎn)概念的理解案例2：觀察圖象問(wèn)題1：此圖

16、象是否能表示函數(shù)？問(wèn)題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點(diǎn)嗎？問(wèn)題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)換一種說(shuō)法嗎？結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步掌握函數(shù)的核心概念，同時(shí)通過(guò)圖象進(jìn)行一步完善對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的全面理解，為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在性定理作好一定的鋪墊。2.零點(diǎn)存在定理的探究案例3：下表是三次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值表： 問(wèn)題1：你能從表中找出函數(shù)的零點(diǎn)嗎？問(wèn)題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點(diǎn)的附近函數(shù)值有何特點(diǎn)？生：兩邊的函數(shù)值異號(hào)！問(wèn)題3：如果一個(gè)函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）0,在區(qū)間(a,b

17、)上是否一定存在著函數(shù)的零點(diǎn)?注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫(huà)),從而引出零點(diǎn)存在性定理.問(wèn)題4: 有位同學(xué)畫(huà)了一個(gè)圖,認(rèn)為定理不一定成立,你的看法呢?問(wèn)題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?如1:加強(qiáng)定理的結(jié)論:若在區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f(a)f(b)0,是否意味著函數(shù)f(x)在a,b上恰有一個(gè)零點(diǎn)?如2.將定理反過(guò)來(lái):若連續(xù)函數(shù)f(x)在a,b上有一個(gè)零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)0?如3:一般化:一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號(hào)零點(diǎn),如案例2中的零點(diǎn)-2)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)表格，是為了進(jìn)一步鞏固對(duì)函數(shù)這一概念的全面認(rèn)識(shí)，并為觀察零點(diǎn)存在性定理中函數(shù)值的異號(hào)埋下伏筆。通過(guò)教師的設(shè)問(wèn)讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容，而鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)造能力必要的過(guò)