直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)18頁(yè)

1、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個(gè)性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號(hào)語(yǔ)言ab圖形語(yǔ)言思考(1)若直線a平面，則直線a平行于平面內(nèi)的任意一條直線，對(duì)嗎？(2)若直線a與平面不平行，則直線a就與平面內(nèi)的任一直線都不平行，對(duì)嗎？答(1)不對(duì).若直線a平面，則由線面平行的性質(zhì)定理可知直線a與平面內(nèi)的一組直線平行.(2)不對(duì).若直線a與平面不平行，則直線a與平面相交或a.當(dāng)a時(shí)

2、，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線a平行.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.符號(hào)語(yǔ)言，a，bab.圖形語(yǔ)言思考(1)兩個(gè)平面平行，那么兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎？(2)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)直線必平行于另一個(gè)平面嗎？答(1)不一定.因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行，所以這兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，它們平行或異面.(2)平行.因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行，則兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必和另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，所以它們平行.題型一線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例4如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)

3、G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH.證明連接MO.四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn)，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一點(diǎn)，AB1A1EF，B1CC1EG.求證：ACFG.證明ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A1EC1平面AB1CFG，ACFG.題型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面、之間的線段，M、N分別

4、為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN平面.證明若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與、的交線為BD、AC.，ACBD.又M、N為AB、CD的中點(diǎn)，MNBD.又BD平面，MN平面，MN平面.若AB、CD異面，如圖，過(guò)A作AECD交于E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP、PN、BE、ED.AECD.AE、CD確定平面AEDC.則平面AEDC與、的交線分別為ED、AC，EDAC.又P、N分別為AE、CD的中點(diǎn)，PNED，又ED平面，PN平面，PN平面.同理可證MPBE，MP平面，AB、CD異面，MP、NP相交.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN平面.跟蹤訓(xùn)練2如圖，平面平面平面，兩條直線l，m分別與平面，

5、相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AC15 cm，DE5 cm，ABBC13，求AB，BC，EF的長(zhǎng).解如圖，連接AF，交于點(diǎn)G，連接BG，GE，AD，CF.因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以BGCF，GEAD.所以.所以.所以ABcm，EF3DE15 cm，BCACABcm.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積.解能，如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C平面A1C1A1N，平面AC平面A1CM

6、C，A1NMC.同理，A1MNC.四邊形A1MCN是平行四邊形.C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四邊形A1PC1N是平行四邊形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP，A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故過(guò)點(diǎn)A1與截面PBC1平行的截面是A1MCN.連接MN，作A1HMN于點(diǎn)H.由題意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故222.跟蹤訓(xùn)練3如圖，三棱錐ABCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD平面EFGH.證明四邊形EFGH是平行四邊形，EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD

7、，平面ACD平面BCDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.轉(zhuǎn)化與化歸思想例4如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PAD平面PBCl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.分析欲證明線線平行可考慮線面平行的性質(zhì)，欲證明線面平行可考慮線面平行的判定或面面平行的性質(zhì).(1)證明因?yàn)锳DBC，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.所以AD平面PBC.又因?yàn)槠矫鍼BC平面PADl，所以lBC.(2)解平行.證明如下：如圖，取CD的中點(diǎn)Q，連接NQ，MQ.因?yàn)镸，N分別是AB，PC的中點(diǎn)

8、，所以MQAD，NQPD.因?yàn)镸QNQQ，ADPDD，所以平面MNQ平面PAD.因?yàn)镸N平面MNQ，所以MN平面PAD.忽視定理的條件例6如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BED1F是平行四邊形.分析已知E，F(xiàn)兩點(diǎn)為正方體棱的中點(diǎn)，若證四邊形BED1F為平行四邊形，則先證B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，再證四邊形BED1F為平行四邊形.證明如圖，連接AC，BD，交點(diǎn)為O；連接A1C1，B1D1，交點(diǎn)為O1.連接BD1，EF，OO1.設(shè)OO1的中點(diǎn)為M.由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1A1為矩形.又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以EF過(guò)

9、OO1的中點(diǎn)M，同理四邊形BDD1B1為矩形，BD1過(guò)OO1的中點(diǎn)M，所以EF與BD1相交于點(diǎn)M.所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面.又因?yàn)槠矫鍭DD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四邊形BED1F是平行四邊形.1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線()A.只和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行 B.只和這個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線不相交C.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行 D.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都不相交2.已知a，b表示直線，表示平面，下列推理正確的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b

10、，a，bD.，a，bab3.若不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，且A，則()A.平面ABCB.ABC中至少有一邊平行于C.ABC中至多有兩邊平行于D.ABC中只可能有一邊與相交4.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是棱AD上一點(diǎn)，AP，過(guò)點(diǎn)P，E，F(xiàn)的平面與棱CD交于Q，則PQ_.5.如圖所示的正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過(guò)C1，E，F(xiàn)的截面的周長(zhǎng)為_.一、選擇題1.如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為()A.ACBD B.AC截面PQMNC.ACBD D.異面直

11、線PM與BD所成的角為452.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A，B，C.若PAAA23，則SABCSABC等于()A.225B.425C.25 D.453.設(shè)，A，B，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A，B分別在平面，內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C()A.不共面B.當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C.當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D.不論A，B如何移動(dòng)，都共面4.如圖，四棱錐PABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN平面PAD，則()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能5.直線a平面，內(nèi)有n條直線交

12、于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線()A.至少有一條 B.至多有一條C.有且只有一條 D.沒(méi)有6.下列結(jié)論中，正確的有()若a，則aa平面，b，則ab平面平面，a，b，則ab平面，點(diǎn)P，a，且Pa，則aA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.過(guò)平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線為a，b，c，則這些交線的位置關(guān)系為()A.都平行 B.都相交且一定交于同一點(diǎn)C.都相交但不一定交于同一點(diǎn) D.都平行或交于同一點(diǎn)二、填空題8.已知a，b表示兩條直線，表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：若a，b，且ab，則；若a，b相交且都在，外，a，b，a，b，則；若a，a，則；若a，b，且ab

13、，則；若a，a，b，則ab.其中正確命題的序號(hào)是_.9.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_.10.如圖所示，直線a平面，A，并且a和A位于平面兩側(cè)，點(diǎn)B，Ca，AB、AC分別交平面于點(diǎn)E、F，若BC4，CF5，AF3，則EF_.三、解答題11.如圖所示，B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心.(1)求證：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.12.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CMDN.求證：MN平面AA1B1B.當(dāng)堂檢

14、測(cè)答案1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線()A.只和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行B.只和這個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線不相交C.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行D.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都不相交2.已知a，b表示直線，表示平面，下列推理正確的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b，a，bD.，a，bab3.若不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，且A，則()A.平面ABCB.ABC中至少有一邊平行于C.ABC中至多有兩邊平行于D.ABC中只可能有一邊與相交4.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是棱AD上一點(diǎn)，AP，過(guò)點(diǎn)

15、P，E，F(xiàn)的平面與棱CD交于Q，則PQ_.5.如圖所示的正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過(guò)C1，E，F(xiàn)的截面的周長(zhǎng)為_.課時(shí)精練答案一、選擇題1.答案C解析截面PQMN為正方形，PQMN，從而易得PQ面DAC.又面ABC面ADCAC，PQ面ABC，PQAC.從而易得AC平面PNMQ.同理可得QMBD.又PQQM，PMQ45，ACBD，且異面直線PM與BD所成的角為45.故選項(xiàng)A、B、D正確.2.答案B解析平面平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為AB，AB，ABAB.同理BCBC，ACAC，從而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3.答案D解析如圖所示，A，B分別

16、是A，B兩點(diǎn)在，上運(yùn)動(dòng)后的兩點(diǎn)，此時(shí)AB中點(diǎn)變成AB中點(diǎn)C.連接AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，CE，CC，AA，BB.則CEAA，從而易得CE.同理CE.又，CE.CECEE.平面CCE平面.CC.故不論A，B如何移動(dòng)，所有的動(dòng)點(diǎn)C都在過(guò)點(diǎn)C且與，平行的平面上.4.答案B解析MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAD平面PACPA，MNPA.5.答案B解析設(shè)這n條直線的交點(diǎn)為P，則Pa，直線a和點(diǎn)P確定一個(gè)平面.設(shè)b，則Pb.又a，ab.顯然直線b有且只有一條，那么直線b可能在這n條直線中，也可能不在，即這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條.6.答案A解析中，a與也可能相交，故不正確；中

17、，a與b也可能異面，故不正確；中，a，a或a，又Pa，P，a，故正確.7.答案D解析l，l或l與相交.若l，則由線面平行的性質(zhì)定理可知la，lb，lc，a，b，c，這些交線都平行.若l與相交，不妨設(shè)lA，則Al，又由題意可知Aa，Ab，Ac，這些交線交于同一點(diǎn)A.綜上可知D正確.二、填空題8.答案解析錯(cuò)誤，與也可能相交；正確，依題意，由a，b確定的平面，滿足，故；錯(cuò)誤，與也可能相交；錯(cuò)誤，與也可能相交；正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知.9.答案解析因?yàn)镋F平面AB1C，且EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC.又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以EF為ACD的中位線，所以EFAC2.10.答案解析EF可看成為直線a與點(diǎn)A確定的平面與平面的交線，a，由線面平行的性質(zhì)定理知，BCEF，由條件知ACAFCF358.又，EF.三、解答題11.(1)證明如圖，連接BM，BN，BG并分別延長(zhǎng)交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H.M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心，則有2.連接PF，F(xiàn)H，PH，有MNPF.又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同