高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1.1 和角公式學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精31。1兩角和與差的余弦預(yù)習(xí)課本p133134，思考并完成以下問題 （1）如何用的三角函數(shù)與的三角函數(shù)表示cos(),cos（)？(2）兩角和與差的余弦公式是如何推導(dǎo)的？ 兩角和與差的余弦公式名稱公式簡記符號兩角和的余弦公式cos（)cos_cos_sin_sin_c兩角差的余弦公式cos（）cos_cos_sin_sin_c點睛公式的左邊是和(差)角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的差(和)式，可用口訣“余余正正號相反”記憶公式1判斷下列命題是否正確(正確的打“,錯誤的打“”）(1）cos（6030）cos 60cos 30.(）（2)對于任意實數(shù)，cos(）c

2、os cos 都不成立（)(3)對任意,r，cos（）cos cos sin sin 都成立（）答案：(1)(2）（3）2cos 78cos 18sin 78sin 18的值為（）a.b。c. d.答案：a3設(shè)，若sin ，則cos等于（）a。 b。c d答案：b4cos 15_。答案：給角求值問題典例求下列各式的值(1）cos 75cos 15sin 75sin 195;(2）sin 163sin 223sin 253sin 313;（3)cos 15sin 15。解(1）cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75c

3、os 15sin 75sin 15cos（7515)cos 60。(2)原式sin(18017)sin（18043)sin（18073）sin(36047）sin 17sin 43sin 73sin 47sin 17sin 43cos 17cos 43cos 60。（3）cos 60,sin 60，cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos（6015）cos 45.利用公式c()，c()求值的方法技巧在利用兩角和與差的余弦公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差)，正用公式直接化簡求值，在轉(zhuǎn)化過

4、程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值 活學(xué)活用 計算下列各式的值：（1）cos 55cos 20sin 55sin 20；（2)coscos sinsin 。解:(1)cos 55cos 20sin 55sin 20cos 75cos（4530）cos 45cos 30sin 45sin 30。（2）coscos sinsin coscos.給值求值問題典例（1）已知，是第三象限角，sin ，cos .求cos(）的值(2）已知cos ，cos（)，且，均為銳角，求cos 的值解(1)，sin ，cos .是第三象限角，cos ，sin ，co

5、s（)cos cos sin sin .(2），均為銳角,0，sin（）0。由cos ，cos（），得sin ,sin()。cos cos（)cos（）cos sin(）sin 。給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，即拆角與湊角（2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換常見角的變換有：()；2(）()；2（）（）活學(xué)活用1已知cos ，則cos的值為_解析：cos ，sin ，coscoscos sinsin .答案：2已知sin，且，求cos 的值解：，2，cos0，cos

6、，cos coscoscossinsin .給值求角問題典例(1)已知，均為銳角，且sin ，sin ，則_。（2)已知cos ，cos（），,則_.解析（1)，均為銳角，cos ，cos .cos（)cos cos sin sin 。又sin sin ,0,0.故。(2)，（0，)cos ,cos（)，sin ，sin（),cos cos(）cos(）cos sin()sin .0，。答案(1）(2）一題多變1變條件若本例中(1)中“sin 變?yōu)椤癱os ”，“sin ”變?yōu)椤癱os ”，則_.解析:，均為銳角，sin ，sin ,cos（)cos cos sin sin .又sin sin

7、 ，0，0,故.答案：2變條件若本例（2）變?yōu)椋阂阎猚os ，cos(），且0，求的值解：由cos ，0，得sin 。由0，得0。又因為cos()，所以sin(） 。由（）得cos cos(）cos cos()sin sin(），所以.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1）界定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍（2)求所求角的某種三角函數(shù)值為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)(3）結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角 層級一學(xué)業(yè)水平達標1cos 20()acos 30cos 10sin 30sin 10bcos 30cos 10sin 30sin 10csin 30cos 10sin 10cos

8、30dcos 30cos 10sin 30cos 10解析：選bcos 20cos(3010）cos 30cos 10sin 30sin 10。2。sin 15cos 15的值是(）a.bc. d解析：選b原式sin 30sin 15cos 30cos 15(cos 30cos 15sin 30sin 15）cos（3015)cos 45.3已知為銳角，為第三象限角，且cos ,sin ，則cos(）的值為（）a bc. d.解析:選a為銳角，且cos ，sin .為第三象限角，且sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .故選a.4已知向量a(cos 75，sin 75）

9、，b（cos 15，sin 15),那么|ab等于()a. b。c. d1解析：選d|ab|1.5已知sin ，,則cos等于（)a. b.c d解析：選b由題意可知cos ，coscoscoscos cossin sin .6化簡:cos（55）cos(5)sin（55）sin(5）_。解析：原式cos(55）(5)cos(60）。答案:7若cos（)，cos(），則tan tan _。解析：cos（）cos cos sin sin ,cos()cos cos sin sin ，由得cos cos ,sin sin ，tan tan .答案：8已知sin ，,則cos的值為_解析:sin ，

10、cos ，coscos cos sin sin 。答案:9已知，為銳角，且cos ,cos（),求cos 的值解：因為0，0，所以0。由cos()，得sin().又因為cos ，所以sin .所以cos cos（）cos()cos sin（）sin .10若x，且sin x，求2cos2cos x的值解：x，sin x，cos x.2cos2cos x22cos x22cos xsin xcos x。層級二應(yīng)試能力達標1已知cos ,則cos xcos(）abc1 d1解析：選ccos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.故選c.2已知為鈍角，且sin，則cos

11、的值為(）a。 b。c d。解析:選c為鈍角，且sin，cos，coscoscoscossinsin。3已知銳角,滿足cos ，cos()，則cos（2)的值為()a。 bc。 d解析:選a，為銳角，cos ，cos（)，sin ，sin（），cos（2)cos cos()cos(）cos sin(）sin 。4設(shè)，為鈍角,且sin ,cos ,則的值為(）a. b。c. d?；蚪馕觯哼xc因為,為鈍角，sin ，所以cos 。由cos ，得sin ,所以cos（）cos cos sin sin 。又因為2，所以.5已知cos ，cos(），2，,則cos _。解析：由條件知sin ,sin(）

12、，cos cos（）cos cos（）sin sin()1.答案：16已知sin sin sin 0和cos cos cos 0,則cos()的值是_解析：由已知得，sin sin sin ，cos cos cos ，22得，1112sin sin 2cos cos ，化簡得cos cos sin sin ，即cos（）.答案：7已知cos(）,cos(），且，求角的值解:由，且cos(），得sin().由,且cos（）,得sin（）,cos 2cos（）（）cos()cos(）sin()sin(）1.又,，2,2,則.8已知cos ，sin（），且,.求：（1)cos（2)的值；（2)的值解

13、：(1）因為,，所以,又sin（)0,0.所以sin ，cos(） ，cos(2）cos(）cos cos（）sin sin（）。（2)cos cos（)cos cos(）sin sin（），又因為,所以.31.2兩角和與差的正弦預(yù)習(xí)課本p136138,思考并完成以下問題 （1)如何利用兩角和與差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式？（2）兩角和與差的正弦公式是什么？ 兩角和與差的正弦公式名稱公式簡記符號兩角和的正弦sin（）sin_cos_cos_sin_s兩角差的正弦sin(）sin_cos_cos_sin_s點睛兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“

14、余余正正，加減相反”1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1）兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，r，使得sin（)sin sin 成立（)（3）對于任意，r，sin()sin sin 都不成立（)答案：（1）（2）（3)2sin 75cos 15cos 75sin 15的值等于()a。bc0 d1答案：d3已知sin ,是第四象限角，則sin_.答案：給角求值問題典例求值：(1)sin（15);(2）(tan 10)。解（1）sin（15)sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.(2）法一:原式(tan 10tan 60）2.

15、法二：原式2.解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進行各局部的變形(2）一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負相消的項并消項求值，化分子、分母形式進行約分，解題時要逆用或變用公式活學(xué)活用求值：(1）sin 105；(2)。解:(1）sin 105sin(6045）sin 60cos 45cos 60 sin 45.（2）sin 30.給值求值問題典例(1）已知sin ，cos ，且為第一象限角，為第二象限角，求sin(）和sin(）的值；(2)求值:sin cos ；（3)已

16、知，cos(），sin()，求sin 2的值解（1)直接法因為為第一象限角，為第二象限角，sin ,cos ，所以cos ，sin ，sin（）sin cos cos sin ，sin（)sin cos cos sin 。（2)常值代換法原式222sin2sin 。（3）角的代換法,，0。又cos（),sin（），sin（)，cos()，sin 2sin（)（)sin（)cos(）cos（)sin（)。給值求值的方法（1）直接法：當(dāng)“已知角有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式(2）常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)的公式,我們把這種代換稱為常值代換

17、，其中特別要注意的是“1”的代換,如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等.1，等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用（3）角的代換：將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式，像這樣的代換方法就是角的代換常見的有：()，（）,（）（）(）(），（2)，2()（)，2（)（）等活學(xué)活用 在abc中，a，cos b，則sin c（）ab。c d.解析:選da，cos asin a,又cos b,0b，sin b，sin csin(ab)sin acos bcos asin b。輔助角公式的應(yīng)用典例求ysin xcos x的最小正周期、最值及單調(diào)遞增區(qū)間解y2

18、22sin.此函數(shù)的最小正周期為2，ymax2，ymin2。令2kx2k，kz，得2kx2k，kz.ysin xcos x的單調(diào)遞增區(qū)間為（kz）輔助角公式及其運用(1)公式asin bcos sin()(或asin bcos cos（）)將形如asin bcos （a，b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式（2)化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角的系數(shù)為正,這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì)活學(xué)活用求函數(shù)f(x）sin2sin的最大值和最小值解：f(x）sin xcoscos xsin2sin xcos2cos xsinsin xcos xsin，f（x）的最大值

19、為，此時x2k（kz）；f（x)的最小值為，此時x2k(kz）層級一學(xué)業(yè)水平達標1(全國卷)sin 20cos 10cos 160 sin 10()ab.c d.解析：選d原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010).2。的值為（)a1 b2c3 d4解析：選a原式2sin 301。3若cos ，是第三象限的角，則sin(）a b.c d.解析:選a因為cos ，是第三象限的角，所以sin ，由兩角和的正弦公式可得sinsin coscos sin。4已知sin，則cos sin 的值為(）a b。c2 d1解析：選bcos sin 22sin2.5函數(shù)ysinsin

20、的最小值為（)a. b2c d。解析：選c因為ysinsinsin 2xcos cos 2xsin sin 2xcoscos 2xsin sin 2x,所以所求函數(shù)的最小值為。6化簡sin 50cos 38cos 50cos 128的結(jié)果為_解析：sin 50cos 38cos 50cos 128sin 50cos 38cos 50(sin 38）sin 50cos 38cos 50sin 38sin（5038)sin 12.答案：sin 127已知，sin ,則sin_.解析：，sin ,cos ,sinsin cos cos sin .答案:8已知cossin,則tan _。解析:cosc

21、os cossin sin cos sin ，sinsin cos cos sinsin cos ,sin cos ，故tan 1。答案：19已知cos (為第一象限角），求cos,sin的值解：cos ，且為第一象限角，sin 。coscos cos sin sin .同理可求sin。10化簡下列各式：（1）sin2sincos；（2)2cos()解:(1）原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0。(2)原式。層級二應(yīng)試能力達標1sin

22、（75)cos（45)cos(15)（)a1b1c1 d0解析：選d原式sin60（15)cos(45）cos（15)cos(15)sin(15）cos(45）sin(45)cos（45）0，故選d。2在abc中，如果sin a2sin ccos b，那么這個三角形是(）a銳角三角形b直角三角形c等腰三角形 d等邊三角形解析：選cabc,a(bc)由已知可得 sin（bc)2sin ccos bsin bcos ccos bsin c2sin ccosbsin bcos ccos bsin c0sin(bc）0。0b，0c,bc0,所以cos a.又，所以a，所以c，所以c不符合題意，所以c.

23、5已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角,則sin_.解析：sin(）cos cos(）sin sin()cos cos（）sin sin（）sin ，即sin ，又是第三象限角，cos ，sinsin coscos sin.答案：6設(shè)為銳角,若cos，則sin_。解析：因為為銳角,所以.又 cos，所以sin.所以sinsinsincos cossin.答案:7已知，均為銳角，且sin ，cos ，求的值解：,均為銳角，且sin ，cos ，cos ，sin 。sin（）sin cos cos sin .又,均為銳角，。故.8已知，0，cos，sin，求sin（)的值解：，s

24、in .0,，cos ，sin（)sin（）sin。31。3兩角和與差的正切預(yù)習(xí)課本p140141，思考并完成以下問題（1)如何利用兩角差（和)的正、余弦公式導(dǎo)出兩角差(和）的正切公式？(2）公式t的應(yīng)用條件是什么？兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號使用條件兩角和的正切tan（)t(）,，k（kz）兩角差的正切tan()t(）,，k（kz)點睛當(dāng)tan ，tan ，tan()(或tan（)中任一個的值不存在時,不能使用兩角和(或差)的正切公式解決問題,應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其他方法解題1判斷下列命題是否正確（正確的打“”，錯誤的打“)(1)存在，r,使tan（)tan tan 成立(）（2）對任意

25、，r，tan()都成立（）答案：(1）（2)2已知tan ，則tan等于（）ab7c.d7答案:d3若tan3，則tan 的值為（）a2 bc. d2答案：b4。_。答案：給角求值問題典例求值：(1)tan（15);（2）;(3)tan 23tan 37tan 23tan 37.解（1)tan 15tan(4530）2，tan（15)tan 152.（2）原式tan（7476）tan 150。（3）tan 60，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.利用公式t(）化簡求值的兩點說明（1)分析式子結(jié)構(gòu),正確選用公式形式：t是三角函數(shù)公

26、式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一，因此在應(yīng)用時先從所化簡(求值）式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換(2)化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應(yīng)用：當(dāng)所要化簡（求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”，“時，要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換，如“1tan ”，“tan ”，這樣可以構(gòu)造出利用公式的條件，從而可以進行化簡和求值活學(xué)活用求值:(1)tan 75；(2)。解:（1)tan 75tan(4530）2.(2）原式tan（6015)tan 451.給值求值問題典例已知cos ，（0，），tan()，求tan 及tan(2)解cos 0，(0，），sin 0。sin

27、 ，tan .tan tan()，tan（2）tan()2.給值求值問題的兩種變換(1)式子的變換：分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式，通過變形，建立與待求式間的聯(lián)系實現(xiàn)求值（2)角的變換：首先從已知角間的關(guān)系入手，分析已知角和待求角間的關(guān)系,如用（），2()（）等關(guān)系，把待求的三角函數(shù)與已知角的三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系，從而求值活學(xué)活用1設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根,則tan(）的值為(）a3b1c1 d3解析：選atan ，tan 是方程x23x20的兩根，tan tan 3，tan tan 2,tan()3。2已知3，tan(）2，則tan(2)_。解

28、析：由條件知3，則tan 2.因為 tan()2，所以 tan（)2，故 tan（2）tan().答案：給值求角問題典例已知tan 2，tan ，其中0，。(1)求tan()；（2)求的值解（1）因為tan 2,tan ,所以tan（)7。(2)因為tan()1,又因為0，所以0，2（0，）,tan(2）1,2。解決給值求角問題的步驟(1）根據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值；(2）討論角的范圍,必要時還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍,從而確定角的大小 層級一學(xué)業(yè)水平達標1化簡：的值為(）a。b.ctan 6 d。解析：選atan（2733）tan 60,原式。2tan 15tan 105等于（

29、)a2 b2c4 d。解析：選atan 15tan 105tan(6045）tan（4560)2，故選a.3已知tan（)，tan,則tan等于（)a。 b。c。 d.解析：選ctan(）,tan,tantan.4在abc中,若tan atan b1，則abc的形狀是（)a銳角三角形 b鈍角三角形c直角三角形 d不能確定解析：選a由tan atan b1，知tan a0，tan b0，從而a，b均為銳角又tan(ab)0，即tan ctan（ab）0,c為銳角，故abc為銳角三角形5若20，25，則（1tan )（1tan ）的值為()a1 b2c1 d1解析:選btan 45tan（2025

30、）1,tan 20tan 251tan 20tan 25，(1tan ）（1tan ）1tan 20tan 25tan 20tan 2511tan 20tan 25tan 20tan 252。6（江蘇高考）已知tan 2，tan(）,則tan 的值為_解析:將化為()，利用兩角差的正切公式求解tan tan()3。答案：37。_。解析：原式tan（4515）tan 30。答案:8已知tan tan 2，tan()4，則tan tan _。解析：tan(），1tan tan ，tan tan 1.答案：9已知tan，tan2，求:(1）tan；（2）tan（）解：（1)tantan.(2)tan()tan23.10已知tan ,tan 是方程x23x40的兩根，且,，求角的大小解：由已知得tan ，tan