黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024-2025學(xué)年度下學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.下列說法中，正確的是（）A.兩個(gè)單位向量一定相等B.兩個(gè)相等的向量起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同C.共線的單位向量必相等D.若與不共線，則與都是非零向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義，向量相等，向量共線的概念分析各個(gè)選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)單位向量的定義，單位向量的方向不確定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，兩個(gè)向量相等只需要長(zhǎng)度相等，方向相同，但起點(diǎn)不一定相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，共線的單位向量可能方向相反，此時(shí)兩向量不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都共線，故若與不共線，則與都是非零向量，D正確.故選：D2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.4 C. D.4i【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的減法及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解.【詳解】依題意，，其虛部為.故選：A3.在中，已知角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理可設(shè)，.由余弦定理得.故選：C4.已知三點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】由題意知，，所以故選：C5.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，所以.故選：C6.在△ABC中，邊BC上的中線為AD，點(diǎn)O滿足，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算可求.【詳解】，故，故選：A.7.如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內(nèi)水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，利用圓錐的體積公式以及水的體積等于容器容積的一半的條件即可求得，則答案可求.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時(shí)，有，整理得．因?yàn)?，，，，則D選項(xiàng)更接近．故選：D．8.如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最小值是（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求出z的軌跡．然后畫圖求解即可．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合線段，如圖所示，所以求的最小值的問題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)Z在線段上移動(dòng)，求的最小值．因此作于，則與的距離即為所求的最小值，，故的最小值是1．故選：A．二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由兩個(gè)平面向量平行、垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算可分別判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，由平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算可分別判斷C項(xiàng)、D項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄?，，若，則，所以，故A正確；若，則，所以，故B正確；若，解得，故C錯(cuò)誤；若，則，所以，故D正確；故選：ABD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（）A.該圓錐的母線長(zhǎng)為 B.該圓錐的體積為C.該圓錐的側(cè)面積為 D.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓錐軸截面的形狀以及面積可得A正確，求出母線長(zhǎng)以及底面半徑可計(jì)算出B正確，C錯(cuò)誤，由側(cè)面展開圖計(jì)算即可求出D正確.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，如下圖所示：因?yàn)檩S截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設(shè)該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯(cuò)誤；設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選：ABD．11.已如的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論證確的是（）A.若，則B.若，則是直角三角形C.若，則是銳角三角形D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理判斷A；利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角差的余弦公式判斷B；根據(jù)數(shù)量積的定義判斷C；結(jié)合圖形得到三角形中的不等關(guān)系化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】對(duì)于A，在中，，則，由正弦定理得，A正確；對(duì)于B，，則，在中，，則，即，則，，即是直角三角形，B正確；對(duì)于C，由，得，即，而為內(nèi)角，因此為鈍角，即是鈍角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，同理，則，即，而，因此，即，D正確.故選：ABD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為，結(jié)合復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得到，即可求解.詳解】由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，.故答案：.13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，計(jì)算可得，可求.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得．又，所以，故．又因?yàn)?，所以．故答案為?14.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長(zhǎng)為4，則它的內(nèi)切球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八面體的特征可知內(nèi)切球的球心為，進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解半徑.【詳解】設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R，給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又和交于點(diǎn)，平面，所以平面ABCD，所以為正八面體的中心，所以到八個(gè)面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點(diǎn)H，所以平面，所以即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以，因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為4，所以，，，所以，，因?yàn)?，，所以，即，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為：．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)復(fù)數(shù)，．（1）若是實(shí)數(shù)，求；（2）若是純虛數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求得a，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由其實(shí)部為0且虛部不為0求得a值，進(jìn)一步得到的共軛復(fù)數(shù)．【小問1詳解】，是實(shí)數(shù)，，即，．【小問2詳解】．是純虛數(shù)，，即，，的共軛復(fù)數(shù)為．16.已知與是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）在平面直角坐標(biāo)系下，若，求在方向上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）1（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，直接平方計(jì)算即可；（3）根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可得到答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?，所?【小問3詳解】在方向上的投影向量為.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，且三角形的面積為，求的周長(zhǎng)l．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由所給等式結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解；（2）聯(lián)立面積公式及可求出b、c，再利用余弦定理求出a，即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）∵，又，所以．（2），即，由余弦定理得：．解得：所以的周長(zhǎng)18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，截去三棱錐.（1）求截去的三棱錐的表面積與剩余的幾何體的體積；（2）在剩余的幾何體中連接，求四棱錐的體積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角形面積公式，求得各個(gè)面的面積，即可求解；根據(jù)題意，結(jié)合割補(bǔ)法，利用柱體和錐體的體積公式，即可求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果結(jié)合結(jié)合割補(bǔ)法即可求解．【小問1詳解】在正方體中，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，可得，所以截去的三棱錐的表面積為：.在正方體中，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，可得正方體的體積為，又因?yàn)槠矫?，即為三棱錐的高，可得，所以幾何體的體積為.【小問2詳解】由（1）可得：四棱錐的體積.19.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且．（1）若邊，，的平分線交邊于點(diǎn)．求的長(zhǎng)；（2）若為邊上任意一點(diǎn)，，．求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得，，利用余弦定理得，根據(jù)等面積法可得結(jié)