蘇教版高中數(shù)學必修4第三章三角恒等變換教案

1、蘇教版高中數(shù)學必修4第三章教案【精美整理版】第三章 三角恒等變換第三章 三角恒等變換13.1兩角和與差的三角函數(shù)2第1課時2第2課時7第3課時12復習課1183.2 二倍角的三角函數(shù)23第1課時23第2課時2833 幾個三角恒等式33復習課238本站資源匯總優(yōu)秀資源，值得收藏43第三章 三角恒等變換【學習導航】1 本章利用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，并由此公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。2 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上。三角恒等變換公式反映了角的相加、相減、二倍角運算引起三角函數(shù)值變化的規(guī)律，

2、是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具。學習和應(yīng)用三角恒等變換，有利于發(fā)展推理能力和運算能力。3、三角恒等變換具有幾何和物理的應(yīng)用背景。以向量為橋梁將三角恒等變換的算式與直觀的幾何圖形相互溝通和轉(zhuǎn)化，有助于學習和應(yīng)用三角恒等變換，還能提高學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學是一個有機聯(lián)系的整體，而不是各不相關(guān)的內(nèi)容的堆積。知識結(jié)構(gòu) tan（+）= tan（-）= cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossinsin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2

3、tan2=學習要求1. 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運用上述公式進行簡單的恒等變換，推導半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓練，進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應(yīng)用。3.1兩角和與差的三角函數(shù)第1課時【學習導航】學習要求1、理解向量法推導兩角和與差的余弦公式，并能初步運用解決具體問題；2、應(yīng)用公式，求三角函數(shù)值.3培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識

4、.【自學評價】1探究反例：問題：的關(guān)系？解決思路：探討三角函數(shù)問題的最基本的工具是直角坐標系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線2探究：在坐標系中a、b角構(gòu)造a+b角3探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形4探究：寫出4個點的坐標，5計算，= = 6探究 由=導出公式學習札記展開并整理得 所以 可記為 7探究 特征熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點； 此公式對任意a、b都適用公式記號8探究 cos(a-b)的公式以-b代b得： 公式記號【精典范例】例1 計算 cos105 cos15 coscos-sinsin【解】 例2已知sina=，cosb=求cos(a-b)的值.【解】 例3已知cos(2-)=-,sin (-

5、2)=,且,0,求cos(+)的值。 分析：已知條件中的角與所求角雖然不同，但它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范圍，分別求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。 【解】 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3）在三角變換中，首先應(yīng)考慮角的變換,如何變換角？一定要根據(jù)題目的條件與結(jié)論來變，簡單地說就是“據(jù)果變形”，創(chuàng)造出使用三角公式的條件，以達到求值、化簡和證明的目的.常用的變換角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,【追蹤訓練】：學習札記1sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, ),b(0, ),求cos(a-b)的值。2求cos75的

6、值 3計算：cos65cos115-cos25sin1154 計算：-cos70cos20+sin110sin205已知銳角a,b滿足cosa= cos(a+b)=求cosb.6已知cos(a-b)=,求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值.【選修延伸】例5已知，是第三象限角，求的值.例6，且，求的值.練習：1滿足的一組的值是 （ ） a. b. c. d. 學習札記2若，則的值為 （ ） a. 0 b. 1 c. d. 1 3已知cos= ,（，2），則cos（）= 。4化簡： = 。5利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：（1）（2）（3）（4）【師生互動】第2課時【

7、學習要求】1 掌握兩角和與差的正弦公式及其推導方法。2 通過公式的推導，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。并運用進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。3 掌握誘導公式 重點難點 重點：由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式 難點：進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形【自學評價】 1 兩角和的正弦公式的推導sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb=sinacosb+cosasinb即： 以-b代b得： 2公式的分析，結(jié)構(gòu)解剖：正余余正符號同?！揪浞独繉W習札記 例1求值【解】例2 ：已知，求的值.例3已知sin(

8、a+b)=,sin(a-b)= 求的值.【解】例4（1）已知，求tan: tan的值.【解】思維點拔：由兩角和的余弦公式推導出兩角和的正弦公式，并進而推得兩角和的正弦公式，并運用進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形?！咀粉櫽柧氁弧浚?. 在abc中，已知cosa =，cosb =，則cosc的值為（ ）（a） （b） （c） （d）2.已知，求sin(a + b)的值. 3.已知sina + sinb = ，求cosa + cosb的范圍. 學習札記4.已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值. 4 已知sina+sinb= cosa+cosb= 求cos(a-b)【解】

9、【選修延伸】例5化簡.【解】 思維點拔：我們得到一組有用的公式： sincossincos(2) sincos2sin2cos(3) asinbcossin（）cos（）【追蹤訓練二】：1化簡 2求證：cosx+sinx=cos(x) . 3. 求證：cosa+sina2sin(+a). 學習札記4. 已知，求函數(shù)的值域. 5.求的值. 【師生互動】第3課時【學習導航】5 掌握兩角和與差的正切公式及其推導方法。6 通過公式的推導，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。3能正確運用三角公式，進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形。 教學重點：學習重點 能根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角

10、和與差的正切公式學習難點 進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等變形【自學評價】 1兩角和與差的正、余弦公式 2tan(a+b)公式的推導cos (a+b)0tan(a+b)= 當cosacosb0時, 分子分母同時除以cosacosb得：以-b代b得： 其中都不等于7 注意：聽課隨筆1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式tana，tanb，tan(ab)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能用誘導公式. 2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.4請大家自行推導出cot(ab)的公式用cota，cotb表示當sinasinb0時,cot(a+b)= 同理，得：cot(a-b)= 【精典范例】例1已知tana

11、=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0a90, 90b0，x0,時，-5f (x)1，設(shè)g(t)=at2+bt-3，t-1,0，求g(t)的最小值。思維點拔：無論是化簡、求值還是證明都要注意：角度的特點、函數(shù)名稱的特點；其中切弦互化是常用手段；三角變換公式要靈活應(yīng)用，注意角的范圍對解題的影響，同時要掌握有關(guān)解題技巧：化弦、輔助角、角變換、公式逆用、正余弦和積互換。【追蹤訓練】：1 在abc中，c90，則tanatanb與1的關(guān)系適合 （ ）a tanatanb1 b tanatanb1 c tanatanb =1 d 不確定2若0，sincos，sincosb，則（ ）

12、 a ab1 b ab c ab ab23 4設(shè)a，b(,)，tana、tanb是一元二次方程的兩個根，求 a + b.5已知tan、tan是方程x23x30的兩個根,求sin2（）3sin（）cos（）3cos2（）的值。6已知、為銳角，cos，tan（），求cos的值。聽課隨筆7已知sin(45 - a) = ，且45 a 90，求sina . 8試求函數(shù)的最大值和最小值。若呢？ 3.2 二倍角的三角函數(shù)第1課時【學習導航】 知識網(wǎng)絡(luò) 1.二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來表達二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問題. 2.二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如

13、是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍，是的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含義，即當時，就是的二倍角.凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式.尤其是“倍角”的意義是相對的.3.二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時推導出，記憶時可聯(lián)想相應(yīng)角的公式.4.公式成立的條件是 學習要求 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能用上述公式進行簡單的求值、化簡、恒等證明.重點難點 重點：1.二倍角公式的推導；2.二倍角公式的簡單應(yīng)用.難點：理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù).【自學評價】1.復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 學習札記2.二倍角

14、公式的推導 在公式，中，當時，得到相應(yīng)的一組公式： ； ； ；注意： 1在中 2在因為，所以公式可以變形為或 公式，統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡稱為二倍角公式.【精典范例】一、 倍角公式的簡單運用例1不查表求下列各式的值（） （）（） （）【解】例2若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值【解】例3用表示【解】點評：1、加深對“二倍角”的理解，即角的變換；2、進一步體會“化歸思想”（三倍角化歸為兩角和與二倍角）。例4已知，求的值。【解】點評：進一步體會角的變換的妙處。學習札記二、之間的關(guān)系例5已知，求，的值。【解】三、倍角公式的進一步運用例6求證：【解】例7求的值?！窘狻窟M一

15、步探討的值。思維點拔：要理解并掌握二倍角公式以及推導，能正確運用二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明.二倍角公式是由和角公式由一般化歸為特殊而來的，要注重這種基本數(shù)學思想方法，學會怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律.【追蹤訓練】：1.若270360，則等于 ( ) a.sin b.cos c.sin .cos2.求值：(1)sin2230cos2230= (2) (3) (4) 3.求值(1)sin10sin30sin50sin70(2) cos200cos400cos600cos800 學習札記4.已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值. 5.已知，且，求的值。6.

16、已知求的值 7.已知求的值【師生互動】第2課時【學習導航】 知識網(wǎng)絡(luò) 1熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）2特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形： 這兩個形式今后常用。學習要求要求學生能較熟練地運用公式進行化簡、求值、證明，增強靈活運用數(shù)學知識和邏輯推理能力重點難點 重點：理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)難點：靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式【自學評價】1有關(guān)公式：（1）；（2）；（3）。說明：1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；則將（1）（2）相除即得。2、如果知道cos的值和角的終邊所在象限，就可以將右邊開方，從而求得；3、

17、這三個公式的開方形式稱為半角公式，不要求記憶，但推導方法要掌握。4、。說明：1、用正切的半角公式顯然行不同（帶正負號），回到基本關(guān)系式，并向右邊看齊；學習札記2、這種形式的正切半角公式不需考慮符號，要簡單?！揪浞独坷?化簡：【解】例2求證：sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq) = sin2q【證明】【思維點撥】關(guān)于“升冪”“降次”的應(yīng)用:在二倍角公式中，“升次”“降次”與角的變化是相對的。在解題中應(yīng)視題目的具體情況靈活掌握應(yīng)用。例3求函數(shù)的值域?！窘狻坷?求證：的值是與a無關(guān)的定值?！咀C】例5 化簡： 【解】例6 求證：【證明

18、】學習札記例7利用三角公式化簡：【解】 【追蹤訓練】1 若，則等于( )2的值等于( )。sin2 。cos2 。 cos2 。cos23sin6cos24sin78cos48的值為( )4的值等于 。5已知sin，則sin2（）的值等于 。6已知7求值tan70cos10（tan201）。8求值：cos280sin250sin190cos3209求的值。10已知學習札記，求sin4a的值。【師生互動】33 幾個三角恒等式【學習導航】知識網(wǎng)絡(luò) 幾組三角恒等式：1二倍角公式: ； ； ； 2倍角降冪公式3半角公式 4積化和差公式5和差化積公式聽課隨筆6萬能公式7派生公式： (1) (sincos

19、)21sin2 (2) 1cos2cos2， (3 )1cos2sin2，(4) asinbcossin（）cos（）（5）學習要求1.掌握推導積化和差、和差化積公式、半角公式和萬能公式的方法，知道它們的互化關(guān)系2.注意半角公式的推導與正確使用. 學習重點幾組三角恒等式的應(yīng)用學習難點靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式【自學評價】1積化和差公式的推導 因為和是我們所學習過的知識，因此我們考慮；.兩式相加得即；2和差化積公式的推導在上式中若令a + b = q，a - b = ，則， 代入得： 3萬能公式的推導123【精典范例】例1已知，求3cos 2q + 4sin 2q

20、 的值.例2已知，化簡.例3已知，tana =，tanb =，求2a + b .聽課隨筆例4已知sina - cosa = ，求和tana的值.例5已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值.例6已知a、b、c是三角形的內(nèi)角，.（1）問任意交換兩個角的位置，y的值是否變化？試證明你的結(jié)論。（2）求y 的最大值。思維點拔：1、公式正用要善于拆角；逆用要構(gòu)造公式結(jié)構(gòu)；變用要抓住公式結(jié)構(gòu).2、化簡（1）化簡目標：項數(shù)盡量少、次數(shù)盡量低、盡量不含分母和根號.（2）化簡基本方法：異角化同角；異名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代換.3、求值（1）求值問

21、題的基本類型：給角求值；給值求值；給值求角；給式求值.（2）技巧與方法：切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換4、證明（1）證明基本方法：化繁為簡法、左右歸一法、變更命題法.（2）條件等式的證明關(guān)鍵在于分析已知條件與求證結(jié)論之間的差異與聯(lián)系.【追蹤訓練】：1.如果cos，3,則sin的值等于( )2.設(shè)56且cosa,則sin等于( )3.已知tan764，則tan7的值約為( )4.tancot的值等于 5.已知sinacosa1，0，則tan .6.已知tan、tan是方程72810的兩根，則tan 聽課隨筆7.設(shè)25sin2sin240且是第二象限角，求tan. 8.已知cos2，求sin4cos4的值. 9.求證復習課2【學習導航】（一）兩角和與差公式（二）倍角公式 2cos2=1+cos2 2sin2=1-cos2 注意：倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，可實現(xiàn)函數(shù)式的降冪的變化。注： （1）兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型：求值題，化簡題，證明題。（2）對公式會“正用”，“逆用”，“變形使用”；（3）掌握“角的演變”規(guī)律，（4）將公式和其它知識銜接起來使用。重點難點重點：幾組三角恒等式的應(yīng)用難點：靈活應(yīng)用和、差、倍角