連續(xù)介質(zhì)力學(xué)幾個(gè)定律匯總

1、第二章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本定律在第一章中，我們僅考察了連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，而沒有考慮到引 起運(yùn)動(dòng)和變形的因素。本章我們將引入應(yīng)力等概念，并給出連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基 本定律：質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量平衡定律、動(dòng)量矩平衡定律、能量守恒定律及熵 不等式。2.1 應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量在物體的運(yùn)動(dòng)中，物體的兩部分之間或物體與其外界間的力學(xué)作用是通過 力來描述的。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中我們主要研究三種類型的力： (1) 一個(gè)物體的兩 部分之間的接觸力； (2) 由外界作用于物體邊界上的接觸力； (3) 由外界作用于 物體內(nèi)部點(diǎn)的非接觸力 (如重力、離心力等 ) 。在另一方面，由于 (1)(2) 型的力 總是通過某一接

2、觸面發(fā)生作用的，因此通常把作用于單位接觸面積上的接觸力 稱為表面力，或簡(jiǎn)稱面力；由于 (3) 型力作用于物體整個(gè)體積內(nèi)所含的物質(zhì)點(diǎn)， 因此通常把它稱為體積力，或簡(jiǎn)稱體力。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中重要的公理之一就是關(guān)于接觸力形式的柯西假設(shè)?？挛?假設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)刻 t 對(duì)于任何物質(zhì)坐標(biāo) X和與之對(duì)應(yīng)的接觸面 S上的單位法 矢量 n，表面力的存在形式為t t X,t,n (2.101) 通常，我們規(guī)定 t t X,t,n 指向接觸面 S的外法向時(shí)為正，反之為負(fù) (見圖2.1).現(xiàn)在不管在 X和S面與S 面的曲率相差多少。為了研究物體內(nèi)部的力學(xué)狀態(tài)，我們把一物體用一假想平面S截?cái)喑蓛刹糠諥和B，如圖 2

3、.3所示。此時(shí) S面就是 A和B相互作用的接觸面， B部分對(duì) A部分一點(diǎn) 的作用，便可以用 A部分截面上的表面力 tn 來表征，我們稱之為應(yīng)力矢量。反過 來，考慮 A部分對(duì) B部分作用，按照牛頓的作用與反作用定律可得應(yīng)力矢量t。它與 tn作用于同一平面上的同一點(diǎn)處，并且大小相等，方向相反。即 tntn(2.102)對(duì)于物體內(nèi)部的一點(diǎn) P，通過它可以有無窮多個(gè)方向的截面，而對(duì)于不同方 向的截面，應(yīng)力矢量也就不同，這種復(fù)雜情況只有引進(jìn)應(yīng)力張量的概念才能充 分地加以描述。為了刻畫一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)想在一點(diǎn) P的附近任意給定一個(gè)單 位法矢量為cos 1,cos 2,cos(2.103)e1 n,e2

4、n,e3 n的平截面。相應(yīng)地，過 P點(diǎn)沿活動(dòng)標(biāo)架作三個(gè)坐標(biāo)平面。于是它們?cè)谖矬w內(nèi)截得 一個(gè)微小四面體，如圖 2.4 所示。在這個(gè)微小四面體的每一個(gè)面上，都受有物體 的其余部分給它的作用力，不妨設(shè)在 ABC上受到的作用力為 t A，在 PBC，PCA與 PAB上的作用力分別為 t1 A1、 t2 A2與 t3 A3，其中 A與 Ai 分別為各微小平 面的面積，作用于微小四面體 ABCP上單位質(zhì)量的體力為 b。現(xiàn)在假設(shè)對(duì)物體的任何部分，特別是對(duì)微小四面體 ABCP而言，動(dòng)量的變化 率與作用的合力成正比。雖然這是個(gè)很自然且牛頓第二定律更強(qiáng)的新假設(shè)( 因?yàn)榕ｎD第二定律只適用于整個(gè)物體 ) ，然而，它卻

5、不能用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證，因?yàn)椴豢赡茏鰞?nèi)部表面接觸力的直接測(cè)定，這種力的存在與大小只能由其它量的觀測(cè)推知。描述一點(diǎn)是應(yīng)力張量，描述通過一點(diǎn)的某一截面是應(yīng)力矢量。t A t1A1 t2 A2t3 A3bVtAti AibVtAti Acos i1 bh3VtmaVa1h3Aa(2.104)對(duì)于微小四面體 ABCP，柯西定律給出為物體的密度， h 為P點(diǎn)到ABC面的距離，并且考慮到微小四面體的體V 1h A32.104 式也可寫成t ti cos i1 bh1 ha33其中 積.當(dāng)微小四面體體積趨于零時(shí)，即 A t ti cos i考慮到 2.103式，并令tcosi ti n ei Tij ejn T

6、ij ei ej ti cos i Tij ei ej nnT Tij ej ei T T n當(dāng)T對(duì)稱時(shí)，則tnTTnti Ti1e1 Ti2e2 Ti3e3 Tijei 則式2.107可寫成其中T Tij eiej 稱為應(yīng)力張量，其矩陣形式為T11 T12 T13(2.105)(2.106) 0， h 0，則有(2.107)(2.108)n(2.109)(2.110)(2.111)(2.112)如果物體中一點(diǎn)處的應(yīng)力張量已知，那么由式 2.112 可以得到通過該點(diǎn)的任 何截面上的應(yīng)力矢量，因此應(yīng)力張量完全地刻畫了物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。由 Ai 面上的應(yīng)力矢量ti 的定義可知， ti ti X

7、,t ，而由式2.108 知 Tij Tij X,t ，因此式 2.109變?yōu)閠 X,t,n n T X,t (2.113) 上式就是柯西假設(shè)的具體形式，常稱之為柯西基本定理。下面我們研究應(yīng)力張量 T的各分量的力學(xué)意義?？紤]到Tij ei T ej ti ej故知， Tij代表作用于 ei方向截面上的應(yīng)力矢量 ti 在ej方向上的分量，如圖 2.5所 示。我們從圖 2.5 看到，應(yīng)力張量 T 的對(duì)角線元素 Tij i j 位于所作用平面的 法線方向內(nèi)，故稱之為法向應(yīng)力分量；應(yīng)力張量 T 的非對(duì)角線元素 Tij i j 位 于所作用的平面內(nèi)，故稱為剪切應(yīng)力分量。2.2 質(zhì)量守恒定律物質(zhì)無論經(jīng)過怎

8、樣形式運(yùn)動(dòng)，其總質(zhì)量是不變的，這就是古典連續(xù)介質(zhì)力 學(xué)中的最重要規(guī)律之一 質(zhì)量守恒定律。下面我們研究質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表 達(dá)式。由于在運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量保持不設(shè) 為物體的密度， dV 表示物質(zhì)點(diǎn)的體積， 變，所以(2.201)D dVDt展開有DDt dVD dV 0Dt(2.202)又由式D dVDt于是式 2.202 可寫成vi dVdivv dVxi(2.203)其中Dvi0DtxiDdivv0DtDviDttixivt04，則得vi0其不變性形式為把上式代入式xit(2.204)(2.205)(2.206)(2.207)其不變性形式為只是一個(gè)函數(shù)，既不是矢量，又不是張量div v 0注明

9、v是張量，(2.208) 式2.205和式2.208 就是質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式質(zhì)量守恒方程，在連續(xù) 介質(zhì)力學(xué)中常稱為連續(xù)性方程。在正交曲線坐標(biāo)系中，利用式 : Hi gi g j ，連續(xù)性方程可寫為11 v1H 2H 32 v2 H 1H 3t H1H 2H3 1 1 2 32 2 1 3在直角坐標(biāo)系中，連續(xù)性方程為 vxvyvzx y z 0t xyz在柱面坐標(biāo)系中，利用第第一部分二章式1 rv r 1 v v zr z 0t r r r z在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分二章式式 1r 2vr1 sin vt r 2 r r sin 連續(xù)性方程也可用物質(zhì)描述法表示。X,t0 dV0 V x

10、,t dV 其中V是物質(zhì)在現(xiàn)時(shí)刻所占據(jù)的體積，而 x X,t ,t JdV03 v3H1H 20 (2.209)2.13.03 ，2.13.04 ，1vV0V0X,t0 dV0V0(2.210)連續(xù)性方程為(2.211)連續(xù)性方程為(2.212)r sin在這種情況下質(zhì)量定恒定律要求(2.213)V0是物質(zhì)在時(shí)刻 t0所占據(jù)的體積。于是X,t JdV0 因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系式對(duì)任意體積 V0都必須成立， 0J 它表示 J 與時(shí)間無關(guān)，即 J const 這就是物質(zhì)形式的連續(xù)性方程。V0(2.214)故得(2.215)(2.216)2.3 動(dòng)量平衡定律DmDt歐拉把下列關(guān)系作為在連續(xù)介質(zhì)中普遍成立的一般

11、性原理：(2.301)它稱為歐拉第一運(yùn)動(dòng)定律。上式說明任意物體具有的動(dòng)量的變化率等于作用于該物體上的合力 f設(shè)所研究物體在其體積 V上受有連續(xù)分布的體力和在其體積的邊界面 S上連續(xù)分布的接觸力fc，因此物體上所受合力為(2.302)ffb f c其中fbV bdV(2.303)fcStdS(2.304)物體的動(dòng)量為mV vdV(2.305)Dx dV V dV V Dt于是將式 2.302和式2.305 代入式2.301則bdVV adVStdSVD2x其中 a2 表示x點(diǎn)的加速度。Dt由式 2.109 ，(2.306)可將上式改寫為Sn TdSV bdV利用高斯公式SnTdSV TdV則得S

12、TdVV bdV即VV adVV adV(2.307)(2.308)(2.309)b考慮到 V的任意性，則 badivT 需要指出的是， 。其指標(biāo)形式為 Tji;i 展開得a dV(2.310)(2.311)ba這里的散度是對(duì)于空間坐標(biāo)的(2.312)上式稱為柯西第一運(yùn)動(dòng)定律(2.313)T11T21T31b1a1x1x2x3T12T22T32b2a2x1x2x3T13T23T33b3a3x1x2x3aibi(2.314)(2.315)(2.316)物體的加速度為零，則式 2.313 化為(2.317)特別地，在靜止的情況下，divT b 0 在彈性力學(xué)中，上式稱為 在柱面坐標(biāo)系中，利用第一部

13、分第二章 2.13.4.d平衡方程?？傻蒙鲜交癁門rr1 T rTzrTrr TrrzrTr1TTzTr T rrrzrTrz1TzTzzTrzbbzrrzr0br 0b0(2.318)(2.319)(2.320)，則2.317 式可化為Trr1Tr1Tr1rrr sinrTr1T1T1rrr sinr2Trr cot T r T T2TrTr cot T T在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分第二章 2.13.4.ebr 0 (2.321)b 0 (2.322)Tr1 Trr1 T1 2Tr T r cot T Trsin rb 0 (2.323)2.4 動(dòng)量矩平衡定律對(duì)于任意物體下列關(guān)系式成立：D

14、DMtx0 lx0 (2.401) 其中 M x0表示物體繞 x0點(diǎn)的動(dòng)量矩， lx0表示作用于物體上的力對(duì) 上式稱為歐拉第二運(yùn)動(dòng)定律。設(shè)作用于物體上的力矩只是由體力和接觸力引起的 , 故其合力矩為 tdS (2.402)x0點(diǎn)的合力矩lx0 V x x0 而物體的動(dòng)量矩為bdV S x x0DxdVDt將式2.402和式2.403代入式 2.401，并考慮到 DM x0 V x x0(2.403)可得其中aDtDxDtV x x0D x x0DtDxdVDt Dx dV Dt(2.404)x0D2xdVV xDt 2x0Dx DdVDt DtDx dV張量本身叉乘是Dtx0DDt22xdVD

15、x D x0dVDt Dt質(zhì)量守恒 0x0D2xDDt 2x dV(2.405)xD2xDt2x0adV V xx0bdVSxx0 tdS(2.406)表示x點(diǎn)的加速度?？紤]到式 2.110 和高斯公式，則x0bdVS x x0 tdSV x x0adV 可知 S x x0 tdSVxx0bdVS x x0n T dSV x x0adVVxx0ba dV Sn T x x0dS混合積互換Vxx0baTx x0 dV 積分定理Vljkxlx0lbj aj ekiTijxlx0ljlk ekdV張量運(yùn)算V ljk ekxlx0lbj aji Tij xl x0l dVV ljk ekxlx0lbj

16、 ajTij;i xlx0lTij i xlx0l dVVxVxngT dSV ljkekxlx0lTij;ibjajTij il dV 根據(jù)平衡方程，紅色部分為 0V ljk Tij il ekdVV ijk Tij ek dV0 (2.407)考慮到體積 V的任意性，得ijk Tij 0 (2.408)因此， Tij必須對(duì)稱張量，即Tij Tji(2.409)或T TT(2.410)上式叫做柯西第二運(yùn)動(dòng)定律?？挛鞯诙\(yùn)動(dòng)定律限定應(yīng)力張量為對(duì)稱張量，其 中只有六個(gè)獨(dú)立分量。2.5 能量守恒定律在連續(xù)介質(zhì)中，如果只研究力學(xué)量的影響，而不考慮熱學(xué)效應(yīng)，那么連續(xù)介質(zhì)的能量守恒定律可以直接由運(yùn)動(dòng)方程

17、導(dǎo)出。首先，將運(yùn)動(dòng)方程TbDvDt點(diǎn)乘速度矢量 vvTvbDv vDt在體積 V上積分DvV v DtVvT dV考慮到VDvVv V DtD 1v v dVDt 2(2.501)(2.502)V Dtv vdV2D1VDt V 2D1Dt V 2DKDtv vdVv2dV上式表示在體積 V中的總動(dòng)能 Kv bdV(2.503)V 1v v D dV 質(zhì)量守恒 0V 2 Dt(2.504)112 v2dV 的時(shí)間變化率。另外，考慮到v TvjTij;iv jTij ,i v j;iTijT v v :TD W :TD:T W : T反對(duì)陳與對(duì)稱雙點(diǎn)乘是 0 D :T (2.505) 這里利用了

18、反稱張量 W與對(duì)稱張量 T之間的雙重點(diǎn)積為零的性質(zhì)。把式2.504和式2.505代回到式 2.503中去，則得DKVD :TdV V T v dV V v bdVDt V V VTvTvTv(2.506)運(yùn)用高斯公式把上 式右邊第一體積分化 為面積分，并利用柯 西假設(shè) t t n T，則V T v dVSn T v dS添加取掉無影響St vdS(2.507)于是我們得到在純力學(xué)作用下的能量方程將上式代入式 2.506 ，DK V D :TdVDt V(2.508)其中方程左邊兩項(xiàng)分別表示連續(xù)介質(zhì)的動(dòng)能和內(nèi)能 右邊兩項(xiàng)分別表示接觸力和體力所做的功率。若令 5.508 也可簡(jiǎn)潔地寫成DK DU

19、DWDt Dt DtDW其中 Dt 表示接觸力和體力的功率，記號(hào) D 表示這個(gè)量不一定能寫成某個(gè)函數(shù) 的全微分形式。如果同時(shí)考慮機(jī)械能和非機(jī)械能，那么就必須用能量守恒定律的一般形式 。能量守恒定律的一般形式可以表述為：動(dòng)能加上內(nèi)能對(duì)時(shí)間的變化率等于總 功率加上在單位時(shí)間內(nèi)供給物體的各種其它形式的能量。這些能量包括熱能、 化學(xué)能、電磁能等等。本書只考慮機(jī)械能和熱能，于是能量守恒定律就化為著 名的熱力學(xué)第一定律的形式。對(duì)于熱力連續(xù)介質(zhì) (thermomechanical continua) 來說，通常把內(nèi)能的時(shí)間 變化率寫成DU DDt DtSt vdS V b vdV其中 D是速度梯度的對(duì)稱部分

20、(應(yīng)力生熱 ) 的時(shí)間變化率，U表示內(nèi)能，則能量方程(2.509)V udVDu dVV u D dV 是 0DtV DtDu dV Dt 其中u稱為比內(nèi)能，表示每單位質(zhì)量的內(nèi)能密度。另外，我們定義矢量f 為在單位時(shí)間內(nèi)每單位面積的熱通量，函數(shù) q為在單位時(shí)間內(nèi)每單位質(zhì)量的熱輻射量， 于是物體總熱量的增量變化率為DQDt(2.510)S f ndSV qdV(2.511)其中n為物體表面的外法向，熱通量矢量 f 由傅立葉定律給出，即 f k T (2.512)這里 k為熱傳導(dǎo)系數(shù)， T為溫度。 于是熱力連續(xù)介質(zhì)的能量方程可以寫成 DK DU Dt Dt 或?qū)懗煞e分形式D1V v vdVDt 2

21、DWDtDQDt(2.513)V Du dVSt vdS V v bdVDtS f ndSV qdV(2.514)把上式右邊面積分化為體積分后再移到左端，則有1 D v v V 2 Dt(2.515) 由于體積 V是任意的，D v v uDt 2 利用式 2.505，則上式化為Dv Du 1 v D :TDt Dt 整理得Du 1 1 D :TfDt (2.518) 考慮到運(yùn)動(dòng)方程成立，則有Du 1 D:TDt或 Du 1DDut 1 Dij Tij 上式表示 物體內(nèi)能的時(shí)間變化率等于應(yīng)力功率和吸收的熱量之和 式2.513、式2.514、和式 2.519都是能量守恒定律的表現(xiàn)形式。DuDtdV

22、vbq dV 高斯公式故有1T1xiiqvb(2.516)vb(2.517)DDvt 平衡方程 0(2.519)(2.520)2.6 狀態(tài)方程熵定律完整地表征一個(gè)熱力學(xué)統(tǒng)稱做是對(duì)這個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的描述。用來描述這個(gè)狀 態(tài)的物理量稱狀態(tài)參數(shù)。狀態(tài)參數(shù)隨著時(shí)間變化表征一個(gè)熱力學(xué)過程。但是， 在一般情況下，這些狀態(tài)參數(shù)并不全是獨(dú)立的，它們之間存在著某種關(guān)系。這 種關(guān)系就稱為狀態(tài)方程。如果某個(gè)狀態(tài)參數(shù)可以通過其它幾個(gè)狀態(tài)參數(shù)表出， 則稱它為狀態(tài)函數(shù)。現(xiàn)在，我們考慮一個(gè)均勻的熱力學(xué)系統(tǒng)，它處于平衡狀態(tài)，即在沒有外界 影響的條件下，系統(tǒng)的各部分在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不發(fā)生任何變化。描述這樣一個(gè)熱力 學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)為：幾

23、何參數(shù) V(體積) 、力學(xué)參數(shù) p(壓力)及熱力學(xué)參數(shù) T(溫 度) 。聯(lián)系這三個(gè)量的關(guān)系的狀態(tài)方程可寫成F p,V,T 0 (2.601)這里需要指出的是，對(duì)于一定的物質(zhì)來說，狀態(tài)方程是普遍適用的，也就 是說，構(gòu)成熱力學(xué)系統(tǒng)的物質(zhì)一經(jīng)選定，狀態(tài)方程的具體形式也就確定了。例如對(duì)于完全氣體而言，狀態(tài)方程的具體形式可寫成pV m R0T(2.602)M0其中 m為氣體的質(zhì)量， M為分子量， R0是克分子氣體常數(shù)。 在上一節(jié)我們?cè)鴶⑹鲞^熱力學(xué)第一定律，它公設(shè)機(jī)械能和熱能可以互相轉(zhuǎn) 換，但是，只根據(jù)熱力學(xué)第一定律還不能判定這種轉(zhuǎn)換過程是否可逆。事實(shí)上 ，所有的真實(shí)過程都是不可逆的，但可逆過程卻是一個(gè)非

24、常有用的假設(shè)，因?yàn)?在許多情況下，能量耗損是可以忽略不計(jì)的?？赡嫘耘袚?jù)由熱力學(xué)第二定律給 出。熱力學(xué)第二定律公設(shè)存在兩個(gè)獨(dú)立狀態(tài)函數(shù)：絕對(duì)溫度 T和熵 S。它們有如 下性質(zhì)：絕對(duì)溫度 T為一正量，它僅僅是經(jīng)驗(yàn)溫度 (即我們通常見到的溫度 ) 的 函數(shù)，熵 S和體積 V一樣，是一個(gè) 廣延量 ，而溫度是與熵相對(duì)應(yīng)的 強(qiáng)度量 ，正如 壓強(qiáng)是與體積相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量一樣。一個(gè)物體的強(qiáng)度量代表物質(zhì)的內(nèi)在性質(zhì)， 與物體的質(zhì)量大小無關(guān)，而一個(gè)物體的廣延量則可分解為物體上各個(gè)子部分上 的廣延量之和。因此，一連續(xù)介質(zhì)的總熵 S可寫成下列形式：S V sdV (2.603)這里s表示連續(xù)介質(zhì)中的熵密度，即每單位質(zhì)量中

25、的熵。 一個(gè)系統(tǒng)的熵既可由于與外界相互作用而發(fā)生改變，也可由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā) 生變化而改變，因此ds ds e ds i (2.604) 這里ds是熵密度的增量 , dse 是由于與外部相互作用而引起的熵密度增量。 dsi 是由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生變化而引起的熵密度的增量。ds i 決不能為負(fù)值。它在可逆過程中為零，在不可逆過程中為正，即ds i 0 ( 不可逆過程 ) (2.605)ds i 0 ( 可逆過程 ) (2.606)在可逆過程中，如果令 dq R 表示供給系統(tǒng)的每單位質(zhì)量的熱量，則 ds e 可 表示為ds e dq R ( 可逆過程 ) (2.607)按照熱力學(xué)第二定律，在連續(xù)介質(zhì)所占據(jù)

26、的物理空間中總熵的時(shí)間變率不 小于通過連續(xù)介質(zhì)表面流入的熵與連續(xù)體內(nèi)部源產(chǎn)生的熵之和。在數(shù)學(xué)上，這 個(gè)熵原理可以以積分形式表示為ddtV sdVV edVSfTndS(2.608)稱之為克勞修斯 杜姆不等式，其中 e為單位質(zhì)量中的局部熵源。上式中的等號(hào)成立時(shí)表示可逆過程，不等號(hào)成立時(shí)代表不可逆過程利用質(zhì)量守恒定律ddtsdVV ds dVV dtVS ddt dVV ds dVdt和高斯公式V fTndSV考慮到體積 V的任意性， ds 1 e dtdVT則由式 2.608 可得克勞修斯 杜姆不等式的微分形式(2.609)2.7 主應(yīng)力最大剪應(yīng)力t n T 表示物體中一點(diǎn)周圍不同方向上的應(yīng)力矢

27、量公式，當(dāng)應(yīng)力張量已知 時(shí)，在給定的任何一個(gè)方向 n上的應(yīng)力矢量就由 t n T 給出。下面，我們將要討 論的問題是，對(duì)于某給定點(diǎn)來說，在什么方向上法向應(yīng)力Tn 取駐值。這個(gè)問題歸結(jié)為在 n為單位矢量的條件下，即2nn nknk 時(shí)，求 Tn的條件極值問題。Tnni其中f 為約束條件f n n nnin32n121 (2.701) 運(yùn)用大家所熟知的拉格朗日乘子法，有(2.702)11nk nk 0考慮到 Tij Tji ，則由式 2.110可得 Tn n t n T n nkek T pq ep eq kpnkTpqnl ql npTpqnq 將上式代入式 2.702，則 Tnfnini(2.

28、703)nlel(2.704)npTpq nqninpTpqnq npTpq niTnpi pq q2Tiqnq或?qū)懗刹蛔冃孕问?，即TnnpTpq qi ninknkTI寫成展開形式，則為T11T21n1n1T22T12n2n2ni nq ni2T13n3T23n32nk nknikink(2.705)(2.706)(2.707)0 (2.708)上列方程中 n具有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即T31n1 T32n2T33n3(2.709)或32其中I1 I2I1T11 T22T11 T12I2T21 T221 Tii TjjijI3T33T11TijTij1 trT 22T11

29、 T12T12 T22T31 T32(2.710)I3Tii trT(2.711)trT 2TijT22T32detT(2.712)(2.713)I2， I 3是應(yīng)力張量 T的三個(gè)主不變量，方程的解1 ， 2 ， 3 為特征值，j，則 ni nj。事實(shí)上，在 ni 方向上法向應(yīng)力值就是 ni所對(duì)應(yīng)的特征值。將式 2.706與ni點(diǎn) 乘，得這里I1， 不變量。分別稱為第一、第二、第三應(yīng)力 n1， n2， n3為特征矢量。其中若i ini ni ni T ni ti ni(2.714)則 i 就是 ni 方向上的應(yīng)力，稱為主應(yīng)力，而 ni 稱為主方向，主方向所確定的平面 稱為主平面。若ni和n j

30、不兩個(gè)不同的主方向 iTij ni T n j inin j 0 故主應(yīng)力平面上的剪應(yīng)力為零。若以 i Ti ，則應(yīng)力張量矩陣具有下列形式：0 T2 0j ，則在 ni面上n j方向的剪應(yīng)力 Tij 為(2.715)n2，n3) 為坐標(biāo)單位基矢量，并令( n1T1T0000T3(2.716)T Tin i現(xiàn)在我們來討論最大剪切應(yīng)力問題(2.717) 為了計(jì)算方便，不妨將坐標(biāo)系選取在 主方向上，即取 (e1， e2，e3) 為主方向。設(shè) n是通過物體內(nèi)一點(diǎn)的某一平面的單 位法向矢量，則n n1e1 n2e2 n3e3 nkek 作用于該平面的應(yīng)力矢量分量為t n T nkek Tie i ei nkTi ki ei niTiei 在該平面上的法向應(yīng)力為(2.718)(2.719)(2.72