（黃岡名師）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習 2 參數(shù)方程課件 理 新人教A版選修4-4

1、第二節(jié) 參 數(shù) 方 程 (全國卷5年10考) 1.1.曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中, ,如果曲線上任意一點的坐標如果曲線上任意一點的坐標x,yx,y 都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t t的函數(shù)的函數(shù)_并且對于并且對于t t的每一個允的每一個允 許值許值, ,由這個方程組所確定的點由這個方程組所確定的點M(x,y)M(x,y)都在這條曲線上都在這條曲線上, , 那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程, ,聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù) xf(t), yg(t), x,yx,y的變數(shù)的變數(shù)t t叫做叫做_,_,簡稱簡稱_._. 相對于參數(shù)方程

2、而言相對于參數(shù)方程而言, ,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程直接給出點的坐標間關(guān)系的方程 F(x,y)=0F(x,y)=0叫做叫做_方程方程. . 參變數(shù)參變數(shù)參數(shù)參數(shù) 普通普通 2.2.參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)(1)參數(shù)方程化普通方程參數(shù)方程化普通方程: :利用兩個方程相加、減、利用兩個方程相加、減、 乘、除或者代入法消去參數(shù)乘、除或者代入法消去參數(shù). . (2)(2)普通方程化參數(shù)方程普通方程化參數(shù)方程: :如果如果x=f(t),x=f(t),把它代入普通方把它代入普通方 程程, ,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),y=g(t),

3、則得曲線的則得曲線的 參數(shù)方程參數(shù)方程 xf(t) yg(t). ， 3.3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程 軌跡軌跡普通方程普通方程參數(shù)方程參數(shù)方程 直線直線 y-yy-y0 0=tan (x-x=tan (x-x0 0) ) _ (t(t為參數(shù)為參數(shù)) ) (,) 2 點斜式 0 0 xxtcos , yytsin 軌跡軌跡普通方程普通方程參數(shù)方程參數(shù)方程 圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 _ _ (為參數(shù)為參數(shù)) ) 橢圓橢圓 =1(ab0) =1(ab0) _ _ ( (為參數(shù)為參數(shù)) ) xarcos ,

4、 ybrsin 22 22 xy ab xacos , ybsin 【常用結(jié)論常用結(jié)論】 1.1.參數(shù)方程化普通方程參數(shù)方程化普通方程 常用方法常用方法: :代入消元代入消元, ,加減消元加減消元, ,平方后加減消元平方后加減消元; ; 常用公式常用公式:sin :sin 2 2+cos +cos 2 2=1,=1, 1+tan 1+tan 2 2= .= . 2 1 cos 2.2.直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義 (1)(1)過定點過定點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0),),傾斜角為傾斜角為的直線參數(shù)方程的標的直線參數(shù)方程的標 準形式為準形式為 (t(

5、t為參數(shù)為參數(shù)).). (2)t(2)t的幾何意義是直線上的點的幾何意義是直線上的點P P到點到點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )的數(shù)量的數(shù)量, , 即即|t|=|PP|t|=|PP0 0| |時為距離時為距離. . 0 0 xxtcos yytsin ， (3)(3)直線上任意兩點直線上任意兩點P P1 1,P,P2 2對應(yīng)的參數(shù)分別為對應(yīng)的參數(shù)分別為t t1 1,t,t2 2, ,則則 |P|P1 1P P2 2|=|t|=|t1 1-t-t2 2|,P|,P1 1P P2 2的中點對應(yīng)的參數(shù)為的中點對應(yīng)的參數(shù)為 (t(t1 1+t+t2 2).). 1 2 考點一參數(shù)方程與

6、普通方程的互化考點一參數(shù)方程與普通方程的互化 【題組練透題組練透】 將下列參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程 (1) (0t5)(1) (0t5) 2 2 x3t2 yt1. ， (2) (t(2) (t為參數(shù)為參數(shù)) ) (3) (a,b(3) (a,b為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù),t,t為參數(shù)為參數(shù)) ) (4) (t(4) (t為參數(shù)為參數(shù),0t),0t) 2 2 2 2 3t x 1t 5t y. 1t ， a1 x(t) 2t b1 y(t). 2t ， x 14cos t y24sin t. ， 【解析解析】(1)(1)消去消去t t2 2得得x=3(y+1)+2,x=

7、3(y+1)+2, 即即x-3y-5=0,x-3y-5=0,由于由于x=3tx=3t2 2+22,77,+22,77, 所以化為普通方程為所以化為普通方程為x-3y-5=0(2x77).x-3y-5=0(2x77). (2)(2)從從x= x= 中解得中解得t t2 2= ,= , 代入代入y= y= 中中, ,整理得到整理得到2x+y-5=0.2x+y-5=0. 但由但由t t2 2= 0,= 0,解得解得0 x3,0 x3, 所以化為普通方程為所以化為普通方程為2x+y-5=0(0 x3).2x+y-5=0(0 x0t0時時,xa,+);t0,xa,+);t0,b0).=1(a0,b0).

8、 a1 (t) 2t a1 (t) 2t 2 2 2 a1 (t2) 4t b1 (t) 2t 2 2 2 b1 (t2) 4t 22 22 xy ab (4)(4)因為因為0t,-1cos t1,0sin t1,0t,-1cos t1,0sin t1, 所以所以-3x5,-2y2,-3x5,-2y2, (x-1)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=16cos =16cos 2 2t+16sin t+16sin 2 2t=16.t=16. 所以所以(x-1)(x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=16(-3x5,-2y2).=16(-3x5,-2y2). 【規(guī)律方法規(guī)律方法

9、】 消去參數(shù)的三種方法消去參數(shù)的三種方法 (1)(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式, ,然后代入消然后代入消 去參數(shù)去參數(shù). . (2)(2)利用三角恒等式消去參數(shù)利用三角恒等式消去參數(shù). . (3)(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, ,靈活地選用一些方靈活地選用一些方 法從整體上消去參數(shù)法從整體上消去參數(shù). . 考點二參數(shù)方程的應(yīng)用考點二參數(shù)方程的應(yīng)用 【典例典例】在直角坐標系中在直角坐標系中, ,曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 ( (為參數(shù)為參數(shù)),),直線直線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù)),),點點

10、P(0, ).P(0, ). (1)(1)求曲線求曲線C C的普通方程的普通方程. . x5cos y15sin ， 1 xt 2 3 y3t 2 ， 3 (2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l與曲線與曲線C C的兩個交點為的兩個交點為A,B,A,B, 求求|PA|+|PB|PA|+|PB|的值的值. . 【解析解析】(1)(1)消去參數(shù)消去參數(shù)得曲線得曲線C C的普通方程為的普通方程為 =1.=1. 22 xy 515 (2)(2)點點P(0, )P(0, )在直線在直線l上上, , 將直線的參數(shù)方程代入曲線將直線的參數(shù)方程代入曲線C C的普通方程得的普通方程得:t:t2 2+2t-8=0,+2t-8=

11、0, 設(shè)其兩個根為設(shè)其兩個根為t t1 1,t,t2 2, ,所以所以t t1 1+t+t2 2=-2,t=-2,t1 1t t2 2=-8,=-8,由參數(shù)由參數(shù)t t的的 幾何意義知幾何意義知:|PA|+|PB|=|t:|PA|+|PB|=|t1 1-t-t2 2|= =6.|= =6. 3 2 121 2 (tt )4t t 【規(guī)律方法規(guī)律方法】 1.1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點應(yīng)用直線參數(shù)方程的注意點 在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時在使用直線參數(shù)方程的幾何意義時, ,要注意參數(shù)前面的要注意參數(shù)前面的 系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、余弦值系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正、余弦值, ,否則參數(shù)不具否

12、則參數(shù)不具 備該幾何含義備該幾何含義. . 2.2.圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以 及取值范圍的問題及取值范圍的問題, ,通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三 角函數(shù)的最大值、最小值求解角函數(shù)的最大值、最小值求解. . 【對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練】 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中. .已知直線已知直線l的普通方程為的普通方程為x-y-x-y- 2=0,2=0,曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (為參數(shù)為參數(shù)),),設(shè)直設(shè)直 線線l與曲線與曲

13、線C C交于交于A,BA,B兩點兩點. . (1)(1)求線段求線段ABAB的長的長. . x2 3cos y2sin ， (2)(2)已知點已知點P P在曲線在曲線C C上運動上運動. .當當PABPAB的面積最大時的面積最大時, ,求求 點點P P的坐標及的坐標及PABPAB的最大面積的最大面積. . 【解析解析】(1)(1)根據(jù)題意根據(jù)題意, ,曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (為參數(shù)為參數(shù)),), 則其普通方程為則其普通方程為 =1,=1, 將直線將直線x-y-2=0 x-y-2=0代入代入 =1,=1, 可得可得:x:x2 2-3x=0,-3x=0,解得解得x=0 x=0或或

14、3,3, 故故|AB|= |x|AB|= |x1 1-x-x2 2|=3 .|=3 . x2 3cos y2sin 22 xy 124 22 xy 124 2 1 1 2 (2)(2)要求在橢圓要求在橢圓 =1=1上求一點上求一點P,P,使使PABPAB的面積最的面積最 大大, ,則則P P到直線到直線l的距離最大的距離最大; ; 設(shè)設(shè)P P的坐標為的坐標為(2 cos ,2sin ),(2 cos ,2sin ),其中其中0,2),0,2), 則則P P到直線到直線l的距離的距離d= d= 又因為又因為0,2),0,2),所以所以 22 xy 124 3 22 |4cos()2| |2 3c

15、os2sin2| 6 2 11 ， 13 666 ， 所以當所以當+ =,+ =,即即= = 時時,d,d取得最大值取得最大值, , 且且d dmax max=3 , =3 ,此時此時P(-3,1),P(-3,1), PABPAB的最大面積的最大面積S Smax max= = |AB|AB|d dmax max=9. =9. 6 5 6 2 1 2 考點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用考點三極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【明考點明考點知考法知考法】 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用是高考的常考考點參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應(yīng)用是高考的?？伎键c, , 一般同時出現(xiàn)參數(shù)方程、極坐標方程一般同時出現(xiàn)

16、參數(shù)方程、極坐標方程, ,需要對給出的方需要對給出的方 程進行針對性互化程進行針對性互化, ,并綜合利用參數(shù)、極徑和極角的幾并綜合利用參數(shù)、極徑和極角的幾 何意義解題何意義解題, ,滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、抽象思維的思滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、抽象思維的思 想和方法想和方法. . 命題角度命題角度1 1求交點坐標、距離、線段長求交點坐標、距離、線段長 【典例典例】(2018(2018渭南模擬渭南模擬) )已知極坐標系的極點在直已知極坐標系的極點在直 角坐標系的原點處角坐標系的原點處, ,極軸與極軸與x x軸非負半軸重合軸非負半軸重合, ,直線直線l的的 極坐標方程為極坐標方程為3cos +sin

17、 -6=0,3cos +sin -6=0,圓圓C C的參數(shù)方的參數(shù)方 程為程為 (為參數(shù)為參數(shù)).). x5cos y15sin ， (1)(1)求直線求直線l被圓所截得的弦長被圓所截得的弦長. . (2)(2)若過若過P(0,-2)P(0,-2)的直線與圓相交于不同的兩點的直線與圓相交于不同的兩點A,B,A,B, 求求 . . PA PB uur uu r 【解析解析】(1)(1)直線直線l的極坐標方程為的極坐標方程為 3cos +sin -6=0,3cos +sin -6=0, 轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為3x+y-6=0,3x+y-6=0, 圓圓C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為

18、 (為參數(shù)為參數(shù)),), 轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為:x:x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5,=5, x5cos , y15sin 則圓心則圓心(0,1)(0,1)到直線到直線3x+y-6=03x+y-6=0的距離的距離 d= d= 則直線被圓所截得的弦長為則直線被圓所截得的弦長為2 2 2 |0 1 6|10 , 2 1 10 510. 4 (2)(2)設(shè)經(jīng)過點設(shè)經(jīng)過點P(0,-2)P(0,-2)的直線方程為的直線方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù)),), 代入圓的方程得代入圓的方程得(tcos )(tcos )2 2+(-2+tsin -1)+(-2+tsin -1)2 2

19、=5,=5, 整理得整理得t t2 2-6tsin +4=0,-6tsin +4=0, 故故 =t=t1 1t t2 2=4.=4. xtcos y2tsin PA PB uur uu r 【狀元筆記狀元筆記】 求坐標、距離、弦長的解題策略求坐標、距離、弦長的解題策略 (1)(1)利用利用,t,t的幾何意義的幾何意義, ,結(jié)合圖形關(guān)系結(jié)合圖形關(guān)系, ,利用弦長利用弦長 公式、正余弦定理等求距離、弦長公式、正余弦定理等求距離、弦長 (2)(2)統(tǒng)一成直角坐標方程解題統(tǒng)一成直角坐標方程解題 命題角度命題角度2 2曲線的位置關(guān)系及應(yīng)用曲線的位置關(guān)系及應(yīng)用 【典例典例】(2018(2018九江模擬九江

20、模擬) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中, , 曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (為參數(shù)為參數(shù)),),以坐標以坐標 原點原點O O為極點為極點,x,x軸正半軸為極軸建立極坐標系軸正半軸為極軸建立極坐標系, ,已知直已知直 線線l的極坐標方程為的極坐標方程為= .= . x7cos , y37sin 1 sin() 6 (1)(1)試判斷直線試判斷直線l與曲線與曲線C C的位置關(guān)系的位置關(guān)系. . (2)(2)若直線若直線= (R)= (R)與直線與直線l交于點交于點A,A,與曲線交于與曲線交于 M,NM,N兩點兩點, ,求求|AM|AN|AM|AN|的值的值. . 3

21、 【解析解析】(1)(1)曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (為為 參數(shù)參數(shù)),), 轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為:x:x2 2+ =7,+ =7, 直線的極坐標方程為直線的極坐標方程為= ,= , 轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x+ y-2=0,x+ y-2=0, x7cos , y37sin 1 sin() 6 3 2 (y3) 所以圓心所以圓心(0, )(0, )到直線到直線x+ y-2=0 x+ y-2=0的距離的距離 d= d= 所以直線與圓相交所以直線與圓相交. . 33 |3 2|1 7 21 3 ， (2)(2)把直線把直線= = 代入代入= ,=

22、,解得解得=1.=1. 把把= = 代入代入2 2-2 sin -4=0,-2 sin -4=0, 解得解得1 1=4,=4,2 2=-1,=-1, 所以所以|AM|=|AM|=|1 1-|=|4-1|=3,|AN|=|-|=|4-1|=3,|AN|=|-2 2|=|1-(-1)|=|1-(-1)| =2,=2,故故|AM|AM|AN|=3|AN|=32=6.2=6. 3 1 sin() 6 3 3 【狀元筆記狀元筆記】 位置關(guān)系相關(guān)解題策略位置關(guān)系相關(guān)解題策略 (1)(1)利用直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論判斷利用直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論判斷 (2)(2)利用方程聯(lián)立后利用方程

23、聯(lián)立后的取值判斷的取值判斷 (3)(3)利用曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的范圍問題利用曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的范圍問題 命題角度命題角度3 3求最值范圍問題求最值范圍問題 【典例典例】(2019(2019武昌模擬武昌模擬) )以直角坐標系的原點以直角坐標系的原點O O為極為極 點點, ,以以x x軸的正半軸為極軸軸的正半軸為極軸, ,且兩個坐標系取相等的長度且兩個坐標系取相等的長度 單位單位, ,已知直線已知直線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù), , 0),0),曲線曲線C C的極坐標方程為的極坐標方程為cos cos 2 2=4sin .=4sin . xtcos , y2tsin (1)(1)若若= ,= ,求直線求直線l的普通方程和曲線的普通方程和曲線C C的直角坐標方的直角坐標方 程程. . (2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l與曲線與曲線C C相交于相交于A,BA,B兩點兩點, ,當當變化時求變化時求|AB|AB| 的最小值的最小值. . 6 【解析解析】(1)(1)當當= = 時時, ,由直線由直線l的參數(shù)方程的參數(shù)方程 (t(t為參數(shù)為參數(shù)),),消去消去t t得得y= x+2,y= x+2,