固體物理總結(jié)能帶理論完全版

1、目錄一、本章難易及掌握要求1二、基本內(nèi)容11、三種近似 1 2、周期場(chǎng)中的布洛赫定理 21）定理的兩種描述 22）證明過(guò)程： 23） 波矢k的取值及其物理意義33、 近自由電子近似 3A、非簡(jiǎn)并情況下 4B、簡(jiǎn)并情況下 5C、能帶的性質(zhì)64、緊束縛近似65、贗勢(shì)96、三種方法的比較107、布里淵區(qū)與能帶 118、能態(tài)密度及費(fèi)米面11三、常見(jiàn)習(xí)題14簡(jiǎn)答題部分14計(jì)算題部分15一、本章難易及掌握要求要求重點(diǎn)掌握： 1）理解能帶理論的基本假設(shè)和出發(fā)點(diǎn)； 2）布洛赫定理的描述及證明； 3）一維近自由電子近似的模型、求解及波函數(shù)討論，明白三維近自由電子近似的思想； 4）緊束縛近似模型及幾個(gè)典型的結(jié)構(gòu)的

2、計(jì)算； 5）明白簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的概念和能帶的意義及應(yīng)用； 6）會(huì)計(jì)算能態(tài)密度及明白費(fèi)米面的概念。 本章難點(diǎn)：1）對(duì)能帶理論的思想理解，以及由它衍生出來(lái)的的模型的應(yīng)用。比如將能帶理論應(yīng)用于區(qū)分絕緣體，導(dǎo)體，半導(dǎo)體； 2）對(duì)三種模型的證明推導(dǎo)。了解內(nèi)容： 1）能帶的成因及對(duì)稱(chēng)性；2）費(fèi)米面的構(gòu)造；3）贗勢(shì)方法；4）旺尼爾函數(shù)概念；5）波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。二、基本內(nèi)容1、三種近似 在模型中它用到已經(jīng)下假設(shè)： 1）絕熱近似：由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，電子的運(yùn)動(dòng)速度就比離子要大得多。故相對(duì)于電子，可認(rèn)為離子不動(dòng)，或者說(shuō)電子的運(yùn)動(dòng)可隨時(shí)調(diào)整來(lái)適合離子的運(yùn)動(dòng)。多體問(wèn)題化為了多電子問(wèn)題。2）平均場(chǎng)近似：在上述多電

3、子系統(tǒng)中，可把多電子中的每一個(gè)電子，看作是在離子場(chǎng)及其它電子產(chǎn)生的平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，這種考慮叫平均場(chǎng)近似。多電子問(wèn)題化為單電子問(wèn)題。3）周期場(chǎng)近似：假定所有離子產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均勢(shì)場(chǎng)是周期勢(shì)場(chǎng)，其周期為晶格所具有的周期。單電子在周期性場(chǎng)中。2、周期場(chǎng)中的布洛赫定理1）定理的兩種描述當(dāng)晶體勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，電子波動(dòng)方程的解具有以下性質(zhì)：形式一：，亦稱(chēng)布洛赫定理，反映了相鄰原包之間的波函數(shù)相位差形式二：，亦稱(chēng)布洛赫函數(shù)，反映了周期場(chǎng)的波函數(shù)可用受調(diào)制的平面波表示.其中，取布拉菲格子的所有格矢成立。2）證明過(guò)程： a. 定義平移算符，b 證明與的對(duì)易性。c.代入周期邊界條件，求出在與共同本征

4、態(tài)下的本征值 。即 d. 將代入的本征方程中，注意定義，可得布洛赫定理。！3） 波矢k的取值及其物理意義 ，k是第一布里淵區(qū)的波失，稱(chēng)簡(jiǎn)約波矢。其是平移算符本征值量子數(shù)，而反映了原胞之間電子波函數(shù)位相的變化。同時(shí)也可以得出如果一個(gè)勢(shì)場(chǎng)是周期場(chǎng)，那么可以把其波函數(shù)設(shè)為布洛赫函數(shù)。3、 近自由電子近似 1）思想：假設(shè)將周期場(chǎng)的周期起伏看作自由電子穩(wěn)定勢(shì)場(chǎng)的微擾2）條件要求：原子的動(dòng)能大于勢(shì)能以使電子可以自由運(yùn)動(dòng)，勢(shì)函數(shù)的的起伏很小，以滿足微擾論適用，外層電子以滿足電子可以自由運(yùn)動(dòng)。3）模型建立過(guò)程：首先，在零級(jí)近似下，考慮到周期性邊界條件得到了波矢的允許取值，推出了能量的準(zhǔn)連續(xù)性；其次，由于考慮到

5、二級(jí)微擾，而推出能量在布區(qū)邊界處分裂，且發(fā)生了能級(jí)間的“排斥作用”，于是形成能帶和帶隙。A、非簡(jiǎn)并情況下1)由假設(shè)1,2可得系統(tǒng)的哈密頓量和薛定諤方程：，微擾項(xiàng)：，滿足的方程式: .2)利用微擾論方法有設(shè)：， 其中：， （） 設(shè)： 其中： , （）4）結(jié)論：能量本征值：波函數(shù)：5）波函數(shù)的意義：第一項(xiàng)是波矢為k的前進(jìn)的平面波，第二項(xiàng)是平面波受到周期性勢(shì)場(chǎng)作用產(chǎn)生的散射波 再令，則有 具有布洛赫函數(shù)形式，其中用到B、簡(jiǎn)并情況下1)此時(shí)波矢k離較遠(yuǎn)，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大把3*按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得 由于能級(jí)間“排斥作用”，量子力學(xué)中微擾作用下，兩個(gè)相互影響的能級(jí)總是原來(lái)較高的能量提高了，原來(lái)較低

6、的能量降低了2）時(shí)，波矢k非常接近，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小按將3*式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得 代入相應(yīng)的 ，得 可得如下結(jié)論兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來(lái)能量高的狀態(tài)能量提高，原來(lái)能量低的狀態(tài)能量降低。周期性 周期為倒格矢，由晶格平移對(duì)稱(chēng)性決定反演對(duì)稱(chēng)性 是個(gè)偶函數(shù) 宏觀對(duì)稱(chēng)性 為晶體的一個(gè)點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)操作 C、能帶的性質(zhì)簡(jiǎn)約波矢的取值被限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，要標(biāo)志一個(gè)狀態(tài)需要表明：1)它屬于哪一個(gè)能帶（能帶標(biāo)號(hào)）2)它的簡(jiǎn)約波矢 是什么？3) 能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲2) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點(diǎn)處3) 禁帶的寬度4）各能帶之間是禁帶, 在完整的晶

7、體中，禁帶內(nèi)沒(méi)有允許的能級(jí)5）計(jì)入自旋，每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài)4、緊束縛近似1）緊束縛近似的假設(shè)：電子在原子附近，主要受該原子勢(shì)場(chǎng)作用，其它原子勢(shì)場(chǎng)視為微擾作用。故此時(shí)不能用自由電子波函數(shù)，而用所有原子的同一電子波函數(shù)的線性組合來(lái)表示。不考慮不同原子態(tài)間的作用。它一般要求原子之間的距離較大。2）模型實(shí)現(xiàn)對(duì)于簡(jiǎn)單格子電子在格矢處原子附近運(yùn)動(dòng)滿足的薛定諤方程：是晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)_所有原子的勢(shì) 場(chǎng)之和。對(duì)方程進(jìn)行變換有即是微擾作用。 設(shè)晶體中電子的波函數(shù)（此法的本質(zhì)），代入上得：考慮到當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的重疊很有 ，用左乘上面方程5*，得到則得，考慮到周期性的勢(shì)場(chǎng)，應(yīng)有，（是任意

8、常數(shù)矢量），則有，利用歸一化條件則得：晶體中電子的波函數(shù)考慮用簡(jiǎn)約波失表示有，由此可得對(duì)于確定，而且實(shí)現(xiàn)了N個(gè)晶體中的電子波函數(shù)與束縛態(tài)的波函數(shù)的幺正變換換： 3）模型簡(jiǎn)化：考慮的化簡(jiǎn)：當(dāng)有重疊時(shí)，積分不為0。a最完全的重疊，得b其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢，得。6*能帶底部電子的有效質(zhì)量,能帶頂部電子的有效質(zhì)量.4）能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng)A 計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶 s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ(chēng)的，在各個(gè)方向重疊積分相同。找出緊鄰坐標(biāo)代入6*有，其中在能帶處在處用級(jí)數(shù)展開(kāi)有，在能帶頂部按附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得 帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬，同樣可以看

9、出，由于k的取值可以有N個(gè)，故一個(gè)能級(jí)在微擾下分裂成為一個(gè)能帶。 B 對(duì)于一般情況有如下結(jié)論：一個(gè)原子能級(jí)ei對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較窄，能量較高的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較寬。簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等等，由于p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類(lèi)似能帶交疊。但是其能帶不再是僅僅靠主量子數(shù)N決定，與L值也有關(guān)。 對(duì)于內(nèi)層電子能級(jí)和能帶有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，對(duì)于外層電子，能級(jí)和能帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜。5）瓦尼爾函數(shù) 緊束縛近似中，能帶中電子波函數(shù)可以寫(xiě)成布洛赫

10、和，對(duì)于任何能帶，即一個(gè)能帶的Wannier 函數(shù)是由同一個(gè)能帶的布洛赫函數(shù)所定義。如果晶體中原子之間的間距增大，當(dāng)電子距離某一原子較近時(shí)，電子的行為類(lèi)似于孤立原子時(shí)的情形。性質(zhì)：a. 局域性質(zhì)（定域性） 由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 為中心的定域函數(shù)。b.正交性5、贗勢(shì)1）引入贗勢(shì)的目的：在近自由電子近似時(shí)，假設(shè)電子所處勢(shì)場(chǎng)的周期性起伏小，但實(shí)際材料勢(shì)場(chǎng)周期性起伏都比較大，不能用近自由電子模型求解。但是近自由電子模型計(jì)算結(jié)果對(duì)于對(duì)于實(shí)際能帶結(jié)構(gòu)是適合的。為了解決這個(gè)矛盾，引入贗勢(shì)概念。2）贗勢(shì)定義：在離子實(shí)內(nèi)部，用假想的勢(shì)能取代真實(shí)的勢(shì)能，求解波動(dòng)

11、方程時(shí)，若不改變其能量本征值及離子實(shí)之間的波函數(shù)，則這個(gè)假想的勢(shì)能成為贗勢(shì)。3）模型的實(shí)現(xiàn)方式：是贗勢(shì)包含離子勢(shì)和價(jià)電子的作用，稱(chēng)為有效勢(shì)，可以有多種具體形式。選擇包含一個(gè)或幾個(gè)參量的模型，用與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較的方法，確定這些參量。6、三種方法的比較：近自由電子近似是一種電子可以自由運(yùn)動(dòng)的模型，是一種在自由電子基礎(chǔ)上的微擾論，結(jié)果是自由電子能級(jí)發(fā)生分裂，形成能帶。在使用它解決問(wèn)題時(shí)需要知道，而這個(gè)可以通過(guò)贗勢(shì)來(lái)實(shí)現(xiàn)，不同的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的贗勢(shì)是不同的。而緊束縛近似針對(duì)于電子被束縛在原子周?chē)?，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)只需知道和，對(duì)于不同的原包結(jié)構(gòu)其和均不同，這里應(yīng)該也會(huì)有一個(gè)贗勢(shì)的方法，可以說(shuō)緊束縛近似是在H原子

12、模型上在用微擾論的。所以它的能帶是在能級(jí)的基礎(chǔ)上形成的，是原來(lái)原子團(tuán)的能級(jí)分裂成的。而贗勢(shì)方法只是提供了一種尋找等價(jià)的方法，實(shí)際運(yùn)算需要結(jié)合其他的模型。7、布里淵區(qū)與能帶 1）明白波失空間和倒空間的區(qū)別，倒空間是倒格子的集合，倒格點(diǎn)是固定的分立的，而波失空間是波失的集合，波失是準(zhǔn)連續(xù)的。在相同的空間大小中，波失數(shù)比倒格矢數(shù)要多。2）布里淵區(qū)是波失空間的分區(qū)域，也是倒空間的分區(qū)域，他是在k空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫(huà)出，k空間分割為許多區(qū)域，每個(gè)區(qū)域內(nèi)Ek是連續(xù)變化的，而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變，這些區(qū)域稱(chēng)為布里淵區(qū)。8，能態(tài)密度及費(fèi)米面1） 能態(tài)密度： ，表示能態(tài)數(shù)目

13、，如果在波矢空間，根據(jù) E(k)常數(shù) 作出等能面，則在等能面 E 和EE之間的狀態(tài)的數(shù)目就是ZE 。由于狀態(tài)在 k 空間分布是均勻的、準(zhǔn)連續(xù)的狀態(tài)密度是，所以ZEV（2）3（兩等能面EE+E之間的體積）經(jīng)過(guò)積分計(jì)算得：考慮電子自旋為2，則二維： ZES（2）2（兩等能線E-E+E之間的面積），一維ZEL（2）（兩等能點(diǎn)E-E+E之間長(zhǎng)度），21/22）費(fèi)米面： A.費(fèi)米面是指絕對(duì)零度時(shí)， k 空間電子占據(jù)態(tài)與未占據(jù)態(tài)之間的分界面。電子填充量子態(tài)的形式：按泡利不相容原理由低到高填充能量盡可能低的N（電子數(shù)）個(gè)量子態(tài)。對(duì)于自由電子，電子填充k空間半徑為kF的球=自由電子數(shù)，便可求得相應(yīng)的，當(dāng)溫度不

14、是絕對(duì)零度時(shí)，求就與第七章是聯(lián)系在一起了。B. 電子填充能帶的形式有兩種類(lèi)型：第一種：電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的能帶都是空的。最高的滿帶稱(chēng)為價(jià)帶(valence band)，最低的空帶成為導(dǎo)帶(conduction band)，價(jià)帶最高能級(jí)與導(dǎo)帶最低能級(jí)之間的范圍則為帶隙(band gap)。半導(dǎo)體帶隙寬度較小 1 eV，絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV第二種：除去完全被電子充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，部分被電子填充的能帶被稱(chēng)為導(dǎo)帶(conduction band)。這時(shí)，電子所占據(jù)的最高能級(jí)即為費(fèi)米能級(jí)，它位于一個(gè)或幾個(gè)能帶的范圍之內(nèi)。在每一部分占據(jù)的能帶中，

15、k 空間都有一個(gè)占有電子與不占有電子的分界面，所有這些表面的集合就是費(fèi)米面。 C.導(dǎo)體，絕緣體，半導(dǎo)體和半金屬的能帶理論解釋:在絕對(duì)零度，如果電子剛好填充一個(gè)或更多能帶,其余能帶是全空的，那么晶體就是絕緣體，外電場(chǎng)也不能因其絕緣體內(nèi)電流的流動(dòng)因?yàn)闈M帶和上邊導(dǎo)帶隔開(kāi),當(dāng)溫度升高時(shí),出現(xiàn)下邊兩種情況。1)當(dāng)溫度升高時(shí),如果帶隙很大,電子很難躍遷到導(dǎo)帶,晶體仍為絕緣體， 2)如果能隙較小,電子隧穿效應(yīng)使得導(dǎo)帶中有少量電子,并在價(jià)帶產(chǎn)生空穴,具有一定的導(dǎo)電性，稱(chēng)為半導(dǎo)體。如能帶未填滿，在外場(chǎng)下電子做定向運(yùn)動(dòng)，就是導(dǎo)體。3)能量交疊較小時(shí)晶體導(dǎo)電性比導(dǎo)體小幾個(gè)數(shù)量級(jí)，晶體則稱(chēng)之為半金屬。D構(gòu)造費(fèi)米面的具

16、體步驟如下： a. 利用En(k)是倒格矢的周期函數(shù)，畫(huà)出布里淵區(qū)的擴(kuò)展圖形。 b. 用自由電子模型畫(huà)出費(fèi)米球。 c. 落在各個(gè)布氏區(qū)的費(fèi)米球片斷平移到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的等價(jià)部位。 d. 由自由電子模型過(guò)渡到準(zhǔn)自由電子模型必須注意能帶邊界禁帶出現(xiàn)。費(fèi)米面同布里淵區(qū)邊界垂直相割，自由電子的費(fèi)米面尖角處要鈍化。三、常見(jiàn)習(xí)題簡(jiǎn)答題部分6.1 周期場(chǎng)是能帶形成的必要條件嗎？ 解答：不是。能帶論雖然是從周期場(chǎng)中推導(dǎo)出來(lái)的，但周期場(chǎng)并不是能帶形成的必要條件，在非晶體中固體中,電子同樣具有能帶結(jié)構(gòu),周期場(chǎng)對(duì)能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是一個(gè)周期性調(diào)幅的平面波，即是一個(gè)布洛赫波。由此

17、使能量本征值也稱(chēng)為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。6.2 禁帶是否一定出線？出現(xiàn)晶帶與哪些因素有關(guān)？ 解答：禁帶不一定出現(xiàn)。在一維情況下，禁帶一定出現(xiàn)，在三維情況下，在 k 空間的不同方向，不連續(xù)的能量范圍不一定相同，從而不連續(xù)不一定導(dǎo)致禁帶的發(fā)生，這就是說(shuō)，不同能帶的禁帶不一定存在，可能發(fā)生能量交疊。在布里淵區(qū)界面是否出現(xiàn)禁帶與下列因素有關(guān)：一是與周期勢(shì)場(chǎng)的具體形式有關(guān)，若在某個(gè)布里淵區(qū)界面上，V r 的展開(kāi)式系數(shù) V G 時(shí),則此布里淵區(qū)界面上將不出現(xiàn)能隙，兩個(gè)能帶聯(lián)為一體；二是與結(jié)構(gòu)因子有關(guān)，如結(jié)構(gòu)因子 S G = 0 時(shí)，在相應(yīng)布里淵區(qū)界面上的能隙為零。 1能帶理論基礎(chǔ) 產(chǎn)生禁

18、帶的原因：是在布區(qū)邊界上存在布拉格反射產(chǎn)生禁帶的原因：是在布區(qū)邊界上存在布拉格反射. 6.3為什么引入正交平面波法？這種方法有何優(yōu)點(diǎn)？解答：同內(nèi)層電子態(tài)正交的平面波稱(chēng)為正交化平面波，電子的布洛赫波函數(shù)只有在兩個(gè)離子實(shí)的中間區(qū)域是變化平緩的，在離子實(shí)區(qū)域（簡(jiǎn)稱(chēng)芯區(qū)），晶體勢(shì)很強(qiáng)，波函數(shù)不像平面波，而具有類(lèi)似于孤立原子中電子波函數(shù)的急劇震蕩特性。因?yàn)槠矫娌ㄕ归_(kāi)收斂很慢,使其難以成為能帶計(jì)算的實(shí)用方法，而價(jià)電 子波函數(shù)的振蕩部分出現(xiàn)離子實(shí)區(qū)域，此波函數(shù)又必須與內(nèi)層電子的波函數(shù)正交，正交平面波正好在離子 實(shí)區(qū)域引進(jìn)振蕩成分，恰好能描述價(jià)電子的特征。 這種方法的優(yōu)點(diǎn)是減少了計(jì)算工作量，只需取幾個(gè)正交的平

19、面波就會(huì)得到很好的結(jié)果。計(jì)算題部分6.1 一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)為，電子的波函數(shù)為（1）（2）（3） （f是某個(gè)確定的函數(shù)）試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數(shù)為 （1） ， ，（2） 同理， ， ，（3） 此處， ，6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫(xiě)成，式中是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度，（3） 在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量解：能帶寬度為 ， 由極值條件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的解為 當(dāng)k0時(shí)，取極小值，且有當(dāng)時(shí)，取極大值 ，且有 由以上的可得能帶寬度為 （2）電子的平均速度為 （3）帶頂和帶底電

20、子的有效質(zhì)量分別為 6.2 一維周期勢(shì)場(chǎng)為 ， 其中 ，W為常數(shù)，求此晶體第一及第二禁帶寬度 解：據(jù)自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢(shì)場(chǎng)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)為： 求得，第一禁帶寬度為 第二禁帶寬度為 6.3 用緊束縛近似計(jì)算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶，畫(huà)出，與波矢的關(guān)系，證明只有在原點(diǎn)和布里淵區(qū)邊界附近，有效質(zhì)量才和波矢無(wú)關(guān)。解： 根據(jù)緊束縛近似， 對(duì)一維，最近鄰 則 為余弦函數(shù) （圖?。?有效質(zhì)量 的圖也省， 在原點(diǎn)附近，很小， 在布里淵區(qū)邊界， 6.4 某晶體電子的等能面是橢球面 ，坐標(biāo)軸1，2，3互相垂直。求能態(tài)密度。 解：由已知條件可將波矢空間內(nèi)電子能帶滿足的方程化為 將上式與橢球公式比較可知，在波矢空間內(nèi)電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積 比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積 由上式可得 能量區(qū)間內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)目 是晶體體積，電子的能態(tài)密