2019年中考二輪數(shù)學(xué)練習(xí)精品講解-相似

1、2019 年中考二輪數(shù)學(xué)練習(xí)精品講解- 相似注意事項(xiàng)：認(rèn)真閱讀理解，結(jié)合歷年的真題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，查找不足！重在審題，多思考，多理解！本章小結(jié)小結(jié) 1 本章概述本章內(nèi)容是對(duì)三角形知識(shí)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，是通過(guò)許多生活中的具體實(shí)例來(lái)研究相似圖形、在全等三角形的基礎(chǔ)上，總結(jié)出相似三角形的判定方法和性質(zhì)，使學(xué)過(guò)的知識(shí)得到鞏固和提高、 在學(xué)習(xí)過(guò)程中， 通過(guò)大量的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)探索三角形相似的條件，并應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)及判定方法來(lái)研究和解決實(shí)際問(wèn)題、在研究相似三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)位似圖形，知道位似變換是特殊的相似變換、小結(jié) 2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)【本章重點(diǎn)】 通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似， 探索相似圖形的性質(zhì)， 掌握相似多

2、邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于相似比的平方、了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件、【本章難點(diǎn)】 通過(guò)具體實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)生活中物體的相似， 利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題、【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問(wèn)題】通過(guò)生活中的實(shí)例認(rèn)識(shí)物體和圖形的相似，探索并認(rèn)識(shí)相似圖形的特征，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等， 對(duì)應(yīng)邊成比例以及面積的比與相似比的關(guān)系，能利用相似三角形的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解圖形的位似，能利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，會(huì)建立坐標(biāo)系描述點(diǎn)的位置，并能表示出點(diǎn)的坐標(biāo)、小結(jié) 3 中考透視圖形的相似在中考中主要考查：(1) 了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比及成比例線段、(2

3、) 認(rèn)識(shí)相似圖形，了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方、 (3) 了解兩個(gè)三角形相似的概念，掌握兩個(gè)三角形相似的條件，能利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題、(4) 了解圖形的位似，能利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小、相似是平面幾何中重要的內(nèi)容， 在近幾年的中考中題量有所增加， 分值有所增大， 且題型新穎，如閱讀題、開(kāi)放題、探究題等、由于相似圖形應(yīng)用廣泛，且與三角形、平行四邊形聯(lián)系緊密，估計(jì)在今后中考的填空題、 選擇題中將會(huì)注重相似三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，并在解答題中加大知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系、具體考查的知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的實(shí)際應(yīng)

4、用、圖形的放大與縮小等、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖專(zhuān)題總結(jié)及應(yīng)用【一】知識(shí)性專(zhuān)題專(zhuān)題 1 比例線段【專(zhuān)題解讀】解決有關(guān)比例線段的問(wèn)題時(shí)，常常利用三角形相似來(lái)求解、例 1 如圖 27 96 所示， A，B， D， E四點(diǎn)在 O上， AE，BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) C， AE 8， OC 12， EDC BAO、(1) 求證 CD CE ；AC CB(2) 計(jì)算 CD CB的值，并指出 CB的取值范圍、分析 利用 CDE CAB，可證明 CDCE 、ACCB證明： (1) EDC BAO， C C， CDE CAB， CDCE .ACCB解： (2) AE 8， OC 12， AC12+4 16， CE=12 4

5、 8、又 CDCE ，ACCB CDCB ACCE 168 128、連接 OB，在 OBC中， OB 1 AE 4， OC=12，2 8 BC 16、【解題策略】將證CDCE 轉(zhuǎn)化為證明 CDE CAB.ACCB專(zhuān)題 2 乘積式或比例式的證明【專(zhuān)題解讀】證明形如a2c ， a3c 或 abc =1 的式子，常將其轉(zhuǎn)化為假設(shè)干個(gè)比例b2db3ddef式之積來(lái)解決、如要證a2c ，可設(shè)法證 ac ， ax ，然后將兩式相乘即可，這里尋找b2dbx bd線段 x 便是證題的關(guān)鍵。例 2 如圖 27 97 所示，在等腰三角形ABC中，過(guò) A 作 AD BC，過(guò) C作 CE AB，又作 DF， ，求證2

6、 、CE FG ADFGBDAGAD3分析 欲證 FGBD 2 ，可將其分成三個(gè)比例式BDFG ， BDy， BDx ，再將三式AGAD 3ADxADAGADy相乘即可、不難得知x就是，而線段y在原圖中沒(méi)有，由相似關(guān)系可延長(zhǎng)交于，CDFGABK那么 y 就是 GK，只要證明BDGD 就可以了、ADGK證明：延長(zhǎng)FG交 AB于 K，連接 DK， DF EC， BEEC， DF BE，AB AC，AD BC， BDDC， EF CF、 FG BC， 1 2， Rt FDC Rt EKF， KF DC， 3 4，四邊形KFCD是平行四邊形，2 5， EKD 3+ 5 4+ 2 90， DK AB，

7、DF AB， BAD FDG， Rt ADB Rt DGF， BDFG 、ADGD ，、GK BDAKGABDBDKGADAG在 ABD中， ADB 90， DKAB， ADB AKD、又 AKD KGD, ADB KGD， BDCD 、ADKG由，得BD3FG 、AD 3AG例 3 如圖 27 98 所示，在中， ： ： =1： 2： 4，求證.ABCABC111ABACBC分析 原式等價(jià)于 BCBC 1，也就是 BCACBC ，在 CA上取一點(diǎn)ABACABACD，使 CD BC，原式就變成BCAD ，要證明這個(gè)比例式，需要構(gòu)造相似三角形，為此作ABAC的平分線，交AB于點(diǎn)，連接，顯然有，從

8、而易證，ACBCEEDEBCEDCEAD DE CE于是只需證BCCE 即可、ABAC證明： A： B： C 1：2： 4，設(shè) A x，那么 B 2x， C 4x作 CE平分 BCA，交 AB于 E，在 AC邊上取一點(diǎn) D，使 CD CB，連接 DE， DCE BCE， CDE B 2x， DEC BEC=3x，又 CDE A+ DEA， DEA x， AD DE，又 DE EC， AD CE、在 ABC和 ACE中， CAB CAE， ACE B 2x， ABC ACE， BCCE ，ABAC即 BCADACCDAC BC ，ABACACAC BCACBC , BCBC =1ABACACAB

9、AC即 111 .ABACBC【二】規(guī)律方法專(zhuān)題專(zhuān)題 3：相似三角形的性質(zhì)【專(zhuān)題解讀】 相似三角形是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，其應(yīng)用廣泛， 可以證明線段相等、平行、 垂直，也可以計(jì)算圖形的面積及線段的比值等，解題的關(guān)鍵是識(shí)別( 或構(gòu)造 ) 相似三角形的基本圖形、例 4 如圖 27 99 所不，在中，看 ， 4cm，那么ABCDE BCAD1DEBD2BC的長(zhǎng)為 ()A、 8cmB、 12cmC、 11cmD、10cm分析 由 DE BC，可得 ADE ABC， DEAD 、因?yàn)?AD1 ，所以 AD1 , 所以 DE1 、BCABBD2AB3BC3因?yàn)?DE=4cm，所以例 5 如圖 27 10

10、0BC=12cm 應(yīng)選 B.所示，在 ABC中， AB BC 12cm， ABC 80， BD是 ABC的平分線，DE BC.(1) 求 EDB的度數(shù)；(2) 求 DE的長(zhǎng)、分析 (1) 由 DE BC，得 EDB DBC 1 ABC，可求 EDB、(2) 由 DE BC，得 ADE 2ACB，那么 DEAE ，再證出 BE DE，可求 DE、BCAB解： (1) DE BC， EDB DBC.BD平分 ABC， DBC 1 ABC 1 80 40， EDB 40、22(2) BD平分 ABC， ABD DBC， DE BC， EDB DBC， EDB EBD， BEDE、 DE BC， AD

11、E ACB， DEAEAB BEAB DE .BCABABAB DE12 DE ， DE=6cm1212【解題策略】將比例式中的AE轉(zhuǎn)化為 AB DE，逐步由未知轉(zhuǎn)化為，建立關(guān)于DE的關(guān)系式來(lái)求解、例 6 如圖 27 101 所示，點(diǎn) D，E 在 BC上，且 FD AB， FE AC，求證 ABC FDE、分析 由可證 FDE B， FED C，從而可證 ABC FDE、證明： FD AB， FE AC， FDE B， FED C， ABC FDE、例 7 08無(wú)錫如圖 27 102 所示，點(diǎn)正是矩形 ABCD的邊 CD上一點(diǎn)， BF AE于點(diǎn) F，求證 ABF EAD、分析 由矩形的性質(zhì)可知

12、 BAD D 90，再由 BF AE可證 AFB D和 DAE FBA，從而證明 ABF EAD、證明：在矩形ABCD中， BAD D=90， BFAE， AFB D 90， ABF+BAE 90、又 DAE+ BAE BAD 90， ABF EAD， ABF EAD，【三】思想方法專(zhuān)題專(zhuān)題 4 分類(lèi)討論思想【專(zhuān)題解讀】 分類(lèi)討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想， 我們?cè)谘芯繂?wèn)題的解法時(shí)，應(yīng)把可能出現(xiàn)的各種情況都加以考慮，這樣才能全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗?wèn)題、例 8 在 ABC中， AB BC AC，D 是 AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D作直線 l ，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l 有條、分析 如圖 271

13、03 所示，過(guò)點(diǎn)D作 AB的平行線，或過(guò)點(diǎn)D作 DF BC，或作 CDH B，或作 ADG B，故填 4、專(zhuān)題 5 建模思想【專(zhuān)題解讀】 本章建模思想多用于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)相似的性質(zhì)解決問(wèn)題、例 9 如圖 27 104 所示，小明想用皮尺測(cè)量池塘A， B 間的距離，但現(xiàn)有皮尺無(wú)法直接測(cè)量池塘A， B間的距離，學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)后，他想出了一個(gè)主意， 先在地面上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B兩點(diǎn)的點(diǎn)O，連接 OA，OB，分別在 OA，OB上取中點(diǎn) C，D，連接 CD，并測(cè)得 CD a，由此他知道A， B 間的距離是 ()A、 1 aB、 2aC、 aD、 3a2分析 D，C分別為 O

14、B，OA的中點(diǎn)， CD是 ABO的中位線， CD 1 AB， AB 2CD 2A、 2應(yīng)選 D、【解題策略】此題將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線的問(wèn)題來(lái)解決、例 10 如圖 27 105 所示，九年級(jí) (1) 班課外活動(dòng)小組利用標(biāo)桿測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，標(biāo)桿高度 CD3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離 BD 15m，人的眼睛與地面的高度 EF 1、6m，人與標(biāo)桿 CD的水平距離 DF 2m，求旗桿 AB的高度、分析 利用相似三角形得比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求線段長(zhǎng)、解：因?yàn)?CD FB， AB FB，所以 CDAB，所以，所以，CGEAHECGEGAHEH即 CDEFFD，AHFDBD所以 31.62，解得 A

15、H11、 9，AH2 15所以 AB AH+HB AH+EF 11.9+1.6 13.5(m) 、故旗桿 AB的高度為 13、 5m、專(zhuān)題 6 轉(zhuǎn)化思想【專(zhuān)題解讀】本章中的轉(zhuǎn)化思想主要用于解決一些比例線段的問(wèn)題、例 11 如圖 27 106 所示， E 為ABCD的邊 CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接交于 ，交于、求證2BE AC OAD FBOOF OE、分析 要證2，只需證，而，在一條直線BOOF OEOFOBOB OE OFOBOE上，因此不能通過(guò)三角形相似證得，于是想到要用中間比，而由可證AOF COB和 AOB COE，即有 OFAO ， OBAO ，從而得證、OBOCOEOC證明：在ABC

16、D中， AB CE， AD BC， AOF COB， AOB COE， AO OF ， AO OB ，OCOBOCOE OF OB ，OBOE2 OBOF OE、例 12 在 ABC和 DEF中， AB 2DE，AC2DF， A D，如果 ABC的周長(zhǎng)是 16，面積是12，那么 DEF的周長(zhǎng)、面積依次為 ()A、 8， 3B、8， 6C、 4， 3D、 4， 6分析 由 AB 2DE， AC2DF， A D，得 ABC DEF，且相似比為 2，那么 S ABC4 ，S DEF1所以 S DEF 12 3， DEF的周長(zhǎng)為16 8、應(yīng)選 A、42例 13 ABC與 DEF相似且面積比為4：25，

17、那么 ABC與 DEF的相似比為、分析 利用相似三角形的性質(zhì)求解、故填2： 5、例 14 ，且 ABC： A B C 1： 2，那么： 、ABC A B CSSAB A B分析 根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，且S ABC： SA B C 1： 2，得 AB： AB1： 2. 故填 1： 2 .2017 中考真題精選1. 2017 廣東， 3， 3 分將左下圖中的箭頭縮小到原來(lái)的1 ，得到的圖形是2題 3 圖ABCD考點(diǎn)： 相似圖形分析： 根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案、解答： 解：圖中的箭頭要縮小到原來(lái)的1 ，箭頭的長(zhǎng)、寬都要縮小到原來(lái)的1 ；22選項(xiàng) B

18、箭頭大小不變；選項(xiàng)C 箭頭擴(kuò)大；選項(xiàng) D的長(zhǎng)縮小、而寬沒(méi)變、應(yīng)選A、點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了相似形的定義，聯(lián)系圖形，即圖形的形狀相同， 但大小不一定相同的變換是相似變換、2. 2017，臺(tái)灣省， 22,5 分某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個(gè)社團(tuán)，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團(tuán)的人數(shù)比例、假設(shè)該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)變化，以下表達(dá)何者正確？舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期345下學(xué)期432A、舞蹈社不變，溜冰社減少B、舞蹈社不變，溜冰社不變C、舞蹈社增加，溜冰社減少D、舞蹈社增加，溜冰社不變考點(diǎn)：比例的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：假設(shè)甲：乙：丙=a：b： c，那么甲

19、占全部的，乙占全部的，丙占全部的、解答：解：由表得知上、下學(xué)期各社團(tuán)人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期=下學(xué)期=舞蹈社增加，溜冰社不變、應(yīng)選 D、點(diǎn)評(píng)：此題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積、3. 2017，臺(tái)灣省， 33,5 分如圖，梯形 ABCD中， AD BC， E、 F 兩點(diǎn)分別在 AB、 DC上、假設(shè) AE=4， EB=6， DF=2，F(xiàn)C=3，且梯形 AEFD與梯形 EBCF相似，那么 AD與 BC的長(zhǎng)度比為何？A、 1：2B、 2： 3C、 2：5D、 4： 9考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)。分析：根據(jù)兩個(gè)梯形相似，那么對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解、解答：解：梯形AE

20、FD梯形 EBCF，且 DF： FC=2： 3AD： EF=EF： BC=2： 3? AD：EF： BC=4： 6： 9AD： BC=4： 9、應(yīng)選 D、點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是關(guān)鍵、4. 2017 貴州畢節(jié)， 7， 3 分兩個(gè)相似多邊形的面積比是9 :16 ，其中較小多邊形周長(zhǎng)為36cm，那么較大多邊形周長(zhǎng)為 ()A、 48cmB、54cmC、 56cmD、 64cm考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)。分析：根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可、解答：解：兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，面積比是周長(zhǎng)比的平方，那么大多邊形與小多邊形

21、的相似比是4：3、相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，因而設(shè)大多邊形的周長(zhǎng)為x，那么有= ，解得： x=48、大多邊形的周長(zhǎng)為48cm、應(yīng)選 A、點(diǎn)評(píng)： 此題考查相似多邊形的性質(zhì)、 相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、 周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方、 2017 福建莆田， 25， 14 分菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1， ADC=60o，等邊 AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn) E、 F。 1 4 分特殊發(fā)現(xiàn)：如圖 1，假設(shè)點(diǎn) E、 F 分別是 DC、 CB的中點(diǎn)，求證菱形 ABCD對(duì)角母 AC、 BD的交點(diǎn) O即為等邊 AEF的外心； 2假設(shè)點(diǎn) E、F 始終分別在邊 DC、 CB上移動(dòng)，記等邊 AEF

22、的外心為點(diǎn) P。 4 分猜想驗(yàn)證：如圖 2，猜想 AEF的外心 P 落在哪一直線上，并加以證明； 5 分拓展運(yùn)用：如圖 3，猜想 AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn) P 任作一直線分別交邊 DA于點(diǎn)M，交邊 DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷11是否為定值，假設(shè)是，請(qǐng)求出該定值；假DMDN設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由?？键c(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心、分析： 1首先分別連接 OE、 0F，由四邊形 ABCD是菱形，即可得 AC BD， BD平分 ADC、AO=DC=BC，又由 E、F 分別為 DC、 CB中點(diǎn)，即可證得 0E=OF=OA，那么可得點(diǎn)

23、O 即為 AEF的外心；2首先分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn) P分別作 PI CD于 I ， PJ AD于 J，即可求得 IPJ 的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊的外心，易證得，可得=，即點(diǎn) P 在ADCAEFPIEPJAPIPJ的平分線上，即點(diǎn)P落在直線 DB上、當(dāng) AE DC時(shí)、 AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn) E、F 分別為 DC、CB中點(diǎn)、連接 BD、AC交于點(diǎn) P，由 1可得點(diǎn) P 即為 AEF的外心、由 GBP MDP，即可為定值2、解答： 1證明：如圖 1，分別連接 OE、0F，CFBEODA第 25 題 圖 1四邊形ABCD是菱形，AC BD，BD平分 ADC、 AO=DC=BC， COD=COB=

24、AOD=90、ADO= ADC= 60=30，又 E、 F 分別為 DC、 CB中點(diǎn)，OE=CD， OF=BC， AO=AD，0E=OFOA，點(diǎn) O即為 AEF 的外心、2猜想：外心P 一定落在直線DB上、證明：如圖2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn) P 分別作 PI CD于 I ， PJAD于 J， PIE=PJD=90， ADC=60， IP J=360 - PIE- PJD- JDI =120，點(diǎn) P 是等邊 AEF的外心， EPA=120， PE=PA， I PJ=EPA， IPE=JPA， PIE PJA， PI =PJ，點(diǎn) P 在ADC的平分線上，即點(diǎn) P落在直線 DB上、為定值2、當(dāng)

25、AE DC時(shí)、 AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn) E、F 分別為 DC、 CB中點(diǎn)、連接 BD、 AC交于點(diǎn) P，由 1可得點(diǎn) P 即為 AEF的外心、如圖 3、設(shè) MN交 BC于點(diǎn) G，設(shè) DM=x， DN=y x0、 y O，那么 CN=y-1 ， BC DA， GBP MDP、BG=DM=x、NCFBEPDAM第 25 題 圖 3CG=1- xBC DA， GBP NDM， x+y=2xy， +=2，即=2點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外心的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)、此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)2017 甘肅蘭州，27， 12

26、分：如下圖的一張矩形紙片ABCD ADAB，將紙片折疊一次，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C重合，再展開(kāi)，折痕 EF交 AD邊于點(diǎn) E，交 BC邊于點(diǎn) F，分別連結(jié) AF和 CE。1求證：四邊形是菱形；AFCE2假設(shè) AE=10cm， ABF的面積為 24cm2，求 ABF的周長(zhǎng)；3在線段 AC上是否存在一點(diǎn) P，使得 22P 的位置，并AE=ACAP？假設(shè)存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)予以證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.AEDOBFC考點(diǎn) ：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換折疊問(wèn)題 .分析 ： 1通過(guò)證明 AOE COF，可得四邊形AFCE是平行四邊形；由折疊的性質(zhì)，可得 =，

27、即可證明； 2由勾股定理得2+ 2=100，的面積為 24cm2 可得，AE ECAB FBABFABBF=48；變換成完全平方式，即可解答； 3過(guò)點(diǎn) E 作 AD的垂線，交 AC于點(diǎn) P，通過(guò)證明AOE AEP，即可證明；解答 ： 1證明：由題意可知OA=OC， EF AO，AD BC， AEO= CFO， EAO=FCO， AOE COF， AE=CF，又 AE CF，四邊形是平行四邊形，AECFAC EF，四邊形AECF是菱形；2四邊形AECF是菱形， AF=AE=10cm，設(shè) AB=a， BF=b， ABF的面積為 24cm2，a2+b2=100， ab=48， a+b 2=196，a

28、+b=14 或 a+b= 14不合題意，舍去 ， ABF的周長(zhǎng)為 14+10=24cm；3存在，過(guò)點(diǎn)E 作 AD的垂線，交AC于點(diǎn) P，點(diǎn) P 就是符合條件的點(diǎn)；證明：=90，=，AEPAOEEAOEAP2 AOE AEP， AE = AO ， AE=AO?AP，AP AE四邊形 AECF是菱形， AO= 122AC， AE= 1AC?AP， 2AE=AC?AP、22點(diǎn)評(píng) ：此題考查了相似和全等三角形的判定和性質(zhì)、 勾股定理及矩形的性質(zhì)，識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力、考查了知2017 湖南益陽(yáng) ,21,12分如圖是小紅設(shè)計(jì)的鉆石形商標(biāo)，ABC是邊長(zhǎng)為2 的等邊

29、三角形，四邊形ACDE是等腰梯形， AC ED， EAC=60， AE=1、 1證明： ABE CBD； 2圖中存在多對(duì)相似三角形， 請(qǐng)你找出一對(duì)進(jìn)行證明， 并求出其相似比不添加輔助線，不找全等的相似三角形； 3小紅發(fā)現(xiàn) AM=MN=NC，請(qǐng)證明此結(jié)論； 4求線段 BD的長(zhǎng)、考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含股定理；等腰梯形的性質(zhì)、專(zhuān)題： 證明題、30 度角的直角三角形；勾分析： 1由 ABC是等邊三角形，得 AB=BC， BAC= BCA=60，由四邊形 ACDE是等腰梯形，得 AE=CD， ACD= CAE=60，利用“ SAS”判定 ABE CBD；2存在、可利用

30、AB CD或 AE BC得出相似三角形；3由2的結(jié)論得AN=AB=2，即CN= 1 AC，同理，得AM= 1 AC，可證AM=MN=NC；CNCD33 4作 DF BC交 BC的延長(zhǎng)線于 F，在 Rt CDF中，由 CDF=30，CD=AE=1，可求 CF，DF，在 Rt BDF中，由勾股定理求 BD、解答： 1證明： ABC是等邊三角形，AB=BC， BAC= BCA=60、 1 分四邊形 ACDE是等腰梯形，EAC=60，AE=CD， ACD= CAE=60， BAC+CAE=120 = BCA+ ACD，即 BAE=BCD、 2 分在 ABE和 BCD中， AB=BC， BAE=BCD，

31、 AE=CD， ABE CBD、3 分 2存在、答案不唯一、如 ABN CDN、證明： BAN=60= DCN， ANB=DNC， ANB CND、5 分其相似比為：AB = 2 =2；6 分CD13由 2得 AN = AB =2，CNCDCN= 1 AN= 1 AC， 8 分23同理 AM= 1 AC，3AM=MN=NC、 9 分4作 DF BC交 BC的延長(zhǎng)線于F， BCD=120， DCF=60、 1O分在 Rt CDF中， CDF=30， CF= 1 CD= 1 ，22 =22=； 11 分DFCDCF12( 1) 2322在 Rt BDF中， BF=BC+CF=2+ 1 = 5 ，

32、DF=3 ，222BD=BF 2DF 2=(=7 、 12 分( 5) 23 )222點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角形，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用、關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形，等腰梯形的特殊性質(zhì)得出平行線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題、 2017?江西， 25， 10某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中對(duì)三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了探討：定義：如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上， 那么我們就把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形、結(jié)論：在探討過(guò)程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在個(gè)、個(gè)、個(gè)大小不同的內(nèi)接正方形、乙同學(xué)

33、：在直角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大、丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小、任務(wù)： 1填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)； 2乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？假設(shè)不正確， 請(qǐng)舉出一個(gè)反例并通過(guò)計(jì)算給予說(shuō)明， 假設(shè)正確，請(qǐng)給出證明； 3請(qǐng)你結(jié)合 2的判定，推測(cè)丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明、考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。分析： 1分別畫(huà)一下即可得出答案；2先判斷，再舉一個(gè)例子；例如：在Rt ABC中， B=90， AB=BC=1，那么 AC2 、 3先判斷，再舉一個(gè)例子：設(shè) ABC的三條邊分別為 a，b， c，不妨設(shè) ab c，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分

34、別為 ha，hb， hc ，內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)分別為 xa， xb， xC、解答：解： 1 1， 2， 3、 3 分2乙同學(xué)的結(jié)果不正確、4 分例如：在 Rt ABC中， B=90， AB=BC=1，那么 AC2 、如圖，四邊形DEFB是只有一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形、設(shè)它的邊長(zhǎng)為a，那么依題意可得： a 1 a ， 1 ， a112如圖，四邊形DEFH兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形、設(shè)它的邊長(zhǎng)為b，那么依題意可得：2，2 、b2bb3222a B、7 分3丙同學(xué)的結(jié)論正確、設(shè) ABC的三條邊分別為a, b, c, 不妨設(shè) a b c ，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為ha , hb , hc ，內(nèi)接正

35、方形的邊長(zhǎng)分別為xa , xb , xc .依 意可得：xahaxa，xaaha. 同理bhb.ahaa haxbb hbxaxbahabhb2S2S11)a hab hba hab hb2S(b hba ha2Sbhbahaahabhb=2Sb2Sa2Sahabhbba=2Sba12S( aha )(b hb )ab=2Shaba1( a ha )( b hb )b又 ba, hab ，h，ba1a0b xx，即 x2x 2 .abab在不等 角三角形中，兩個(gè) 點(diǎn)都在 大 上的內(nèi)接正方形的面 反而 小.(10 分)點(diǎn) ： 此 是一道 度 大的 目，考 了相似三角形的判定和性 以及正方形的性

36、，舉出例子是解此 的關(guān) 、2017 年江西省， 25， 10 分某數(shù)學(xué) 趣小 開(kāi)展了一次活 ， 程如下： BAC= 0 90小棒依次 放在兩射 之 ，并使小棒兩端分 落在兩射 上、活 一：如 甲所示，從點(diǎn)A1 開(kāi)始，依次向右 放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn) 互相垂直，A1A2 第1 根小棒、數(shù)學(xué)思考：1小棒能無(wú)限 下去 ？答：能填“能“或“不能”2 AA1=A1 A2=A2A3=1、 =22.5 度；假 小棒A2n-1 A2n 的 度 ann 正整數(shù)，如A1A2=a1， A3A4=a2，求出此 的 ，并直接寫(xiě)出an用含 n 的式子表示、活 二：a2， a3如圖乙所示， 從點(diǎn) A1 開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小

37、棒依次向右擺放，其中 A1A2 為第 1 根小棒，且 A1A2=AA1、數(shù)學(xué)思考： 3假設(shè)已經(jīng)向右擺放了 3 根小棒， 那么 1=2 ， 2=3 ， 3=4用含 的式子表示； 4假設(shè)只能擺放 4 根小棒，求 的范圍、考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；一元一次不等式組的應(yīng)用；平行線的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形、專(zhuān)題：規(guī)律型、分析： 1此題需先根據(jù)條件 BAC= 0 90小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續(xù)擺下去、 2此題需先根據(jù)條件 AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2 A2A3，得出 A2A3 和 AA3 的值，判斷出 A1A2 A3A4、A3A4A5A6，即可求出A=AA2A1= AA4A3= AA6A，從而此時(shí)a2， a3 的值和出an、 3此題需先根據(jù) A1A2=AA1，得出 A1AA2 和 AA2A1 相等，即可得出 1 的值，同樣道理得出 2 、 3 的值、 4此題需先根據(jù)條件，列出不等式組，解出 的取值范圍，即可得出正確答案、解答：解： 1根據(jù)條件 BAC= 0 90小棒兩端能分別落在兩射線上，小棒能繼續(xù)擺下去、 2 A1A2=A2A3， A1A2 A2A3， A2A1A3=45 AA2A1+ =45 AA2A1= =22.5 A