




已閱讀5頁(yè),還剩29頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀
版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化問(wèn)題的求解一般是非線性規(guī)劃問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極值問(wèn)題。從數(shù)學(xué)上看,無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題就是無(wú)條件極值問(wèn)題,約束優(yōu)化問(wèn)題即條件極值問(wèn)題。本章主要介紹極值理論,重點(diǎn)是優(yōu)化問(wèn)題的極值條件。21多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二元函數(shù)FX1,X2的偏導(dǎo)數(shù)221221021212110121XXXFXXXFXFXXXFXXXFXFXX,LIM,LIM21XFXF、是函數(shù)分別沿坐標(biāo)軸X1、X2方向的變化率。函數(shù)沿某一方向D的變化率稱為該函數(shù)沿此方向的方向?qū)?shù)。其中1、2分別是方向D與X1、X2軸的夾角,COS1、COS2為方向余弦。擴(kuò)展到多元函數(shù),我們有22112122110COSCOS,LIMDXFXFDXXFXXXXFFDNIIIXFF1COSD其中方向余弦為NJJIIXX12COS二、梯度對(duì)二元函數(shù),定義TXFXFXFXFF2121X為函數(shù)FX1,X2的梯度。設(shè)21COSCOSD為D方向的單位向量,則方向?qū)?shù)DXDTFF即沿方向D的方向?qū)?shù)為函數(shù)的梯度與D方向單位向量的內(nèi)積|代表向量的模,(F,D表示梯度向量與D的夾角??梢?jiàn),梯度方向是方向?qū)?shù)最大的方向,即函數(shù)變化率最大的方向。D,COSXDXDFFFFT在等值線FX1,X2C上,求函數(shù)全微分得0212211DXDXFDXXFDXXFT故梯度方向與等值線(切線)垂直。推廣到多元函數(shù)其中TNXFXFXFF21XD,COSXDXDFFFFTNCOSCOSCOSD212112NIIXFFX梯度方向?yàn)楹瘮?shù)等值面FXC的法線方向。22多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)許多算法及其收斂性的證明都基與此。設(shè)函數(shù)具有二次以上連續(xù)性,則泰勒展開(kāi)式為一元函數(shù)(在XX0處)200021XXFXXFXFXF“其中XXX0二元函數(shù)(在XX10,X20處)222222121221212221120102100000221XXFXXXXFXXFXXFXXFXXFXXFXXXXX,其中X1X1X10,X2X2X20。記為矩陣形式有其中XXXXXXXXXX000212221222122122121210212100GFFXXXFXXFXXFXFXXXXXFXFFFTT21XXX02221222122120XXXFXXFXXFXFGHESSIAN矩陣海賽矩陣(24)(24)式可推廣到N元函數(shù)。優(yōu)化計(jì)算時(shí),常將目標(biāo)函數(shù)作泰勒展開(kāi),取到線性項(xiàng)或二次項(xiàng)作為近似表達(dá)。函數(shù)僅有二次項(xiàng)時(shí)稱為二次齊次函數(shù),其矩陣形式為XXXGFT二次型)當(dāng)任意非零向量X使得0XXGT稱二次齊次函數(shù)正定,G稱為正定矩陣。23無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件此處的極值條件指目標(biāo)函數(shù)取得極小值時(shí),極值點(diǎn)所應(yīng)滿足的條件。對(duì)于可微的一元函數(shù),極值點(diǎn)XX0的必要條件是駐點(diǎn),即FX00。判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)需檢驗(yàn)二階甚至更高階導(dǎo)數(shù)。F”X00X0為極小點(diǎn)。F”X00,則FX也為凸函數(shù)。F1X、F2X為R上的凸函數(shù),0,0,則F1XF2X也為R上的凸函數(shù)。三、凸性條件1、FX定義在凸集R上,有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),X1R,X2R,則FX為凸函數(shù)FX2FX1X2X1TFX12、FX定義在凸集R上,有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則FX為凸函數(shù)HESSIAN矩陣GX在R上處處半正定。0XXGT四、凸規(guī)劃1、定義對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題MINFXSTGJX0J1,2,M若FX、GJXJ1,2,M均為凸函數(shù),則稱此優(yōu)化問(wèn)題為凸規(guī)劃。2、性質(zhì)1)可行域內(nèi)任給一點(diǎn)X0,集合RX|FXFX0為凸集。對(duì)二元函數(shù)而言,這意味著其等值線為外凸曲線。證X1R,X2R,則FX1FX0,FX2FX0,FX為凸函數(shù)FAX11AX2AFX11AFX2AFX01AFX0FX0故AX11AX2XR證畢2可行域RX|GJX0,J1,2,M為凸集。證X1R,X2R,由于GJX為凸函數(shù),則有GJAX11AX2AGJX11AGJX20兩項(xiàng)均0)故AX11AX2XR3凸規(guī)劃的任意局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。證(反正法)設(shè)X1為局部極小點(diǎn),但不是全局極小點(diǎn),即在X1的鄰域內(nèi)X點(diǎn)有FXFX1,但此鄰域外存在X2點(diǎn),有FX1FX2。由于FX為凸函數(shù),故有FAX11AX2AFX11AFX2AFX11AFX1FX1當(dāng)A1時(shí),點(diǎn)XAX11AX2進(jìn)入X1點(diǎn)鄰域,此時(shí)有FXFAX11AX2FX1與X1為局部極小點(diǎn)矛盾。25等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件一、消元法(降維法)每個(gè)等式約束方程可消去一個(gè)變量。設(shè)M個(gè)約束方程把N個(gè)變量中的前M個(gè)變量表示為后NM個(gè)變量的函數(shù),XXMINMKHTSFK210,NMMMMNMMNMMXXXXXXXXXXXX2121222111代入原目標(biāo)函數(shù),得新的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。其極值條件為新目標(biāo)函數(shù)的梯度為零。由于M個(gè)約束方程聯(lián)立不易求解,消元法實(shí)際應(yīng)用意義不大。,NMMXXXF21二、拉格朗日乘子法(升維法)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)MKKKHFF1XXX,將FX,視為一個(gè)具有NM個(gè)變量的無(wú)約束條件的目標(biāo)函數(shù)可得其極值必要條件其中前N個(gè)方程可寫為,MKFNIXFKI210210XKKHF0HXXFF式中XXXHXMTMHHH212126不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件工程上大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題均屬具有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題,其極值必要條件是著名的庫(kù)恩塔克KUHNTUCKER條件。,XXMINMJGTSFJ210引入起作用約束下標(biāo)集合MJGJJJ,2,1,0XX則目標(biāo)函數(shù)取得約束極值的KUHNTUCKER條件為X,XXXJJNIXGXFJJJIJJI0210表示為梯度形式有幾何意義在約束極小值點(diǎn)X處,函數(shù)FX的負(fù)梯度可表示為所有起作用約束函數(shù)在該點(diǎn)梯度的非負(fù)線性組合。或目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度向量被包含在起作用約束函數(shù)梯度向量構(gòu)成的錐形區(qū)域內(nèi)。XXXJJJJGF0或XXXJJJJGF非極值點(diǎn)極值點(diǎn)G1X0G2X0FXCXKG1XKG2XK可行域FXK可行下降區(qū)G1X0G2X0可行域XKFXCG1XKG2XKFXK對(duì)同時(shí)具有等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題,X,XXMINLKHMJGTSFKJ210210目標(biāo)函數(shù)取得約束極值的KUHNTUCKER條件為,XX,XXXXLKHJJNIXHXGXFKJJJIKKIJJI2100210庫(kù)恩塔克條件應(yīng)用舉例對(duì)優(yōu)化問(wèn)題001441222122121XXXXTSXXXFMINX試作出可行域,畫出等值線FX025,1,225,4,找出最優(yōu)解,并驗(yàn)證庫(kù)恩塔克條件。解00012132222112221XGXGXXGXXFXXXX目標(biāo)函數(shù)等值線是以(2,0)點(diǎn)為圓心的同心圓,可行域由3條約束函數(shù)曲線圍成,如圖所示。從圖中可知,(1,0)點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)?,F(xiàn)驗(yàn)證其KT條件0101001010101321,GGG1201101220112101111,GXGXXG100110100122212,GXGXGG1,G2為起作用約束,G3為不起作用約束。設(shè)則020102012420101220111,
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 【正版授權(quán)】 ISO 16828:2025 EN Non-destructive testing - Ultrasonic testing - Time-of-flight diffraction technique for detection and sizing of discontinuities
- 多功能城市水系統(tǒng)的優(yōu)化與綜合利用
- 2025至2030全球及中國(guó)零售業(yè)務(wù)管理軟件行業(yè)發(fā)展趨勢(shì)分析與未來(lái)投資戰(zhàn)略咨詢研究報(bào)告
- 影視后期制作專業(yè)發(fā)展規(guī)劃
- 固態(tài)電池漸行漸近、新技術(shù)及工藝持續(xù)涌現(xiàn)
- 2025至2030國(guó)內(nèi)生物飼料行業(yè)發(fā)展趨勢(shì)分析與未來(lái)投資戰(zhàn)略咨詢研究報(bào)告
- 2025至2030全球及中國(guó)聲控?zé)粜袠I(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢(shì)及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025至2030中國(guó)自行式吊桿升降機(jī)行業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢(shì)及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025至2030中國(guó)自定義程序托盤行業(yè)市場(chǎng)占有率及投資前景評(píng)估規(guī)劃報(bào)告
- 2025至2030中國(guó)自動(dòng)絲網(wǎng)印刷行業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢(shì)及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025年中國(guó)LTCC技術(shù)行業(yè)市場(chǎng)現(xiàn)狀、前景分析研究報(bào)告(智研咨詢發(fā)布)
- 租賃住房培訓(xùn)課件下載
- 房管員試題資料
- 2025至2030中國(guó)扭蛋機(jī)行業(yè)市場(chǎng)發(fā)展現(xiàn)狀及商業(yè)模式與投融資戰(zhàn)略報(bào)告
- 2024年蘇州昆山國(guó)創(chuàng)投資集團(tuán)有限公司招聘筆試真題
- DL∕T 5161.5-2018 電氣裝置安裝工程質(zhì)量檢驗(yàn)及評(píng)定規(guī)程 第5部分:電纜線路施工質(zhì)量檢驗(yàn)
- 湖北武漢洪山區(qū)招考聘用社區(qū)干事235人模擬檢測(cè)試卷【共1000題含答案解析】
- IPQC技能培訓(xùn)
- 2022年(詳細(xì)版)高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試知識(shí)點(diǎn)
- 常用樂(lè)高零件清單
- 蛋糕制作工藝課件(PPT81張)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論