【高三數(shù)學(xué)】有關(guān)圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論（共8頁(yè)）

有關(guān)解析幾何的經(jīng)典結(jié)論一、橢圓1點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角2PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)3以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離4以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切5若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在橢圓外，則過(guò)PO作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切,2點(diǎn)弦P1P2的直線方程是02XY7橢圓AB0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)XYA，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為12F12TANPSB8橢圓（AB0）的焦半徑公式XY,1|ME20|EX1FC2,00,MXY9設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF10過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF11AB是橢圓的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則XYAB,0YX，2OMABK即。02YAXK12若在橢圓內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的方程是0,P21B022XXAB13若在橢圓內(nèi)，則過(guò)PO的弦中點(diǎn)的軌跡方程是0,Y21YAB202XYAB二、雙曲線1點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角2PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)3以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交4以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切（內(nèi)切P在右支；外切P在左支）5若在雙曲線（A0,B0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方0,XY21XYB0P程是021AB6若在雙曲線（A0,B0）外，則過(guò)PO作雙曲線的兩條0,PXY2XY切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是021XYAB7雙曲線（A0,BO）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任2B意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為12F12TPSCO8雙曲線（A0,BO）的焦半徑公式,XY02,當(dāng)在右支上時(shí)，,0,M10|MFEXA2|FEXA當(dāng)在左支上時(shí)，,09設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF10過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF11AB是雙曲線（A0,B0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為ABXYB,0YX的中點(diǎn)，則，即。02XKABOM02YAXBAB12若在雙曲線（A0,B0）內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的0,PXY1YB方程是2002XA13若在雙曲線（A0,B0）內(nèi)，則過(guò)PO的弦中點(diǎn)的軌跡方0,PXY21XYB程是202AB橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓1橢圓（ABO）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與Y軸平行的21XY10AA2直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是1XB2過(guò)橢圓A0,B0上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直2XYAB0,Y線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為橢圓（AB0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),21XY,，則12F21FTANT2CO4設(shè)橢圓（AB0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓2XY上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記,，則有12P1212FPSINCEA5若橢圓（AB0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)21XY0E時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離D與PF2的比例中項(xiàng)6P為橢圓（AB0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，21XY則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成211|2|AAFPF2,P立7橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是2200XYAB0AXBYC22ABX8已知橢圓（AB0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且21XY（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值為OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPS9過(guò)橢圓（AB0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦21XYMN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知橢圓（AB0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平21Y分線與X軸相交于點(diǎn),則X220BABX11設(shè)P點(diǎn)是橢圓（AB0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦21YA點(diǎn)記，則1212F212|COSPF12TANPFSB12設(shè)A、B是橢圓（AB0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，2XYAB,，C、E分別是橢圓的半焦距離心率，則有PAB1232|COS|2TN12COTPABABS13已知橢圓（AB0）的右準(zhǔn)線與X軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)21XYALE的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線ACFCLCX經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)14過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)E離心率（注在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)）17橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比E18橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線1雙曲線（A0,B0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與Y21XYB10AA2軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是21XB2過(guò)雙曲線（A0,BO）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互2XYB0,XY補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為雙曲線（A0,B0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),21XYBF1,F2是焦點(diǎn),，則（或12F21PTANT2CCO）TANTCCO4設(shè)雙曲線（A0,B0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）21XYB為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記,12P12P，則有12FPSINCEA5若雙曲線（A0,B0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為21XYBL，則當(dāng)1E時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離D與PF2的比例中項(xiàng)6P為雙曲線（A0,B0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線2XYB內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和1|AFPF2,P在Y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立2,AF7雙曲線（A0,B0）與直線有公共點(diǎn)的充要21XB0AXBYC條件是2BC8已知雙曲線（BA0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)2Y點(diǎn)，且OPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值為（3）221|24AB的最小值是OPQSAB9過(guò)雙曲線（A0,B0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于21XYM,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知雙曲線（A0,B0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的21XYB垂直平分線與X軸相交于點(diǎn),則或X20AB20ABX11設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（A0,B0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F221YB為其焦點(diǎn)記，則1212F212|COSBPF12COTPFS12設(shè)A、B是雙曲線（A0,B0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的2XYB一點(diǎn)，,，C、E分別是雙曲線的半焦距BA離心率，則有12|COS|232TAN1E2COTPABABS13已知雙曲線（A0,B0）的右準(zhǔn)線與X軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙2XYBLE曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且FCL軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)BCX14過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)E離心率注在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)17雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比E18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱(chēng)為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式21122ABKXYK2、直線的一般式方程任何直線均可寫(xiě)成A,B不同時(shí)為0的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為它不適用于斜率為0的直線與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程，特別提醒只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元；8、為直徑端點(diǎn)的圓方程切線長(zhǎng)過(guò)圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）9、弦長(zhǎng)問(wèn)題圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解；過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓公共弦系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程?；馉t子下面是解立體幾何一些簡(jiǎn)單的公式定例公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（1）判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)（2）判定點(diǎn)在平面內(nèi)的方法公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那它還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。（1）判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）判定若干個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上公理3經(jīng)過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。（1）確定一個(gè)平面的依據(jù)（2）判定若干個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。（1）判定若干條直線共面的依據(jù)（2）判斷若干個(gè)平面重合的依據(jù)（3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且僅有一個(gè)平面。推論3經(jīng)過(guò)兩條平行線，有且僅有一個(gè)平面。立體幾何直線與平面空間二直線平行直線公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。異面直線空間直線和平面位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線和平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)立體幾何直線與平面直線與平面所成的角（1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角（2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角（3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是0度的角三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直空間兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行判定性質(zhì)（1）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（2）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（3）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面相交的兩平面二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個(gè)半平面叫二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角兩平面垂直判定性質(zhì)如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直（1）若二