概率及概率密度分布函數(shù)ppt課件

第一章概率和概率密度分布函數(shù)，1，系統(tǒng)狀態(tài)宏，系統(tǒng)狀態(tài)微，統(tǒng)計(jì)方法，最基本的概念，概率，2，1.1概率的基本概念，統(tǒng)計(jì)規(guī)則性，隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件，概率概率定義，概率的基本特性，概率的簡單計(jì)算，3究竟如何，事先無法預(yù)料。例如，你可以控制氣體的體積和氣體的壓力，甚至是其溫度，但在熱運(yùn)動中，你無法控制氣體如何與其他分子碰撞，以及如何與容器壁碰撞，從而無法預(yù)測每個(gè)分子每一分鐘的空間位置和速度。我們說氣體中有一個(gè)分子的空間位置及其移動狀態(tài)是如何隨機(jī)現(xiàn)象的。隨機(jī)事件：在特定條件下可能出現(xiàn)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的多個(gè)結(jié)果中的每個(gè)結(jié)果稱為隨機(jī)事件。4、實(shí)驗(yàn)性地觀察任意現(xiàn)象，在單個(gè)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的不能再“分解”的事件被稱為基本隨機(jī)事件。擲骰子會產(chǎn)生不同點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象在一次實(shí)驗(yàn)中分別出現(xiàn)1，2，3，4，5，6，6是這六個(gè)基本隨機(jī)事件。隨機(jī)現(xiàn)象的所有基本隨機(jī)事件構(gòu)成基本事件組。擲骰子的基本事件組由上述6個(gè)基本事件組成。復(fù)合隨機(jī)事件：隨機(jī)事件b是隨機(jī)事件A1、A2、由Am組成。也就是說，僅在m事件之一發(fā)生時(shí)才會發(fā)生。此類隨機(jī)事件b屬于復(fù)雜隨機(jī)事件。以擲骰子為例，我們可以把“滾動點(diǎn)大于或等于5”作為隨機(jī)事件取b。不管發(fā)生的點(diǎn)數(shù)是5還是6，據(jù)推測，事件b發(fā)生了。b事件由默認(rèn)隨機(jī)事件(發(fā)生點(diǎn)數(shù)為5 )和默認(rèn)隨機(jī)事件(發(fā)生點(diǎn)數(shù)為6 )組成。此時(shí)，隨機(jī)事件b屬于復(fù)合隨機(jī)事件，5，基本隨機(jī)事件組中的事件具有互不兼容：在一次實(shí)驗(yàn)中，如果發(fā)生上述事件b，則A1，A2.Am的隨機(jī)事件發(fā)生，而A1、A2.Am中的兩個(gè)事件不能在單個(gè)實(shí)驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生，稱為互斥。基礎(chǔ)隨機(jī)事件組中的事件彼此不兼容。通常，單個(gè)實(shí)驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)隨機(jī)事件是互斥的隨機(jī)事件。6，2個(gè)隨機(jī)事件各有獨(dú)立的：對于選定隨機(jī)事件a和b，如果其中一個(gè)事件不受其他事件是否發(fā)生的影響，則a和b稱為相互獨(dú)立。例如，同時(shí)扔兩個(gè)骰子。一個(gè)出現(xiàn)在5點(diǎn)，另一個(gè)出現(xiàn)在3點(diǎn)，兩個(gè)骰子分別出現(xiàn)在5點(diǎn)和3點(diǎn)的兩個(gè)隨機(jī)事件可能同時(shí)發(fā)生，但彼此獨(dú)立。雖然放一只骰子，“這次投下是否在5點(diǎn)出現(xiàn)”和“下次投下是否在3點(diǎn)出現(xiàn)”是兩回事。盡管連續(xù)兩次投擲，但兩個(gè)隨機(jī)事件是分開的。接下來，在本課程中，我們將通過實(shí)例說明1分子速度的x成分在哪些大小區(qū)間和y成分在哪些大小區(qū)間，z成分在哪些大小區(qū)間等。7，隨機(jī)現(xiàn)象，默認(rèn)隨機(jī)事件，默認(rèn)事件組，復(fù)雜隨機(jī)事件，a1，a2，an，am-。Galton板實(shí)驗(yàn)：9，如圖所示，將帶有玻璃面板的大盒子垂直隔板分割成多個(gè)寬度相同的小單元，傾斜的底面上有很多鐵釘?shù)哪静圻@種裝置經(jīng)常被稱為卡爾頓板。在向下滾動的過程中，力的復(fù)雜細(xì)節(jié)會失去人的控制，以便從釘板上向下滾動的球與釘板釘不規(guī)則地碰撞。特別是一個(gè)或多個(gè)球或大量的球同時(shí)或繼續(xù)沿著釘板噴灑時(shí)，不能一一控制下落的初始狀態(tài)，不僅與鐵釘相撞，還使每個(gè)球的運(yùn)動看起來隨機(jī)。每個(gè)球的運(yùn)動遵循牛頓的力學(xué)定律，但脫離水桶時(shí)的速度在大小和方向上都是偶然的。因此，在個(gè)別的球上，無法預(yù)測向下滾動，落在大型木箱的什么格子上。10，1。現(xiàn)在保持樹槽的傾斜不變，首先把少量的球從釘板上放下，它們在箱子里相互落下，分布。同樣數(shù)量的小球，盡可能以同樣的方式再一次，再一次，發(fā)現(xiàn)各球的分布有明顯的差異。2.現(xiàn)在撒了很多球。盒子里的每個(gè)畫接收的球數(shù)不一樣。兩邊的球越來越少，中間的一間下降得最多。哪個(gè)車廂最多與樹槽的坡度有關(guān)。用同樣數(shù)量的球再噴一次，可以推測出上述個(gè)別球的運(yùn)動軌跡無法控制，所以對箱子里哪個(gè)進(jìn)哪個(gè)出了充分的偶然性，也可能與上次的分布有明顯的不同，例如灑了少量的球。但實(shí)際上，只要樹槽的傾斜度固定，足夠數(shù)量的球和總數(shù)保持不變，如果球的播種方式也盡可能相同，通過多次實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果彼此非常接近。11、卡爾頓板實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，個(gè)小球落在大箱子各格子上的分布不再具有偶然性，在一定條件下，在大量隨機(jī)事件的整體情況下具有相對穩(wěn)定的特性是必須遵循的規(guī)律，這是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。12、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性包括單個(gè)隨機(jī)事件的偶然性，想把大量小球中的一只染成不同的顏色。在多次實(shí)驗(yàn)中，在每個(gè)球數(shù)穩(wěn)定分布的過程中，完全不知道這個(gè)可識別的染色球出現(xiàn)在哪個(gè)單元。13、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性必然伴隨著所謂的“波動”現(xiàn)象。在卡爾頓板實(shí)驗(yàn)中，對每個(gè)實(shí)驗(yàn)落下的球的數(shù)量一一計(jì)數(shù)并記錄下來，就會發(fā)現(xiàn)每個(gè)實(shí)驗(yàn)中球數(shù)的實(shí)際分布與極限實(shí)驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)計(jì)算的平均分布有偏差。這種“波動”現(xiàn)象稱為“波動”，在扔小球所用的總數(shù)很少的時(shí)候就明顯地表現(xiàn)出來了。大量隨機(jī)事件必須遵守的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性取決于個(gè)別隨機(jī)事件的偶然性，伴隨著波動和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，顯示了偶然性和必然性之間的辯證關(guān)系。14，1.1.3隨機(jī)事件發(fā)生的可能性-概率的定義為：概率是統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最基本概念。概率-隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有多大？在確定的條件下，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行充分?jǐn)?shù)量的觀察實(shí)驗(yàn)，就可以從該現(xiàn)象中看到各種可能的隨機(jī)事件。將實(shí)驗(yàn)總次數(shù)設(shè)置為n。其中事件a表示為NA，事件a定義為發(fā)生頻率。此頻率可能會因n而異。但是隨著n的增加，偶然因素的影響相對減小，隨機(jī)現(xiàn)象本身的固有特性變得明顯，vA穩(wěn)定地位于一定值附近，波動變得越來越小。如果n大，則頻率傾向于極限。PA激發(fā)事件a的概率。顯然，概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，PA越大，事件a出現(xiàn)的可能性越大。15，1.1.4概率的基本特性，1。隨機(jī)事件的概率PA為0PA1。PA=1表示在指定條件下必須發(fā)生a事件。PA=0表示在指定條件下根本不能發(fā)生a事件。這是不可能發(fā)生的事件。16，2。加法定理將A1、A2設(shè)置為互不相容事件。發(fā)生A1或A2時(shí)，a被視為A1和A2的“or”(或“and”)，a顯示為：A=A1 A2或a=A1A2。:PA=PA1 PA2樣式的PA、PA1和PA2可能分別發(fā)生a、A1和A2。a互不兼容的多個(gè)隨機(jī)事件的“or”: a=A1a2An的：17、3。默認(rèn)隨機(jī)事件組中每個(gè)事件的概率分類為1。(概率的規(guī)格化條件)在a1中，如果an包含任何基本事件組，即對于任何現(xiàn)象可以獨(dú)立發(fā)生的所有基本隨機(jī)事件，則a是必然事件：18，4。乘法定理將a，b兩個(gè)事件設(shè)置為兼容，a，b都發(fā)生的事件稱為c。也就是說，c是a和b同時(shí)出現(xiàn)時(shí)實(shí)現(xiàn)的事件。簡單地說，c是a和b的“交集”(也稱為乘積)。C=AB或c=a/b具有： PC=p (a/b)=PAp (b | a)。其中pa是發(fā)生a事件的概率。P(B|A)是在A發(fā)生的前提下發(fā)生B事件的概率，稱為“條件概率”。當(dāng)A和B事件相互獨(dú)立時(shí)，即B發(fā)生的概率與是否會再發(fā)生A無關(guān)，反之亦然，則有P(B|A)=PB。P(A|B)=PA。此時(shí)，PC=p (a/b)=papb兼容獨(dú)立事件發(fā)生的概率等于兩個(gè)獨(dú)立事件單獨(dú)發(fā)生的概率的乘積，這稱為乘法定理。為了計(jì)算多個(gè)兼容獨(dú)立事件發(fā)生的概率，對其進(jìn)行了一般化：19，1.1.5概率的簡單計(jì)算，I .經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象的概率的簡單計(jì)算：經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象必須滿足以下兩個(gè)條件：(1)該隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)事件組的事件數(shù)受到限制。(2)每個(gè)基本隨機(jī)事件的概率相等。例如，投擲具有6個(gè)對稱面的均勻性和形狀的規(guī)則骰子。準(zhǔn)確出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是幾個(gè)，有6個(gè)等概率可能性是經(jīng)典隨機(jī)現(xiàn)象。例2 :容器中有n個(gè)氣體分子，使用虛擬截面將容器分成相同體積的a，b部分，每個(gè)分子可以在a，b之間自由接觸，n個(gè)分子相互分離，但如果分別以相同的方式打開，則a，b部分中可能分布著這些氣體分子，每個(gè)分布發(fā)生的概率相同。這是另一個(gè)經(jīng)典的隨機(jī)現(xiàn)象。20，如果設(shè)置包含n個(gè)默認(rèn)事件的經(jīng)典隨機(jī)事件組，則每個(gè)默認(rèn)事件發(fā)生概率為：-(1.1.8)如果該隨機(jī)事件的復(fù)雜隨機(jī)事件c由m個(gè)默認(rèn)事件組合組成，則c的概率為3360-(1.1.9)在特定計(jì)算中正確定義了默認(rèn)事件組，并且(1.1.8)和在這里，計(jì)算n和n很重要，21，1.2概率變量和概率分布，隨機(jī)變量離散概率變量的概率分布連續(xù)概率密度分布函數(shù)，22，1.2.1概率變量，首先對隨機(jī)事件進(jìn)行數(shù)值化以引入隨機(jī)變量，討論隨機(jī)事件與其概率之間的關(guān)系。定義確定條件下概率現(xiàn)象的每個(gè)隨機(jī)事件w與唯一實(shí)際值X(w)對應(yīng)的：實(shí)際數(shù)值變量X(w)稱為隨機(jī)變量。23，例1-2-13個(gè)白球，2個(gè)黑球，其中隨便摸3個(gè)球。調(diào)查了：正在摸的3個(gè)球中的黑球數(shù)。5個(gè)球編號(1)、(2)、(3)是白色球，(4)和(5)是黑色球。觸摸3個(gè)球會產(chǎn)生“w”的10種結(jié)果。表1.2.1的第一列中，10個(gè)可能的3個(gè)球各給出了可觸的號碼。如果可能，將隨機(jī)變量X(w)設(shè)置為球的數(shù)量，其值見表1.2.1。24，表1.2.1隨機(jī)事件w和隨機(jī)變量X(w)，這里選擇的隨機(jī)變量可以取實(shí)際值0，1，2，3，區(qū)分三個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)事件。每個(gè)可能性都是在給定條件下滿足明確要求的基本隨機(jī)事件，對應(yīng)于中的決定值。但是，一個(gè)確認(rèn)值可以對應(yīng)多個(gè)默認(rèn)隨機(jī)事件。例如，X=1對應(yīng)于中的六種可能情況。25，例1-2-2硬幣的一邊刻有國徽，另一邊則刻有幣值。扔硬幣吧，它落地的時(shí)候，哪一面朝上都是隨機(jī)的。我們可以事先協(xié)商，在刻有局長的一側(cè)，隨機(jī)變量X=1對應(yīng)，在刻有貨幣價(jià)值的一側(cè)，隨機(jī)變量X=0對應(yīng)。這樣，即使是不會以特定次數(shù)出現(xiàn)的隨機(jī)事件，也可以將它們標(biāo)識為隨機(jī)變量。例1-2-3氣體分子在恒定不規(guī)則的熱運(yùn)動中，隨機(jī)單個(gè)分子所在空間的位置和運(yùn)動速度在隨機(jī)突變?？梢詫蝹€(gè)分子的速度作為隨機(jī)變量，將速度分量作為隨機(jī)變量組，將空間位置坐標(biāo)作為隨機(jī)變量組。26，可以列出從隨機(jī)變量分類：離散隨機(jī)變量：隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量組)中獲取的一個(gè)值。不能枚舉離散隨機(jī)變量：隨機(jī)變量(或隨機(jī)變量組)的值。在：示例1-2-3中，分子位置坐標(biāo)可以取范圍內(nèi)的任何實(shí)際值。分子速度和速度的三個(gè)組成部分也是如此。實(shí)際遇到的大部分非計(jì)算隨機(jī)變量在數(shù)學(xué)上具有良好的特性，并具有數(shù)學(xué)家定義的連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布27，1.2.2離散隨機(jī)變量的概率分布。要完全解釋一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，不能完全知道那個(gè)隨機(jī)變量x喜歡哪個(gè)值，更重要的是，知道x取每個(gè)值的概率?？赡艿闹蛋╬i=p (x=Xi) (I=1，2，n)的隨機(jī)變量，可以將不同隨機(jī)事件的概率p寫為與每個(gè)事件對應(yīng)的隨機(jī)變量x的函數(shù)。有兩種隨機(jī)現(xiàn)象，P=f(x)，28，概率分布-二項(xiàng)式分布，發(fā)生在單次嘗試觀測中。也就是說，基本事件組僅包含兩個(gè)基本事件，并記錄為a和b。將每個(gè)概率設(shè)置為p和q，并根據(jù)概率規(guī)范化條件，p q=1(1.2.1)現(xiàn)在需要全面查看這些隨機(jī)現(xiàn)象的n個(gè)獨(dú)立測試結(jié)果。在這N個(gè)獨(dú)立嘗試序列中，查找事件a(自然，即N-n1發(fā)生b)發(fā)生n1次的概率?；ゲ幌嗳菔录摹皁r”引起的概率加定理：(1.2.2)表達(dá)式的系數(shù)是以各種順序在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生n1次a的組合數(shù)，通常記錄為。利用二項(xiàng)式定理和(1-2-1)表達(dá)式，不難證明(1-2-2)表達(dá)式給出的概率分布函數(shù)滿足正則化條件。此外，由于概率分布函數(shù)PN(n1)是二項(xiàng)式展開中p的n1力的普通項(xiàng)，因此這種分布稱為二項(xiàng)式分布。29，一維“隨機(jī)漫步”的問題，示例1-2-4直線事物在狹窄的街道上豎起電線桿，然后酒鬼沿著街道扭轉(zhuǎn)，假設(shè)每一步的步數(shù)是l，但每一步都是向東或向西的，不受上一步的影響哀求電線桿走n步后，距電線桿x距離的概率?！奥o目的地走”是有名的概率問題?？梢圆幌抻谝痪S，也可以不等于每個(gè)階段。然后包含更多隨機(jī)變量。物理上有很多問題的數(shù)學(xué)模型就是“無序行走”。例如，布朗粒子的運(yùn)動就像醉漢的移動一樣，使用“無序行走”模型討論它們的位移是適當(dāng)?shù)摹?0，解基本隨機(jī)事件只有兩件事：或朝東或朝西。朝東和朝西的概率分別是p和q。p可以等于q，也可以不等于q。例如，如果該距離是傾斜的，醉漢往上升方向走的概率小于往下降方向走的概率。如果距離是水平的，則可以將其視為p=q=1/2。先看看他走過的n個(gè)階段中，n1階段向東走的可能性有多大。采用需要一維隨機(jī)游走問題的概率分布函數(shù)PN(n1)，n1作為隨機(jī)變量。(1-2-4)(N