近世代數(shù)考試復(fù)習(xí)

一、定義描述（8）1、群：設(shè)G是一個(gè)非空集合， 是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。如果滿(mǎn)足以下條件： （1）結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左單位元，它對(duì)G中每個(gè)元素a都有e a = a . （3）對(duì)G中每個(gè)元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 則稱(chēng)G對(duì)代數(shù)運(yùn)算 做成一個(gè)群。2、正規(guī)子群：設(shè)N是群G的一個(gè)子群，如果對(duì)G中每個(gè)元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，則稱(chēng)N是群G的一個(gè)正規(guī)子群（或不變子群）。3、環(huán)：設(shè)非空集合R有兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，一個(gè)叫做加法并用加號(hào) + 表示，另一個(gè)叫做乘法用乘號(hào)表示，如果： （1）R對(duì)加法作成一個(gè)加群； （2）R對(duì)乘法滿(mǎn)足結(jié)合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法對(duì)加法滿(mǎn)足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c為R中任意元素，則稱(chēng)R對(duì)這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)環(huán)。4、極大理想：設(shè)N是環(huán)R的一個(gè)理想，且NR .如果除R和N外，R中沒(méi)有包含N的其它理想，則稱(chēng)N為環(huán)R的一個(gè)極大理想。5、惟一分解整環(huán)：設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果K中每個(gè)既不是零又不是單位的元素都能惟一分解，則稱(chēng)K為惟一分解整環(huán)。整數(shù)環(huán)Z及域F上多項(xiàng)式環(huán)F x 都是惟一分解整環(huán)。 6、歐氏環(huán)：設(shè)K是一個(gè)有單位元的整環(huán)，如果 （1）有一個(gè)從K的非零元集K 0到非負(fù)整數(shù)集的映射存在； （2）這個(gè)對(duì)K中任意元素a及b0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0或（r）（b），則稱(chēng)R關(guān)于作成一個(gè)歐氏環(huán)。-7、素理想：設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，P R .如果abP = aP或bP，其中a，bR，則稱(chēng)P是R的一個(gè)素理想。顯然，環(huán)R本身是R的一個(gè)素理想；又零理想 0是R的素理想當(dāng)且僅當(dāng)R無(wú)零因子，亦即R是一個(gè)整環(huán)。8、主理想：設(shè)R是一個(gè)環(huán)，任取aR，R中包含a的全部理想的交也是R的一個(gè)理想，且是R的包含元素a的最小理想，并稱(chēng)其為R的由a生成的主理想，記為 .9、理想：設(shè)N是環(huán)R的一個(gè)子加群，即對(duì)N中任意元素a，b，差a-b仍屬于N，如果又有 rR，aN = raN，則稱(chēng)N是環(huán)R的一個(gè)左理想；如果 rR，aN = arN，則稱(chēng)N是環(huán)R的一個(gè)右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，則稱(chēng)N是環(huán)R的一個(gè)雙邊理想，簡(jiǎn)稱(chēng)理想，并用符號(hào)N R表示。否則記為N R .10、商群：群G的正規(guī)子群N的全體陪集對(duì)于陪集的乘法作成一個(gè)群，稱(chēng)為G關(guān)于N的商群，記為G/N .11、主理想環(huán)：設(shè)K是一個(gè)有單位元的整環(huán)。如果K的每一個(gè)理想都是一個(gè)主理想，則稱(chēng)K是一個(gè)主理想整環(huán)。整數(shù)環(huán)和域F上的多項(xiàng)式環(huán)F x都是主理想整環(huán)。但是，整數(shù)環(huán)Z上的多項(xiàng)式環(huán)Z x不是一個(gè)主理想整環(huán)。二、填空（30）1、集合M的一個(gè)分類(lèi)決定M的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。2、集合M的一個(gè)等價(jià)關(guān)系決定M的一個(gè)分類(lèi)。3、設(shè)G是一個(gè)半群，則G作為成群的充要條件是，對(duì)G中任意元素a、b，方程ax=b , ya=b在G中都有解。4、群G的一個(gè)非空子集H作成子群的充要條件是： （1）a，bH = abH ; （2）aH = a-1H.5、設(shè)H,k是群G的兩個(gè)子群，則HKG HK=KH.6、整數(shù)加群Z是無(wú)限循環(huán)群。7、無(wú)限循環(huán)群有兩個(gè)生成元，即a與a-1；n階循環(huán)群有（n）個(gè)生成元，其中（n）為Euler函數(shù)。例如，4、5、6階循環(huán)群分別有（4）=2 ，（5）=4 ，（6）=2 個(gè)生成元。8、設(shè)是任意一個(gè)循環(huán)群。 （1）若|a|=，則與整數(shù)加群Z同構(gòu)； （2）若|a|=n，則與n次單位根群Un 同構(gòu)。9、循環(huán)群的子群仍為循環(huán)群。10、不相連循環(huán)相乘時(shí)可以交換。11、k循環(huán)的階為k；不相連循環(huán)乘積的階為各因子的階的最小公倍。12、（J.L.Lagrange，17361813）設(shè)H是有限群G的一個(gè)子群，則|G|=|H|（G：H）.從而任何子集的階和指數(shù)都是群G的階的因數(shù)。13、有限群中每個(gè)元素的階都整除群的階。14、左陪集的重要性質(zhì) （1）aaH . （2）aH aH=H . （3）baH aH=bH . （4）aH=bH，即a與b同在一個(gè)左陪集中 a-1bH（或b-1aH）。 （5）若aHbH，則aH=bH .對(duì)任二陪集來(lái)說(shuō)，要么相等要么無(wú)公共元素。15、循環(huán)群的商群也是循環(huán)群。16、（第一同構(gòu)定理）設(shè)是群G到G的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射，又Ker N G，N=（N）， 則G/N G/N .17、（第二同構(gòu)定理）設(shè)G是群，又HG，N G .則HN H，并且HN/NH/(HN) .18、（第三同構(gòu)定理）設(shè)G是群，又N G，HG/N .則 （1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ； （2）又當(dāng)H G/N時(shí)，有惟一的H G使H=H/N且G/HG/NH/N .19、設(shè)G是一個(gè)群，aG，則（1）a：x axa-1 （xG）是G的一個(gè)自同構(gòu)，稱(chēng)為G的一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)；（2）G的全體內(nèi)自同構(gòu)作成一個(gè)群，稱(chēng)為群G的內(nèi)自同構(gòu)群，記為Inn G；（3）Inn G Aut G .20、環(huán)R的非空子集S作成子環(huán)的充要條件是：a，bS = a - bS ， a，bS = abS .21、如果p是素?cái)?shù)，則環(huán)Zp是一個(gè)域；如果n是合數(shù)，則環(huán)Zn有零因子，從而不是域。22、（環(huán)同態(tài)基本定理）設(shè)R與R是兩個(gè)環(huán)，且R R . 則（1）這個(gè)同態(tài)核N，即零元的全體逆象，是R的一個(gè)理想；（2）R/N R23、設(shè)P是交換環(huán)R的一個(gè)理想。則P是R的素理想的充分與必要條件是，商環(huán)R/P無(wú)零因子，即為整環(huán)。24、整數(shù)環(huán)Z的理想N是Z的極大理想，當(dāng)且僅當(dāng)N是由素?cái)?shù)生成的理想。25、整環(huán)K中的元素一定是不可約元。26、設(shè)K是任意一個(gè)惟一分解整環(huán)。則p是K的元素當(dāng)且僅當(dāng)p是K的不可約元。27、設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果（1）K中每個(gè)既不是零又不是單位的元素都可分為不可約元的乘積；（2）K中的不可約元都是素元；則K是一個(gè)惟一分解整環(huán)。28、Gauss整環(huán)Z i是主理想整環(huán)。29、整數(shù)環(huán)Z是歐氏環(huán)。30、域F上多項(xiàng)式環(huán)F x是一個(gè)歐氏環(huán)。31、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是惟一分解整環(huán)。（反之不成立）32、主理想整環(huán)是惟一分解整環(huán)。（反之不成立）33、群G中關(guān)于子群H的互異的左（或右）陪集的個(gè)數(shù)，叫做H在G里的指數(shù)，記（G：H）.34、設(shè)pK .p0，且p不是單位。如果p|ab就必有p|a或p|b，則稱(chēng)p是K的一個(gè)元素。35、同態(tài)：反身、傳遞 （不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)） ； 同構(gòu)：反身、傳遞、對(duì)稱(chēng)。例一、設(shè)=（14）（235），=（153）（24）. 求-1 =？ 解：由定理可知： -1 = （1）（5）（3）（2）（4） = （425）（24）.例二、證明：K=（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23） 作成交代群A4 的一個(gè)交換子群。這個(gè)群（以及與其同構(gòu)的群）稱(chēng)為Klein（C.L.Klein，1849-1925）四元群。證 顯然K4 中的置換全為偶置換，而且除恒等置換外其余三個(gè)置換的階都是2，而且其中任二個(gè)相乘等于第三個(gè)，即K4 對(duì)置換的乘法封閉。從而K4 是A4的一個(gè)子群，且顯然是一個(gè)交換子群。 （證畢）例三、證明：Z i=a + bi|a，bZ 作成一個(gè)有單位元的整環(huán)（這個(gè)環(huán)稱(chēng)為Gauss整環(huán)），并 且其單位群是1，i . 證 Z i 作成有單位元的整環(huán)顯然。又顯然1，i均為其單位。下證：Z i 沒(méi)有別 的單位。 設(shè)=a + bi 是Z i的任一單位，則有 Z i 使 =1，|2|2 =1 . 這只有|2 =a2 + b2=1，從而只有a=1，b=0；或a=0，b=1 . 即只能是1及i . 因此，1和i是環(huán)Z i 的全部單位。故 U（Z i ）=1，i .例四、在模8剩余類(lèi)環(huán)Z8 中 ，令= 0 , 4 ，=0 , 2 ,4 , 6 ，則不是Z8的素理想 （因?yàn)?2=4，但是2），也不是Z8的極大理想（因?yàn)?Z8）. 但是，易知既是Z8的素理想也是Z8的極大理想。例五、設(shè)G= 為6階循環(huán)群。給出G的一切生成元和G的所有子群。 解： a，a5 ； （6）=2 .例六、試求下列各置換的階：1=（1378）（24）；【4】 2=（1372）（234）；【6】 3= 1 2 3 4 5 6 6 4 1 5 2 3 ；【3】 4= 1 2 3 4 5 6 7 5 7 6 3 1 4 2 ；【6】例七、設(shè)=（327）（26）（14），=（134）（57）. 則 -1 = （13）（2654） ； -1 =（265）（34） . 三、判斷（10）1、在環(huán)R中，當(dāng)a不是左零因子時(shí)，則 ab =ac ，a0 = b=c ； （1） 當(dāng)a不是右零因子時(shí)，則 ba= ca ，a0 = b=c . （2）2、無(wú)零因子的交換環(huán)稱(chēng)為整環(huán)