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2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前模擬訓(xùn)練(原創(chuàng)精選)姓名_班級(jí)_學(xué)號(hào)_作者:地市級(jí)學(xué)科帶頭人,專業(yè)技術(shù)拔尖人才,名師.一.填空題1.已知,則_.解:,又,從而,化簡(jiǎn)得,即又,從而.2.(1)已知數(shù)列滿足,則其前100項(xiàng)的和是_.解:依次計(jì)算可得,則數(shù)列為周期2的數(shù)列,從而.(2)記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù).已知數(shù)列滿足:.則_. 解:由于,從而,顯然單調(diào)遞增,且,從而,故.3.已知點(diǎn),曲線恒過(guò)點(diǎn),若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),若的最小值為2,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解:由于,則根據(jù)向量的投影的定義可知,在方向上的投影的最大值為,即曲線在點(diǎn)處的切線垂直直線,考慮到,又,則,即.4.若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為_(kāi). 解:由于,由于,根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算幾何意義可知,在圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最大值為,故最大值為.5.已知正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都有一個(gè)球面上.若該四棱錐的體積為,則該球的表面積的最小值為_(kāi). 解:設(shè)正四棱錐的底邊長(zhǎng)為高為,則.設(shè)四棱錐的外接球的球心為,則在中,由于,則,從而.則球的表面積.6.已知函數(shù)的最大值為最小值為,則_.解:由于,從而,從而令,則,顯然當(dāng).7.點(diǎn)是橢圓在第一象限上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)為,直線與軸,軸分別交于點(diǎn),則的面積最小值為_(kāi).解:設(shè)點(diǎn),則直線的方程為,即,則,則當(dāng)取等號(hào).故的面積最小值為.8.多項(xiàng)式的展開(kāi)式在合并同類項(xiàng)后,的系數(shù)為_(kāi). 解:利用多項(xiàng)式展開(kāi)原理可知設(shè)三個(gè)括號(hào)中所取的項(xiàng)的次數(shù)分別為,從而的系數(shù)即方程且的不同的解的個(gè)數(shù).顯然方程組的解的個(gè)數(shù)用隔板法即得,當(dāng)存在時(shí),不妨設(shè)為,則的解的個(gè)數(shù)為. 綜合上述,所求的的系數(shù)為.9.已知為非零的不共線的向量.設(shè).定義點(diǎn)集,當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi). 解:顯然共線,且,不妨設(shè)由于,則為的角平分線,從而,則根據(jù)圓的定義可知點(diǎn)的軌跡為圓,在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn),使得,從而,從而點(diǎn)在以為直徑的圓上.由此,從而.故的最小值為.10.數(shù)列,若對(duì)任意的正整數(shù),均有,則的取值范圍為_(kāi), 解:根據(jù)圖像可知.11.甲、乙兩人做一種游戲:連續(xù)拋擲一枚硬幣若干次,當(dāng)正(或反)面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次時(shí)游戲結(jié)束.游戲結(jié)束時(shí),如果正面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次,則甲獲勝;否則乙獲勝.那么,拋擲不足9次就決出勝負(fù)的概率為_(kāi). 解:先考慮9次結(jié)束游戲的情形,則前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上,從而9次結(jié)束的概率為,從而拋擲不足9次就決出勝負(fù)的概率為.二.簡(jiǎn)答題13.在數(shù)列中,.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(II)令,證明:數(shù)列的前項(xiàng)和. 解:(1),從而,即.(2)由于,則,從而.14.已知二次函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),求的最大值.解:設(shè),則,則從而,考慮到當(dāng)時(shí),從而則當(dāng)時(shí),有最大值. 從而當(dāng),且取最大值,顯然函數(shù)或滿足條件.故的最大值為.15.已知是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓,其中為橢圓的左頂點(diǎn).(I)求的半徑;(II)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線與橢圓交于兩點(diǎn).證明:直線與相切. 解:(1)設(shè)點(diǎn),與軸的交點(diǎn)為,與圓的切點(diǎn)為,則根據(jù)相似關(guān)系得,從而.則點(diǎn)代入橢圓中可得,從而求得.(2)設(shè)直線的方程分別為,由于兩直線與圓相切,則,即是方程的兩根,從而. 聯(lián)立方程,從而,故點(diǎn)坐標(biāo)為,同理得. 故,由此直線的方程為,即. 考慮到,從而,從而.故直線的方程為.此直線與圓的距離,與圓相切. 加 試 試 題試題1:設(shè)為正整數(shù),且滿足對(duì)任意的,都有.證明:.試題2:設(shè)是正整數(shù),為素?cái)?shù),且,證明:存在正整數(shù),使得.試題3:如圖,ABC的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別是,直線與直線分別相交于點(diǎn)證明:試題4:若平面上有個(gè)點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線.在任意兩點(diǎn)之間連一條線段,并將每條線段染為紅
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