2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(原創(chuàng)精選-完全doc版)

2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前模擬訓(xùn)練（原創(chuàng)精選）姓名_班級_學(xué)號_作者：地市級學(xué)科帶頭人，專業(yè)技術(shù)拔尖人才，名師.一.填空題1.已知，則_.解：，又，從而，化簡得，即又，從而.2.(1)已知數(shù)列滿足，則其前100項的和是_.解：依次計算可得，則數(shù)列為周期2的數(shù)列，從而.(2)記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).已知數(shù)列滿足：.則_. 解：由于，從而，顯然單調(diào)遞增，且，從而，故.3.已知點，曲線恒過點，若是曲線上的動點，若的最小值為2，則實數(shù)的值為_解：由于，則根據(jù)向量的投影的定義可知，在方向上的投影的最大值為，即曲線在點處的切線垂直直線，考慮到，又，則，即.4.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_. 解：由于，由于，根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算幾何意義可知，在圓上的點與點的距離的最大值為，故最大值為.5.已知正四棱錐的五個頂點都有一個球面上.若該四棱錐的體積為，則該球的表面積的最小值為_. 解：設(shè)正四棱錐的底邊長為高為，則.設(shè)四棱錐的外接球的球心為，則在中，由于，則，從而.則球的表面積.6.已知函數(shù)的最大值為最小值為，則_.解：由于，從而，從而令，則，顯然當(dāng).7.點是橢圓在第一象限上的動點，過點引圓的兩條切線，切點為，直線與軸，軸分別交于點，則的面積最小值為_.解：設(shè)點，則直線的方程為，即，則，則當(dāng)取等號.故的面積最小值為.8.多項式的展開式在合并同類項后，的系數(shù)為_. 解：利用多項式展開原理可知設(shè)三個括號中所取的項的次數(shù)分別為，從而的系數(shù)即方程且的不同的解的個數(shù).顯然方程組的解的個數(shù)用隔板法即得，當(dāng)存在時，不妨設(shè)為，則的解的個數(shù)為. 綜合上述，所求的的系數(shù)為.9.已知為非零的不共線的向量.設(shè).定義點集,當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為_. 解：顯然共線，且，不妨設(shè)由于，則為的角平分線，從而，則根據(jù)圓的定義可知點的軌跡為圓,在的延長線上取一點，使得，從而，從而點在以為直徑的圓上.由此，從而.故的最小值為.10.數(shù)列，若對任意的正整數(shù)，均有，則的取值范圍為_, 解：根據(jù)圖像可知.11.甲、乙兩人做一種游戲：連續(xù)拋擲一枚硬幣若干次，當(dāng)正（或反）面向上的次數(shù)累計達(dá)到5次時游戲結(jié)束.游戲結(jié)束時，如果正面向上的次數(shù)累計達(dá)到5次，則甲獲勝；否則乙獲勝.那么，拋擲不足9次就決出勝負(fù)的概率為_. 解：先考慮9次結(jié)束游戲的情形，則前8次中有4次正面朝上和4次反面朝上，從而9次結(jié)束的概率為，從而拋擲不足9次就決出勝負(fù)的概率為.二.簡答題13.在數(shù)列中，.（I）求數(shù)列的通項公式.（II）令，證明：數(shù)列的前項和. 解：（1），從而，即.（2）由于，則，從而.14.已知二次函數(shù)滿足當(dāng)時，求的最大值.解：設(shè)，則，則從而，考慮到當(dāng)時，從而則當(dāng)時，有最大值. 從而當(dāng)，且取最大值，顯然函數(shù)或滿足條件.故的最大值為.15.已知是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓，其中為橢圓的左頂點.（I）求的半徑；（II）過點作的兩條切線與橢圓交于兩點.證明：直線與相切. 解：（1）設(shè)點，與軸的交點為，與圓的切點為，則根據(jù)相似關(guān)系得，從而.則點代入橢圓中可得，從而求得.（2）設(shè)直線的方程分別為，由于兩直線與圓相切，則，即是方程的兩根，從而. 聯(lián)立方程，從而，故點坐標(biāo)為，同理得. 故，由此直線的方程為，即. 考慮到，從而，從而.故直線的方程為.此直線與圓的距離，與圓相切. 加 試 試 題試題1：設(shè)為正整數(shù)，且滿足對任意的，都有.證明：.試題2：設(shè)是正整數(shù)，為素數(shù)，且，證明：存在正整數(shù)，使得.試題3：如圖，ABC的內(nèi)切圓在邊上的切點分別是，直線與直線分別相交于點證明：試題4：若平面上有個點，其中任意三點不共線.在任意兩點之間連一條線段，并將每條線段染為紅