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第二節(jié) 圓的方程(2)【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識網(wǎng)絡(luò) 圓的一般方程表示圓的條件圓的一般方程的簡單運(yùn)用學(xué)習(xí)要求 1掌握圓的一般方程并由圓的一般方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程解題;3解題過程中能分析和運(yùn)用圓的幾何性質(zhì) 【課堂互動(dòng)】自學(xué)評價(jià)1以為圓心,為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2.將展開得:3.形如的都表示圓嗎?不是()當(dāng)時(shí),方程表示以為圓心,為半徑的圓;(2)當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn);(3)當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)解,即方程不表示任何圖形;圓的一般方程:注意:對于圓的一般方程()和的系數(shù)相等,且都不為(通常都化為);()沒有這樣的二次項(xiàng);聽課隨筆()表示圓的前提條件:,通常情況下先配方配成,通過觀察與的關(guān)系,觀察方程是否為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,而不要死記條件【精典范例】例:求過三點(diǎn)的圓的方程分析:由于不在同一條直線上,因此經(jīng)過三點(diǎn)有唯一的圓【解】:法一:設(shè)圓的方程為,三點(diǎn)都在圓上,三點(diǎn)坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程,把代入所設(shè)方程,得:,解得:,所以,所求圓的方程為:法二:也可以求和中垂線的交點(diǎn)即為圓心,圓心到的距離就是半徑也可以求的圓的方程:點(diǎn)評:通常在求圓心與半徑方便時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)方程,在已知圓三個(gè)點(diǎn)時(shí)通常用一般方程求解例2:已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是,端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)中滿足的關(guān)系?并說明該關(guān)系表示什么曲線?分析:線段的端點(diǎn)靜止, 在圓上運(yùn)動(dòng),因此我們可以設(shè)出的坐標(biāo),從而得到中點(diǎn)的坐標(biāo)【解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是,由于點(diǎn)的坐標(biāo)是,且是的中點(diǎn),所以()于是,有因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,即:(),將()式代入(),得:,整理得所以滿足的關(guān)系為:,其表示的曲線是以為圓心,為半徑的圓點(diǎn)評: 該圓就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡;所求得的方程就是點(diǎn)的軌跡方程:點(diǎn)的軌跡方程就是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式本題的方法為求軌跡方程的一種基本方法,注意方法的歸納總結(jié)例3:某圓拱橋的示意圖如右圖,該圓拱的跨度是米,拱高是米,在建造時(shí),每隔米需用一個(gè)支柱支撐,求支柱的長度(精確到米)分析:若能夠知道該圓拱所在的圓的方程,問題就變的很簡單了,所以,我們聯(lián)想到建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為求圓的方程【解】以線段所在直線為軸,線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)的坐標(biāo)分別為;設(shè)圓拱所在的圓的方程為,點(diǎn)在所求的圓上,則坐標(biāo)代入得:,解之得,圓拱所在的圓的方程為:;將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓方程,解得(舍去負(fù)值)答:支柱的長約為米點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵利用圖形建立直角坐標(biāo)系,求出圓拱所在圓的方程,用代數(shù)的方法研究幾何問題聽課隨筆追蹤訓(xùn)練一1.下列方程各表示什么圖形? (); (); ()【解】()圓心為,半徑為的圓;()一個(gè)點(diǎn);()一個(gè)圓心為,半徑為的一個(gè)半圓()(圖略)圓的圓心為:,半徑為. 求過三點(diǎn)的圓的方程【解】設(shè)圓的方程為,三點(diǎn)都在圓上,三點(diǎn)坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程,把代入所設(shè)方程,得:,解得:,所以,所求圓的方程為:.求圓關(guān)于直線對稱的圖形的方程【解】可化為,圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,所以對稱的圖形的方程為:思維點(diǎn)拔:在確定圓的方程時(shí),應(yīng)根據(jù)已知條
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