江蘇連云港高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.2.1圓的方程學(xué)案學(xué)案導(dǎo)學(xué)案蘇教必修2

第二節(jié) 圓的方程（2）【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識網(wǎng)絡(luò) 圓的一般方程表示圓的條件圓的一般方程的簡單運(yùn)用學(xué)習(xí)要求 1掌握圓的一般方程并由圓的一般方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程解題；3解題過程中能分析和運(yùn)用圓的幾何性質(zhì) 【課堂互動(dòng)】自學(xué)評價(jià)1以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2.將展開得：3.形如的都表示圓嗎？不是（）當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，即方程不表示任何圖形；圓的一般方程：注意：對于圓的一般方程（）和的系數(shù)相等，且都不為（通常都化為）；（）沒有這樣的二次項(xiàng)；聽課隨筆（）表示圓的前提條件：，通常情況下先配方配成，通過觀察與的關(guān)系，觀察方程是否為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而不要死記條件【精典范例】例：求過三點(diǎn)的圓的方程分析：由于不在同一條直線上，因此經(jīng)過三點(diǎn)有唯一的圓【解】：法一：設(shè)圓的方程為，三點(diǎn)都在圓上，三點(diǎn)坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程，把代入所設(shè)方程，得：，解得：，所以，所求圓的方程為：法二：也可以求和中垂線的交點(diǎn)即為圓心，圓心到的距離就是半徑也可以求的圓的方程：點(diǎn)評:通常在求圓心與半徑方便時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)方程，在已知圓三個(gè)點(diǎn)時(shí)通常用一般方程求解例2：已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)中滿足的關(guān)系？并說明該關(guān)系表示什么曲線？分析：線段的端點(diǎn)靜止， 在圓上運(yùn)動(dòng)，因此我們可以設(shè)出的坐標(biāo)，從而得到中點(diǎn)的坐標(biāo)【解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)的坐標(biāo)是，且是的中點(diǎn)，所以（）于是，有因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即：（），將（）式代入（），得：，整理得所以滿足的關(guān)系為：，其表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓點(diǎn)評: 該圓就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡；所求得的方程就是點(diǎn)的軌跡方程：點(diǎn)的軌跡方程就是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式本題的方法為求軌跡方程的一種基本方法，注意方法的歸納總結(jié)例3：某圓拱橋的示意圖如右圖，該圓拱的跨度是米，拱高是米，在建造時(shí)，每隔米需用一個(gè)支柱支撐，求支柱的長度（精確到米）分析：若能夠知道該圓拱所在的圓的方程，問題就變的很簡單了，所以，我們聯(lián)想到建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求圓的方程【解】以線段所在直線為軸，線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；設(shè)圓拱所在的圓的方程為，點(diǎn)在所求的圓上，則坐標(biāo)代入得：，解之得，圓拱所在的圓的方程為：；將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓方程，解得（舍去負(fù)值）答：支柱的長約為米點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵利用圖形建立直角坐標(biāo)系，求出圓拱所在圓的方程，用代數(shù)的方法研究幾何問題聽課隨筆追蹤訓(xùn)練一1.下列方程各表示什么圖形？ （）； （）； （）【解】（）圓心為，半徑為的圓；（）一個(gè)點(diǎn)；（）一個(gè)圓心為，半徑為的一個(gè)半圓（）（圖略）圓的圓心為：，半徑為. 求過三點(diǎn)的圓的方程【解】設(shè)圓的方程為，三點(diǎn)都在圓上，三點(diǎn)坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程，把代入所設(shè)方程，得：，解得：，所以，所求圓的方程為：.求圓關(guān)于直線對稱的圖形的方程【解】可化為，圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以對稱的圖形的方程為：思維點(diǎn)拔：在確定圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條