湖南省五市十校學年高二數學下學期期末聯考試題文 (1)

湖南省五市十校2018-2019學年高二數學下學期期末聯考試題 文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則P的子集共有（ ）A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個【答案】B【解析】【分析】先求出，由此能求出的子集的個數【詳解】解：集合，的子集共有故選：【點睛】本題考查交集的求法，考查集合的子集個數的求法，是基礎題2.已知復數z滿足，則復數z的實部為（ ）A. 2B. -2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡根據實部定義得答案【詳解】解：則的實部為2故選：A【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題3.若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據指數，對數函數的圖像及運算性質可以得解.【詳解】解: 根據指數對數的圖像可知 所以故選：C【點睛】本題考查利用指數，對數函數的圖像及運算性質比較大小，屬于基礎題.4.（2017新課標全國I理科）記為等差數列的前項和若，則的公差為A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】設公差為，聯立解得，故選C.點睛:求解等差數列基本量問題時，要多多使用等差數列的性質，如為等差數列，若，則.5.某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表：廣告費用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為A. 63.6萬元B. 65.5萬元C. 67.7萬元D. 72.0萬元【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，數據的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，42=9435+a，=91，線性回歸方程是y=94x+91，廣告費用為6萬元時銷售額為946+91=655考點：線性回歸方程6.若雙曲線的一個焦點F到其一條漸近線的距離為則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意利用點到直線的距離公式，建立方程，即可求得雙曲線的離心率【詳解】解：雙曲線的一個焦點為，一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的方程為，整理得，即 所以 故選：C【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，考查點到直線距離公式，屬于基礎題7.已知且滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據的二倍角公式將原式進行整理可求值，再根據的范圍即可求出.【詳解】解：即或故故選：A【點睛】本題考查二倍角公式的應用，屬于基礎題.8.函數為常數且）的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判斷函數的零點以及零點個數，求函數的導數，研究函數的單調性，利用排除法進行求解【詳解】解：由得，得或，即函數有兩個零點，排除，函數的導數，方程中 故有兩個不等根，即有兩個極值點，排除，故選：【點睛】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數零點，極值點個數和單調性，結合排除法是解決本題的關鍵，屬于基礎題9.公元263年左右，我國數學家劉徽發(fā)現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為（）（參考數據：sin15=0.2588，sin7.5=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數值，滿足判斷框的條件，即可結束循環(huán)，得到答案【詳解】模擬執(zhí)行程序，可得：n=6，S=3sin60=，不滿足條件S3.10，n=12，S=6sin30=3，不滿足條件S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，滿足條件S3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24故選：B【點睛】本題主要考查了循環(huán)框圖的應用，其中解答中根據給定的程序框圖，逐次循環(huán)，注意判斷框的條件的應用是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題。10.已知是單位向量，且滿足，則與的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設單位向量，的夾角為，根據，代入數據求出的值【詳解】解：設單位向量，的夾角為，即，解得，與夾角為故選：【點睛】本題考查了平面向量的運算法則以及數量積和夾角的計算問題，是基礎題11.如圖，正方體的棱長為4，動點E，F在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上。若，（大于零），則四面體PEFQ的體積A. 與都有關B. 與m有關，與無關C. 與p有關，與無關D. 與有關，與無關【答案】C【解析】【分析】連接、交于點，作，證明平面，可得出平面，于此得出三棱錐的高為，再由四邊形為矩形知，點到的距離為，于此可計算出的面積為，最后利用錐體的體積公式可得出四面體的體積的表達式，于此可得出結論?！驹斀狻咳缦聢D所示，連接、交于點，作，在正方體中，平面，且平面，又四邊形為正方形，則，且，平面，即平面，平面，且，易知四邊形是矩形，且，點到直線的距離為，的面積為，所以，四面體的體積為，因此，四面體的體積與有關，與、無關，故選：C.【點睛】本題考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵在于尋找底面和高，要充分結合題中已知的線面垂直的條件，找三棱錐的高時，只需過點作垂線的平行線可得出高，考查邏輯推理能力，屬于難題。12.已知M，N分別是曲線上的兩個動點，P為直線上的一個動點，則的最小值為（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】求出圓心關于的對稱點為，則的最小值是【詳解】解：圓的圓心，半徑為 ，圓，圓心，半徑為，圓心關于的對稱點為， 解得故故選：【點睛】本題考查圓的方程，考查點線對稱，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.曲線在點（1，2）處的切線方程為_.【答案】【解析】【分析】對函數求導，得到函數在這一點對應的切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程【詳解】解：，切線的方程是，即，故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究曲線上某點切線的方程，屬于基礎題14.已知數列是遞增的等比數列，則_.【答案】25【解析】【分析】根據等比數列的性質，與列方程組，即可求得及，再利用性質即可求得.【詳解】解：由等比數列的性質知道， ，解得或由于數列是遞增的等比數列，故， 故答案為：25.【點睛】本題考查等比數列的性質，屬于基礎題15.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為8，則這個球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】先求正四棱柱的底面邊長，然后求其對角線，就是球的直徑，再求其表面積【詳解】解：正四棱柱高為4，體積為8，底面積為2，正方形邊長為，正四棱柱的對角線長即球的直徑為，球的半徑為，球的表面積，故答案為：.【點睛】本題考查學生空間想象能力，四棱柱的體積，球的表面積，容易疏忽的地方是幾何體的體對角線是外接球的直徑，屬于基礎題16.在古代三國時期吳國的數學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出一個小正方形（如圖陰影部分）。若直角三角形中較小的銳角為a?，F向大正方形區(qū)城內隨機投擲一枚飛鏢，要使飛鏢落在小正方形內的概率為，則_。 【答案】【解析】【分析】設正方形邊長為，可得出每個直角三角形的面積為，由幾何概型可得出四個直角三角形的面積之和為，可求出，由得出并得出的值，再利用降冪公式可求出的值.【詳解】設正方形邊長為，則直角三角形的兩條直角邊分別為和，則每個直角三角形的面積為，由題意知，陰影部分正方形的面積為，所以，四個直角三角形的面積和為，即，由于是較小的銳角，則，所以，因此，故答案為：.【點睛】本題考查余弦值的計算，考查幾何概型概率的應用，解題的關鍵就是求出和的值，并通過二倍角升冪公式求出的值，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題:共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答,第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分 17.甲乙兩校分別有120名和100名學生參加了某培訓機構組織的自主招生培訓，考試結果出來以后，培訓機構為了進一步了解各校所培訓學生通過自主招生的情況，從甲校隨機抽取60人，從乙校隨機抽取50人進行分析,相關數據如下表通過人數末通過人數總計甲校乙校30總計60（1）完成上面列聯表。并據此判斷是否有99%的把握認為自主招生通過情況與學生所在學校有關；（2）現從甲、乙兩校通過的學生中采取分層抽樣的方法抽取5人，再從所抽取的5人中隨機抽取2人，求2人全部來自乙校的概率.參考公式：參考數據：0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有；（2）.【解析】【分析】（1）完成表中數據計算可得的觀測值，與臨界值比較，即可得出結論；（2）設抽取5人中，甲校2名學生分別為、，乙校3名同學分別為，利用列舉法能根據古典概型概率公式可求出這2人來自乙校的概率【詳解】（1）列聯表如下:通過人數未通過人數總計甲校204060乙校302050總計5060110由上表數據算得：.所以有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關.（2）按照分層抽樣的方法，應從甲校中抽2人，乙校中抽3人，甲校2人記為A，B，乙校3人記為,從5人中任取2人共有 10種情況，其中2人全部來自乙校的情況有共3種,所以所求事件的概率為 .【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查古典概型概率公式，考查計算能力，屬于基礎題18.已知a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且，內角A，B，C成等差數列.（1）求b的值；（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）3；（2） .【解析】分析】（1）由三角形三內角、成等差數列，可得，再由正弦定理得到b的值（2）由正弦定理邊化角結合角A的范圍求值域.【詳解】（1）由成等差數列，可求得，由已知及正弦定理可求得.（2）三角形的周長為,，所以周長的取值范圍是 .【點睛】本題考查了正弦定理的應用，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于基礎題19.如圖，在多面體中，為等邊三角形，F為EB的中點.（1）證明：平面；（2）求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，由三角形中位線定理，知，結合已知，易得四邊形為平行四邊形，所以，再由線面平面的判定定理，可得平面；（2）由已知利用勾股定理可知結合可以證得平面進而有平面平面,所以過作的垂線，即為四棱錐的高，進而由體積公式可得解.【詳解】（1）取中點，連結 四邊形AFMD為平行四邊形 。又平面，平面,平面. （2）,又平面平面平面平面,過作的垂線，垂足為，則為四棱錐的高。由題知底面四邊形為直角梯形，其面積 , .【點睛】本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，多面體體積的求法，熟練掌握空間直線與平面不同位置關系（平行和垂直）的判定定理、性質定理、定義及幾何特征是解答本題的關鍵，屬于基礎題20.已知橢圓過點且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點直線與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在這樣的直線，直線方程為：.【解析】【分析】（1）根據已知條件利用及即可求得橢圓的方程；（2）根據，利用向量坐標化可得，再分類討論，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，即可求得直線的方程【詳解】解：（1）由已知點代入橢圓方程得由得可轉化為由以上兩式解得所以橢圓C的方程為：.（2）存在這樣的直線.當l的斜率不存在時，顯然不滿足,所以設所求直線方程代入橢圓方程化簡得： .,設所求直線與橢圓相交兩點由已知條件可得,綜合上述式子可解得符合題意,所以所求直線方程為：.【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，正確運用韋達定理是關鍵，屬于基礎題21.已知函數，.（1）討論的單調性；（2）當時，試判斷方程是否有實數根？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）沒有.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，通過討論與0的關系分析函數的單調性即可；（2）通過分析的導數求出 ，令，求出的最大值小于的最小值，從而判斷無解【詳解】解：（1）由已知可知函數的定義域為，由,當時，所以在為增函數,當時，,所以的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.（2）當時，由（1）可知知在為增函數,在為減函數.所以,所以.令，則.當時，；當時，,從而上單調遞增，在上單調遞減,所以，所以，即，所以，方程沒有實數根.【點睛】本題考查了函數的單調性最值問題，考查導數的應用、函數恒成立問題，屬于中檔題（二）選考題：共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分. 選修4一4：坐標系與參數方程22.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標