高二數(shù)學暑期輔導材料函數(shù)人教

高二數(shù)學暑期專題輔導材料 函數(shù)一、 要點透視函數(shù)是高中數(shù)學最重要的內(nèi)容之一，它內(nèi)涵豐富，不僅其自身涉及到較多的思想方法，而且運用函數(shù)去分析與解決其他數(shù)學問題也是歷來高考熱點之一。函數(shù)思想是解決數(shù)學問題的重要教學思想之一，它是一根主線，貫穿整個高中數(shù)學的全過程。 主要內(nèi)容包括：映射、函數(shù)、反函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性（周期性）、幾個基本初等函數(shù) 一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及它們的圖象與性質(zhì)定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、圖象的對稱性等。數(shù)形結(jié)合思想是本章的最基本的數(shù)學思想，另外，分類討論思想、化歸思想等也是本章的基本思想。二、 典型例題解析例1已知集合，。其中，若，映射使B中元素和A中元素對應(yīng)。求和的值。解：A中元素對應(yīng)B中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10?；?又 無解，而由解得，那么的象是，故 綜上所述：例2判斷下列各題中，函數(shù)與是不是同一函數(shù)？說明理由。，；，；，；，；，； ，解：的定義域是，而的定義域是R，與的定義域不同，與是兩個不同的函數(shù)。與的定義域都是R，又，即與的對應(yīng)法則邊相同，所以與是相同函數(shù)。由于，它們對應(yīng)法則不同，所以與是不同函數(shù)。是不同函數(shù)，的定義域是R，而的定義域是是相同函數(shù)，與的定義域都，又，所以它們的對應(yīng)法則也相同。說明：定義域、值域、對應(yīng)法則是函數(shù)的三大要素，定義域與對應(yīng)法則確定則值域也隨而定，故兩個函數(shù)是相同函數(shù)的充要條件是它們的定義域與對應(yīng)法則（在本質(zhì)上）相同。例3求下列函數(shù)的定義域解：由 結(jié)合右圖：故原不等式的解集是由或或解之得：或或或由有， 當時，當時，則與同正或同負，故定義域為。說明：求由函數(shù)解析規(guī)定的定義域，主要考慮以下幾個因素分式的分母不為0；偶次根式被開方式大于等于0；對數(shù)真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1等。例4已知函數(shù)定義域為R，則的取值范圍是 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 若函數(shù)定義域是，則函數(shù)的定義域是 函數(shù)定義域是，則函數(shù)定義域是 解：由，則當時，顯然；當時，要使，對任意恒成立，當且僅當即 綜上所述：的范圍是由，則，即函數(shù)的定義域是由的定義域是，則，的定義域是由得，故的定義域是例5函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍。解：由對恒成立，即對任意恒成立。而（當且僅當時取“”） 的取值范圍是說明：對于恒成立問題，一般地，若，恒成立，的取值范圍是；若，恒成立，則的取值范圍是，。例6求下列函數(shù)的值域解：由，故的值域是令，則結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出函數(shù)值域是 y由 8圖象如右 3 0 5 x故的值域是 函數(shù)的定義域是R。由有當時，無解，當時，即 綜上原函數(shù)的值域是。例7是R上奇函數(shù)，解關(guān)于的不等式函數(shù)的定義域為R，對任意，都有，且時，。求在上的最值。解：是奇函數(shù)，對任意，即，故 設(shè)，則 由于， 故在R上是單調(diào)增函數(shù)，其值域為又由由即 故的解集是說明：本題在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解時，也可如下處理：節(jié)R上單調(diào)增，由則即又 的解集是由于對任意、，都有 又 是奇函數(shù)。又設(shè) 即即是R上單調(diào)減函數(shù) ，而 ，例8設(shè)，且，如果的定義域為，求的取值范圍。解：由題意，得的解集為，即在上恒成立。令，是減函數(shù)又， 得的取值范圍為 當時，取最大值，故說明：轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再求的最大值利用單調(diào)性例9對的哪些值，函數(shù)的值域包含？解：當時，若，則無解；若，則總有解。故。當時，則方程，為使方程對有解，則對恒成立。 設(shè)，則在上是兩個減函數(shù)的和，也是減函數(shù)，故 當時，對總成立，方程總有解。綜上所述，當且時，函數(shù)的值域包含例10已知，試證明的圖象上不存在兩點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直。解：由得，故函數(shù)的定義域是設(shè)圖象上存在不同兩點，且，則 ， 故函數(shù)在上為減函數(shù)，則垂直于y軸的直線與的圖象至多有一個交點。所以，函數(shù)圖象上不存在兩點A、B，使直線AB與y軸垂直。說明：問題的實質(zhì)是證明函數(shù)具有某種單調(diào)性。例11已知在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：在區(qū)間上任取、，則 要使在上單調(diào)增，即當時，要，只要恒成立，由，應(yīng)有，但條件，故與題設(shè)矛盾，舍去。同理，要使在上是減函數(shù)，即恒成立，即在恒成立，又由可得綜上所述，時函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)。說明：本題針對函數(shù)單調(diào)性，作逆向分析，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對函數(shù)單調(diào)性的概念考查深入。例12解方程；設(shè)、是三角形的三邊長，求證：解：原方程即為構(gòu)造函數(shù)，易知函數(shù)在R上是增函數(shù)，于是原方程化為 由是單調(diào)增函數(shù)，故原方程的解是設(shè)，則，在上是增函數(shù)，又 即 又 說明：本題是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。例13動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D，再回到A，設(shè)x表示點P的行程，y表示PA的長，求y關(guān)于x的函數(shù)式。 解：如圖，當點P在AB邊上運動點，； 當點P在BC邊上運動時，； P 當點P在CD邊上運動時，；當點P在DA邊上運動時， 故所求函數(shù)式為 D P C PA B例14已知是定義在上偶函數(shù)，當時是減函數(shù)，如果不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：是偶函數(shù) 不等式等價于 即 解之得：說明：本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)：，簡化分解過程中繁瑣的討論。例15若函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象完全重合，其中實數(shù)、滿足：，則此函數(shù)應(yīng)具有怎樣的解析式？解：由得， 函數(shù)的反函數(shù)由題設(shè)的圖象與的圖象完全重合可知，對定義域內(nèi)的一切實數(shù)都有即 即 當，時；當，時，當，時，因此函數(shù)具有以下三種形式：，例16已知二次函數(shù)滿足，且方程有等根。求、；是否存在實數(shù)、，使得函數(shù)在定義域內(nèi)值域為。如果存在，求出、的值，如果不存在，請說明理由。解： 的圖象關(guān)于直線對稱，即 即有等根， 由三個式得，由得 ， 在上是單調(diào)增函數(shù)即 、是方程的兩個不等根。解得 ，答：存在，滿足條件鞏固練習1已知映射，其中，B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對任意的，在B中和它對應(yīng)的元素是，則B中元素的個數(shù)是（ ）A4 B5 C6 D72設(shè)集合A和B都是，映射把集合A中的元素n映射到B中元素是在映射f下，象20的原象是（ ）A2 B3 C4 D53從集合到集合的映射共有（ ）個A2 B3 C4 D54下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（ ）A， B，C， D，5下列圖象中，不可能是函數(shù)的圖象是（ ） y y y y0 x 0 x 0 x 0 x A B C D6函數(shù)的定義域是（ ）A B C D7如果函數(shù)滿足，則（ ）A3 B3 C3或3 D5或38若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（ ）A B C D9已知函數(shù)，那么，當時，（ ）A B C D10函數(shù)滿足，且，則 11由一個正方體的三個頂點所構(gòu)成的正三角形的個數(shù)為 。12函數(shù)的定義域是 13函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是 14值域是 15，則方程的解集是 16已知定義域是求的定義域； 定義域；17若的定義域和值域都是，求參考答案1A 2C 3C 4A 5D6C 7B 8B 9B10111213141516 當時，當時，17能力提高1已知函數(shù)的定義域是，則的定義域為（ ）A B C D2已知函數(shù)是偶函數(shù)，定義域為R，且在上遞減，則下列各式正確的是（ ）A BC D3在區(qū)間上，函數(shù)與在同一點處取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）A B C D4已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D5對于滿足的所有實數(shù)，使不等式都成立的的取值范圍是（ ）A B C D6現(xiàn)有一組實驗數(shù)據(jù)如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12：1.5 4.04 7.5 12 18.01準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）A B C D7，的值域是 8的單調(diào)增區(qū)間是 9若為奇函數(shù)，則實數(shù) 10若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是 11設(shè)二次函數(shù)，若存在使，則實數(shù)的取值范圍是 12若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則的取值范圍是 13若且，則、的大小關(guān)系是 14設(shè)是正數(shù)，記的最