河北張家口高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷文

張家口市20182019學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后求出，即可得到答案?！驹斀狻?，則.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算，主要涉及交集與補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題。2.已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可求得z,寫(xiě)出z的共軛復(fù)數(shù)，即可得到虛部.【詳解】z=2i1+i=2i1-i(1+i)(1-i)=2i+22=1+i，1i，其虛部為1，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.3.甲、乙兩名同學(xué)在五次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下面的莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是x1，x2，觀察莖葉圖，下列結(jié)論正確的是（ ）A. x1x2，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定C. x1x2，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可計(jì)算出兩人平均分，再根據(jù)莖葉圖的分布情況可知乙成績(jī)穩(wěn)定.【詳解】由莖葉圖知，甲的平均數(shù)是x1=102+104+105+114+1335=91.6，乙的平均數(shù)是x2=108+115+116+122+1235=116.8，所以x10即可得到答案.【詳解】f(x)=ax3+3x+2，則f(x)=3ax2+3,又f(-1)=-3，則f-1=3a+3=-3，解得a=-2,fx=-6x2+3,解fx0,得-22x0),，則2f(x)f(x+2)的解集為（ ）A. 1,23 B. 1,1 C. 23,1 D. 1,+【答案】A【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式分三種情況：x-2時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為-2x-x+2；當(dāng)-20時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為4x2x+2，分別求解進(jìn)而可以得到答案?！驹斀狻坑深}意，當(dāng)x-2時(shí)，2fx=-2x，fx+2=-x+2，則-2x-x+2，解得x2，與x-2矛盾，故不成立；當(dāng)-2x0時(shí)，2fx=-2x，fx+2=2x+2，則-2x2x+2，解得-1x2，由于-20時(shí)，2fx=4x，fx+2=2x+2，則4x2x+2，解得x23，由于x0，故00bx+1,x0，且f13=-1，f(-1)=3,則f(f(-3)=_【答案】2【解析】【分析】由f13=loga13=-1，f-1=b-1+1=3，可以求出a,b，從而得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出f-3，及ff-3，即可得到答案?！驹斀狻坑深}意知，f13=loga13=-1，解得a=3，f-1=b-1+1=3，解得b=12，故函數(shù)表達(dá)式為f(x)=log3x,x012x+1,x0，則f-3=12-3+1=9，則ff-3=f9=log39=2.故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，考查了指數(shù)冪的運(yùn)算，及對(duì)數(shù)式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)變量x，y滿足的約束條件xy+20,2x+3y60,3x+2y90,，則目標(biāo)函數(shù)z=x+7y的最大值為_(kāi)【答案】22【解析】【分析】由約束條件畫(huà)出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組得到最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到答案.【詳解】作出不等式組x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖由z=x+7y得到y(tǒng)=-17x+z7，平移直線y=-17x+z7，由圖象可知當(dāng)直線y=-17x+z7經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-17x+z7的截距最大，此時(shí)z最大， 由x-y+2=03x+2y-9=0解得B(1,3)此時(shí)z1+3722，故答案為：22【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)作圓x2+y22y=0的切線，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A，B,則tanAPB=_【答案】199【解析】【分析】由圓的方程可以求出圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)而可以求出PD=25，DA=1，從而求出tanAPD的值，由APB=2APD，利用二倍角的正切公式，可以求出tanAPB的值.【詳解】圓的方程可化為x2+y-12=1，則圓心為D0,1，半徑為r=1，設(shè)APD=，APDA，PD=42+-1-12=25，PA=PD2-r2=20-1=19，則tan=DAPA=119=1919,tanAPB=tan2=2tan1-tan2=219191-119=199.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了圓的性質(zhì)，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，二倍角的正切公式，屬于基礎(chǔ)題。16.在銳角ABC中，AC=2，AB=22,D在BC邊上，并且BD=2DC，CAD=6，則ABC的面積為_(kāi)【答案】3+1【解析】【分析】在ADC中，由正弦定理DCsinCAD=ACsinADC，可得到sinADC=1DC，在ADB中，由正弦定理DBsinBAD=ABsinADB，可得到sinBAD=DBsinADBAB=2DC1DC22=22，由BAD是銳角，可知BAD=4，BAC=4+6，結(jié)合三角形的面積公式可得到答案?！驹斀狻吭贏DC中，由正弦定理得：DCsinCAD=ACsinADC，則sinADC=2sin61DC=1DC，在ADB中，由正弦定理得：DBsinBAD=ABsinADB，則sinBAD=DBsinADBAB，因?yàn)閟inADB=sinADC=1DC，BD=2DC，所以sinBAD=2DC1DC22=22，由于三角形是銳角三角形，故BAD=4，則sinBAC=sin4+6=2+64，故ABC的面積為122222+64=3+1.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題。三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a5=5，S4=10，bn0，b2=a4，b4=a16.（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2）令cn=2an(bn-1)(bn+1-1)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）an=n，bn=2n；（2）2n+122n+11【解析】【分析】（1）由an是等差數(shù)列，a5=5，S4=10，可求出an=n，由bn是等比數(shù)列，bn0，b2=a4，b4=a16，可求出bn=2n；（2）將an和bn的通項(xiàng)公式代入cn，則cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1，利用裂項(xiàng)相消求和法可求出Tn.【詳解】(1)a5=5，S4=10，a1+4d=5,4a1+432d=10,，解得a1=1,d=1,an=n.又b2=4，b4=16，b1q=4,b1q3=16,bn0, b1=2,q=2, bn=2n.（2）由（1），得cn=2n(2n-1)(2n+1-1) =12n-1-12n+1-1Tn=c1+c2+cn=121-1-122-1+ 122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1=2n+1-22n+1-1【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題。18.四棱柱ABCD-ABCD中，側(cè)棱AA底面ABCD，底面ABCD為菱形，ABC=60，AB=2，AA=3，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn).（1）求證：EF/平面BCCB；（2）求四面體F-AEC的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）14【解析】【分析】（1）連接FC，可知F是AC的中點(diǎn)，連接BC，由于E是AB的中點(diǎn)，可知EF/BC，即可證明EF/平面BCCB；（2）由于BF平面AACC，可證明VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，求出VB-AACC即可得到答案?！驹斀狻浚?）證明：連接FC，在菱形ABCD中，因?yàn)镕是BD的中點(diǎn)，所以F是AC的中點(diǎn).連接BC，則在ABC中，又由于E是AB的中點(diǎn)，所以EF/BC.又EF平面BCCB，平面BC BCCB，所以EF/平面BCCB.（2）解：VF-AEC=VE-AFC=12VB-AFC =1214VB-AACC=18VB-AACC，由于BF平面AACC，BF=232=3，VB-AACC=13233=2，故VF-AEC=18VB-AACC=14.【點(diǎn)睛】線面平行的證明，關(guān)鍵在于在平面內(nèi)找出與已知直線的平行線；三棱錐的體積，常常通過(guò)等體積法求解，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要重視這種題型。19.某醫(yī)療器械公司在全國(guó)共有100個(gè)銷售點(diǎn)，總公司每年會(huì)根據(jù)每個(gè)銷售點(diǎn)的年銷量進(jìn)行評(píng)價(jià)分析.規(guī)定每個(gè)銷售點(diǎn)的年銷售任務(wù)為一萬(wàn)四千臺(tái)器械.根據(jù)這100個(gè)銷售點(diǎn)的年銷量繪制出如下的頻率分布直方圖.（1）完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)有多少個(gè)？（2）若用分層抽樣的方法從這100個(gè)銷售點(diǎn)中抽取容量為25的樣本，求該五組2,6)，6,10)，10,14)，14,18)，18,22)，（單位：千臺(tái)）中每組分別應(yīng)抽取的銷售點(diǎn)數(shù)量. （3）在（2）的條件下，從該樣本中完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)中隨機(jī)選取2個(gè)，求這兩個(gè)銷售點(diǎn)不在同一組的概率.【答案】（1）24；（2）見(jiàn)解析；（3）35【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1，列出方程0.02+0.08+0.09+2a4=1，求解即可；（2）各組應(yīng)抽取的銷售點(diǎn)數(shù)量比例為2:8:9:3:3，按比例計(jì)算即可；（3）完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)，14,18)中有3個(gè)，18,22)中有3個(gè)，不在一組的基本事件有9個(gè)，所有的基本事件有15個(gè)，即可得到概率為915=35。【詳解】（1）0.02+0.08+0.09+2a4=1，解得a=0.03，則完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.0324100=24.（2）各組應(yīng)抽取的銷售點(diǎn)數(shù)量比例為2:8:9:3:3，則各組應(yīng)抽取的銷售點(diǎn)數(shù)量分別為2，8，9，3，3.（3）在第（2）問(wèn)容量為25的樣本中，完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)，14,18)中有3個(gè)，記為A1，A2，A3，18,22)中有3個(gè)，記為B1，B2，B3.從這6個(gè)銷售點(diǎn)中隨機(jī)選取2個(gè)，所有的基本事件為A1A2，A1A3，A2A3，B1B2，B1B3，B2B3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共15個(gè)基本事件，不在一組的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，共9個(gè)基本事件，故所求概率為915=35.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了分層抽樣，考查了概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。20.以P為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)，并且與直線x=1相切.（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若A，B，C，D是曲線C上的四個(gè)點(diǎn)，ABCD，并且AB，CD相交于點(diǎn)F，直線AB的傾斜角為銳角.若四邊形ABCD的面積為36，求直線AB的方程.【答案】（1）y2=4x；（2）y=2(x1)或y=22(x1)【解析】【分析】（1）設(shè)圓P與直線x=-1相切于點(diǎn)E，則PE=PF，點(diǎn)P的軌跡為拋物線，求出方程即可；（2）設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)，k0，與拋物線方程聯(lián)立可得AB=x1+x2+2 =4+4k2，同理可得CD=4+4k2，則四邊形ABCD的面積S=12ABCD=124+4k24+4k2=36，即可求出k，進(jìn)而得到直線AB的方程?！驹斀狻浚?）設(shè)圓P與直線x=-1相切于點(diǎn)E，則PE=PF，即點(diǎn)P到F的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線.F是焦點(diǎn)，x=-1是準(zhǔn)線.所以C的方程為y2=4x.（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=k(x-1)，k0.由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=2k2+4k2. AB=x1+x2+2 =4+4k2.同理，CD=4+4k2.所以四邊形ACBD的面積S=12ABCD =124+4k2(4+4k2) =81+1k2(1+k2).由81+1k2(1+k2)=36，得k2=2或k2=12，所以k=2或k=22.所以直線AB的方程為y=2(x-1)或y=22(x-1).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，拋物線的方程，考查了直線與拋物線的綜合問(wèn)題，涉及韋達(dá)定理的運(yùn)用，拋物線弦長(zhǎng)公式及焦半徑的運(yùn)用，屬于中檔題。21.已知函數(shù)f(x)=x2+(a2)xalnx (a0).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)為函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為M(x0,y0)，求證：f(x1)f(x2)x1x2f(x0).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f(x)=(x-1)(2x+a)x，函數(shù)定義域?yàn)?0,+)，由于-a201，可知 當(dāng)0x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0，即可判斷單調(diào)性；（2）先求出f(x0)=x1+x2+a-2-2ax1+x2，和f(x1)-f(x2)x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2，則要證的不等式f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)-alnx1x2x1-x22x1+x2，不妨假設(shè)x1x20，即證lnx1x22x1x2-1x1x2+1，令t=x1x21，構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-2(t-1)t+1，求導(dǎo)可判斷函數(shù)h(t)在(1,+)上單調(diào)遞增，則h(t)h(1)=0，進(jìn)而可以證明不等式成立?！驹斀狻浚?）f(x)的定義域?yàn)?0,+)，f(x)=2x+a-2-ax =(x-1)(2x+a)x.由于-a201，則當(dāng)0x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+).（2）證明：因?yàn)镸(x0,y0)為PQ的中點(diǎn)，則x0=x1+x22，故f(x0)=2x0+a-2-ax0 =x1+x2+a-2-2ax1+x2，f(x1)-f(x2)x1-x2= x12+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2=x12-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2故要證f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)，即證-alnx1x2x1-x20，即證lnx1x2x1-x22x1+x2.不妨假設(shè)x1x20，只需證明lnx1x22(x1-x2)x1+x2，即lnx1x22x1x2-1x1x2+1.設(shè)t=x1x21，構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-2(t-1)t+1，ht=1t-4t+12=(t-1)2t(t+1)20，故h(t)在(1,+)上單調(diào)遞增，則h(t)h(1)=0，則有l(wèi)nx1x22x1x2-1x1x2+1，從而f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式的證明，及構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于難題。22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為x=8+4ty=1t（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2(54cos2)=9.（1）求直線的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C上的點(diǎn)M到的距離的最大值.【答案】（1）直線：x+4y12=0，曲線C：x29+y2=1（2）17【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t即可得到直線l的普通方程，利用2=x2+y2，x=cos，y=sin化簡(jiǎn)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）由曲線C的方程，設(shè)M(3cos,sin)，再由點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可