高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.3 全稱(chēng)量詞與存在量詞 對(duì)量詞命題的否定的分類(lèi)解析與疑點(diǎn)詮釋素材 北師大版選修2-1（通用）

對(duì)量詞命題的否定的分類(lèi)解析與疑點(diǎn)詮釋一.知識(shí)梳理1.全稱(chēng)命題、存在性命題的否定一般地，全稱(chēng)命題P： xM,有P（x）成立；其否定命題P為：$xM,使P（x）不成立。存在性命題P：$xM，使P（x）成立；其否定命題P為： xM,有P（x）不成立。用符號(hào)語(yǔ)言表示：P:M, p(x）否定為 P: $M, P（x）P:$M, p(x）否定為 P: M, P（x）在具體操作中就是從命題P把全稱(chēng)性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱(chēng)性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱(chēng)得存在，否定存在得全稱(chēng)，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.關(guān)鍵量詞的否定詞語(yǔ)是一定是都是大于小于且詞語(yǔ)的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語(yǔ)必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立所有x不成立詞語(yǔ)的否定一個(gè)也沒(méi)有至多有n-1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立存在有一個(gè)成立二. 命題的否定形式的分類(lèi)解析與疑點(diǎn)詮釋1. 全稱(chēng)命題的否定例1.寫(xiě)出下列全稱(chēng)命題的否定：（1）p：xR，x2x+10；（2） 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。（3） 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y0.（4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。（5）$ xR，x2x+10；解：（1）的否定：xR，x2x+10；（2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x+y0。（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。（5）的否定：xR，x2x+10.說(shuō)明:解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x3，則x29”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫(xiě)成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫(xiě)出其否定形式.2. “若P則q” 的形式的否定例2.寫(xiě)出下列命題的否定。（1） 若x24 則x2.。（2） 若m0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。（3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。（4） 被8整除的數(shù)能被4整除。（5） 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。 解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿(mǎn)足4，但2。或者說(shuō)：存在小于或等于2的數(shù)，滿(mǎn)足4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, 若x24 則x2）（2）否定：雖然實(shí)數(shù)m0,但存在一個(gè)，使+ -m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。）（3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。（4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)（5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）3. 命題的否定與否命題的區(qū)別與釋疑例3.寫(xiě)出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。（1）p：若xy,則5x5y；（2）p：若x2+x2,則x2-x2；（3）p：正方形的四條邊相等；（4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b0有非空實(shí)解集，則a2-4b0。解：（1） P：若 xy，則5x5y； 假命題否命題：若xy，則5x5y；真命題（2） P：若x2+x2，則x2-x2；真命題否命題：若x2+x2，則x2-x2）；假命題。（3） P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。（4） P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿(mǎn)足x2+ax+b0有非空實(shí)解集，但使a2-4b0。假命題。否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b0沒(méi)有非空實(shí)解集，則a2-4b0。真命題。說(shuō)明：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：1 任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。2命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假