應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課后習(xí)題答案高惠璇(第三章部分習(xí)題解答)

應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析,第三章習(xí)題解答,.,2,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),3-1設(shè)XNn(,2In),A為對(duì)稱冪等陣,且rk(A)=r(rn),證明,證明因A為對(duì)稱冪等陣，而對(duì)稱冪等陣的特征值非0即1,且只有r個(gè)非0特征值，即存在正交陣(其列向量ri為相應(yīng)特征向量)，使,.,3,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,4,其中非中心參數(shù)為,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,5,3-2設(shè)XNn(,2In),A，B為n階對(duì)稱陣.若AB0,證明XAX與XBX相互獨(dú)立.,證明的思路：記rk(A)=r.因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣,使得A=diag(1,r0,.,0)令YX，則YNn(,2In),第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),且,.,6,又因?yàn)閄BX=YBY=YHY其中H=B。如果能夠證明XBX可表示為Yr+1，,Yn的函數(shù)，即H只是右下子塊為非0的矩陣。則XAX與XBX相互獨(dú)立。,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,7,證明記rk(A)=r.若r=n,由ABO,知BOnn,于是XAX與XBX獨(dú)立；若r=0時(shí),則A0,則兩個(gè)二次型也是獨(dú)立的.以下設(shè)0rn.因A為n階對(duì)稱陣,存在正交陣,使得,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,8,其中i0為A的特征值(i=1,r).于是,令,r,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),由ABO可得DrH11O，DrH12O.因Dr為滿秩陣,故有H11Orr，H12Or(n-r).由于H為對(duì)稱陣，所以H21O(n-r)r.于是,.,9,由于Y1，,Yr,Yr+1,Yn相互獨(dú)立，故XAX與XBX相互獨(dú)立.,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),令YX，則YNn(,2In),且,.,10,設(shè)XNp(,),0,A和B為p階對(duì)稱陣,試證明(X-)A(X-)與(X-)B(X-)相互獨(dú)立AB0pp.,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),3-3,.,11,由“1.結(jié)論6”知與相互獨(dú)立,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,12,性質(zhì)4分塊Wishart矩陣的分布:設(shè)X()Np(0,)(1,n)相互獨(dú)立，其中,又已知隨機(jī)矩陣,則,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),試證明Wishart分布的性質(zhì)(4)和T2分布的性質(zhì)(5).,3-4,.,13,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),證明:設(shè),記,則,即,.,14,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),當(dāng)12=O時(shí),對(duì)1,2,n,相互獨(dú)立.故有W11與W22相互獨(dú)立.,由定義3.1.4可知,.,15,性質(zhì)5在非退化的線性變換下,T2統(tǒng)計(jì)量保持不變.證明:設(shè)X()(1,n)是來(lái)自p元總體Np(,)的隨機(jī)樣本,X和Ax分別表示正態(tài)總體X的樣本均值向量和離差陣,則由性質(zhì)1有,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),令,其中C是pp非退化常數(shù)矩陣，d是p1常向量。則,.,16,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),所以,.,17,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),3-5,對(duì)單個(gè)p維正態(tài)總體Np(,)均值向量的檢驗(yàn)問(wèn)題，試用似然比原理導(dǎo)出檢驗(yàn)H0:=0(=0已知)的似然比統(tǒng)計(jì)量及分布.,解:總體XNp(,0)(00),設(shè)X()(=1,n)(np)為來(lái)自p維正態(tài)總體X的樣本.似然比統(tǒng)計(jì)量為,P66當(dāng)=0已知的檢驗(yàn),.,18,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,19,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),.,20,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),因,所以由3“一2.的結(jié)論1”可知,.,21,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),3-6(均值向量各分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn))設(shè)總體XNp(,)(0),X()(1,n)(np)為來(lái)自p維正態(tài)總體X的樣本，記(1,p).C為kp常數(shù)(k0.05.故H0相容，即隨機(jī)向量的三個(gè)分量(三種化學(xué)成分)相互獨(dú)立.,.,45,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),或者利用定理3.2.1,當(dāng)n充分大時(shí)，=-2ln2(f)，其中f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因p=0.24320.05.故H0相容，即隨機(jī)向量的三個(gè)分量(三種化學(xué)成分)相互獨(dú)立.,.,46,第三章多元正態(tài)總體參數(shù)