湖南省師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)月考試題（六）理（含解析）

湖南省師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)月考試題（六）理（含解析）時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合A4，2，a1，B0，2，a21，若AB2，則實(shí)數(shù)a滿足的集合為(D)A1 B1 C1，1 D2已知復(fù)數(shù)z滿足z3i，則z(D)A1i B1i C.i D.i3下列說法正確的是(D)A命題“x0，使x10”的否定為“x，都有x210”B命題“若向量a與b的夾角為銳角，則ab0”及它的逆命題均為真命題C命題“在銳角ABC中，sin Acos B”為真命題D命題“若x2x0，則x0或x1”的逆否命題為“若x0且x1，則x2x0”【解析】命題“x0，使x10”的否定應(yīng)為“x，都有x210”的逆命題為假命題，故B錯(cuò)誤；銳角ABC中，ABAB0，sin Asincos B，所以C錯(cuò)誤，故選D.4我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)里有一道關(guān)于玉石的問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176兩)問玉、石重各幾何？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，運(yùn)行該程序框圖，則輸出的x，y分別為(C)A90，86 B94，82 C98，78 D102，74【解析】執(zhí)行程序框圖，x86，y90，s27；x90，y86，s27；x94，y82，s27；x98，y78，s27，結(jié)束循環(huán)，輸出的x，y分別為98，78，故選C.5已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記af(log0.53)，bf，cf則a，b，c的大小關(guān)系為(B)Aabc Bacb Ccab Dcba【解析】函數(shù)f是偶函數(shù)，ff在R上恒成立，m0，當(dāng)x0時(shí)，易得f(x)21為增函數(shù)，af(log0.53)f(log23)，bf，cf，log232log25，acb，故選B.6學(xué)校組織學(xué)生參加社會(huì)調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)現(xiàn)從該小組中選出3名同學(xué)分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同的安排方法有(D)A70種 B140種 C840種 D420種【解析】從9名同學(xué)中任選3名分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查有CA種安排方法，3名同學(xué)全是男生或全是女生有(CC)A種安排方法，故選出的同學(xué)中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420(種)7已知(x1)5(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，則a7(B)A9 B36 C84 D243【解析】令tx1，則(x1)5(x2)9(t2)5(t1)9，只有(t1)9中展開式含有t7項(xiàng)，所以a7C36，選B.8已知變量x，y滿足約束條件則的取值范圍是(B)A. B. C. D.【解析】將題中可行域表示如右圖，易知k在A(1，3)處取得最小值3，且斜率k小于直線xy1的斜率1，故3k1，則1，故0.9正四棱錐SABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，E為SC的中點(diǎn)，則BE與SA所成角的余弦值為(C)A. B. C. D.【解析】如圖，設(shè)ACBDO，連接OE，因?yàn)镺E是SAC的中位線，故EOSA，則BEO為BE與SA所成的角設(shè)SAAB2a，則OESAa，BESAa，OBSAa，所以EOB為直角三角形，所以cosBEO，故選C.10如圖所示，點(diǎn)F是拋物線y28x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線y28x及圓(x2)2y216的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于x軸，則FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是(C)A(2，6) B(6，8) C(8，12) D(10，14)【解析】拋物線的準(zhǔn)線l：x2，焦點(diǎn)F(2，0)，由拋物線定義可得|AF|xA2，圓(x2)2y216的圓心為(2，0)，半徑為4，三角形FAB的周長(zhǎng)為|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB，由拋物線y28x及圓(x2)2y216可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則xB(2，6)，所以6xB(8，12)，故選C.11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(，0)，B(1，2)，D(3，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中0，1，0，2，1，2，則點(diǎn)P落在三角形ABD里面的概率為(A)A. B. C. D.【解析】以O(shè)A，OB為鄰邊做平行四邊形OACB，延長(zhǎng)OB至E，使得OE2OB，且0，1，0，2，1，2，P點(diǎn)位于平行四邊形ABEC的內(nèi)部(包含邊界)，則點(diǎn)P落在三角形ABD里面的概率P，選A.12已知函數(shù)f(x)4sin，x，若函數(shù)F(x)f(x)3的所有零點(diǎn)依次記為x1，x2，x3，xn，且x1x2x30，b0)的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_14設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且f(x)x3fx2x，f(x)，則f(1)_0_【解析】因?yàn)閒(x)x3fx2x，所以f(x)3x22fx1，所以f32f1，則f1，f(x)x3x2x，則f(x)3x22x1，故f(1)0.15已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐PABC的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為_【解析】依題意，記三棱錐PABC的外接球的球心為O，半徑為R，點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，則由VPABCSABChh得h.又PC為球O的直徑，因此球心O到平面ABC的距離等于h.又正ABC的外接圓半徑為r，因此R2r2，所以三棱錐PABC的外接球的表面積為4R2.16已知在平面四邊形ABCD中，AB，BC2，ACCD，ACCD，則四邊形ABCD的面積的最大值為_3_【解析】如圖所示，設(shè)ABC，(0，)，則在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 64cos ，四邊形ABCD的面積為SSABCSACD(ABBCsin ACCD)，化簡(jiǎn)得：S(2sin 64cos )3(sin 2cos )3sin()，其中tan 2，當(dāng)sin()1時(shí)，S取得最大值為3.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：共60分17(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a11，設(shè)bn2，nN*.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有2，即3n2n2n，11.11分當(dāng)n1時(shí)，1，上式也成立綜上可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有.12分18(本題滿分12分)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.(1)求證：BC平面ACFE；(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角為，試求cos 的取值范圍【解析】(1)在梯形ABCD中，因?yàn)锳BCD，ADDCCB1，ABC60，所以AB2，2分所以AC2AB2BC22ABBCcos 603，所以AB2AC2BC2，所以BCAC.4分因?yàn)槠矫鍭CFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，所以BC平面ACFE.6分(2)建立以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，令FM(0)，則C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，所以(，1，0)，(，1，1)，設(shè)n1(x，y，z)為平面MAB的一個(gè)法向量，由得取x1，所以n1(1，)，9分因?yàn)閚2(1，0，0)是平面FCB的一個(gè)法向量所以cos .因?yàn)?，所以當(dāng)0時(shí)，cos 有最小值，當(dāng)時(shí)，cos 有最大值.所以cos .12分19(本題滿分12分)如圖，已知橢圓C1：y21的左、右頂點(diǎn)為A1，A2，上、下頂點(diǎn)為B1，B2，記四邊形A1B1A2B2的內(nèi)切圓為C2.(1)求圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知圓C2的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線l交橢圓C1于P，M兩點(diǎn)()求證：OPOM；()試探究是否為定值【解析】(1)因?yàn)锳2，B1分別為橢圓C1：y21的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則A2，B1坐標(biāo)分別為(2，0)，(0，1)，可得直線A2B1的方程為：x2y2.2分則原點(diǎn)O到直線A2B1的距離為d，則圓C2的半徑rd，故圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2.4分(2)(i)可設(shè)切線l：ykxb(k0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，將直線PM方程代入橢圓C1可得x22kbxb210，由韋達(dá)定理得：則y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，6分又l與圓C2相切，可知原點(diǎn)O到l的距離d，整理可得k2b21，則y1y2，所以x1x2y1y20，故OPOM.8分(ii)由OPOM知SOPM，當(dāng)直線OP的斜率不存在時(shí)，顯然|OP|1，|OM|2，此時(shí)；當(dāng)直線OP的斜率存在時(shí)，設(shè)OP：yk1x代入橢圓方程可得kx21，則x2，故OP2x2y2(1k)x2，10分同理OM2，則.綜上可知：為定值.12分20(本題滿分12分)中國(guó)大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備某高中開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，兩年共招收學(xué)生2 000人，其中有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人，學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有60人這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試(滿分100分)，結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)a95a10085a9575a8560a75a6.635，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.6分(2)p0.90.80.60.50.40.6.8分設(shè)獲得某高校自主招生通過的人數(shù)為，則B，P(xk)C，k0，1，2，150，10分所以E15090.12分21(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)aln x，aR.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若在1，e(e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上存在一點(diǎn)x0，使得fx0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】(1)f(x)x，其中x1，e，當(dāng)a1時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)單調(diào)遞增，又f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上有唯一的零點(diǎn)，符合題意當(dāng)ae2時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)單調(diào)遞減，又f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.3分當(dāng)1ae2時(shí)，1x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，又f(1)0，f()f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)f(e)0時(shí)符合題意，即a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，上有唯一的零點(diǎn)；a的取值范圍是.6分(2)在1，e上存在一點(diǎn)x0，使得fx0成立，等價(jià)于x0aln x00在1，e上有解，即函數(shù)g(x)xaln x在上的最小值小于零g1，8分當(dāng)a1e時(shí)，即ae1時(shí)，g在上單調(diào)遞減，所以g的最小值為g，由gea，e1，a； 當(dāng)a11時(shí)，即a0時(shí)，g在上單調(diào)遞增，所以g的最小值為g，由g11a0可得a2；10分當(dāng)1a1e時(shí)，即0ae1時(shí)，可得g的最小值為g，0ln1，0aln2，所以g0不成立綜上所述：可得所求a的取值范圍是(，2).12分(二)選考題：共10分請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l：(0, ), R)與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求|OM|的最大值【解析】(1)曲線C的普通方程為(x1)2(y1)222，由得22cos 2sin 20.5分(2)聯(lián)立和22cos 2sin 20，得22(cos sin )20，