2020屆高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)案與搶分訓(xùn)練---直接證明與間接證明

第2講 直接證明與間接證明知識(shí)梳理三種證明方法的定義與步驟：1. 綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。2. 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法。3.假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止 (3) 斷言假設(shè)不成立(4) 肯定原命題的結(jié)論成立重難點(diǎn)突破重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)：運(yùn)用三種方法提高分析問題和解決問題的能力重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題1.從命題的特點(diǎn)、形式去選擇證明方法一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語，或否定性命題，或要討論的情況很復(fù)雜的，可以考慮用反證法一般地，含分式、根式的不等式，或從條件出發(fā)思路不明顯的命題，可以考慮用分析法命題的結(jié)論有明確的證明方向的，適宜用綜合法問題1：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，等式總不成立點(diǎn)撥：從命題的形式特點(diǎn)看，適合用反證法證明 2.比較復(fù)雜的命題，有時(shí)需要多種證明方法綜合運(yùn)用，各取所長(zhǎng)。熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1 綜合法 題型：用綜合法證明數(shù)學(xué)命題 例1 (東莞2020學(xué)年度第一學(xué)期高三調(diào)研測(cè)試) 對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時(shí)滿足以下三條：對(duì)任意的，總有；若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)(1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；(2)判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并予以證明；【解題思路】證明函數(shù)（）滿足三個(gè)條件解析（1）取可得 又由條件，故 （2）顯然在0，1滿足條件； 也滿足條件若，則 ，即滿足條件， 故理想函數(shù) 【名師指引】緊扣定義，逐個(gè)驗(yàn)證【新題導(dǎo)練】1.(2020年佛山)證明:若,則解析當(dāng)時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)，得，又當(dāng)時(shí)2.在銳角三角形中,求證:解析為銳角三角形，在上是增函數(shù)，同理可得，3. .已知數(shù)列中各項(xiàng)為：個(gè)個(gè)12、1122、111222、 ,證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積.解析 個(gè)記：A = , 則A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 考點(diǎn)2 分析法題型：用分析法證明數(shù)學(xué)命題例2 已知,求證 解析要證，只需證 即，只需證，即證顯然成立，因此成立【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證-只需證-”，而不是“因?yàn)?所以-”【新題導(dǎo)練】4. 若且，求證：解析要證，只需證即，因，只需證即，設(shè)，則成立，從而成立5. 已知，求證：解析 ，顯然成立，故成立考點(diǎn)2 反證法 題型：用反證法證明數(shù)學(xué)命題或判斷命題的真假例3 已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾 解析假設(shè)是的負(fù)數(shù)根，則且且，解得，這與矛盾，故方程沒有負(fù)數(shù)根【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多【新題導(dǎo)練】6. （08江西5校聯(lián)考）某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若時(shí)該命題成立，那么可推得時(shí)該命題也成立，現(xiàn)在已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得 A.當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B.當(dāng)時(shí)，該命題成立C.當(dāng)時(shí)，該命題不成立 D.當(dāng)時(shí)，該命題成立解析用反證法，可證當(dāng)時(shí)，該命題不成立7.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則、三個(gè)數(shù)A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一個(gè)大于2 D. 至少有一個(gè)不小于2解析 ，舉反例可排除A、B、C，故選D8.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差，求證：、不可能成等差數(shù)列解析 a、b、c成等差數(shù)列，假設(shè)、成等差數(shù)列，則，從而與矛盾，、不可能成等差數(shù)列9. （廣東省深圳市寶安中學(xué)、翠園中學(xué)2020屆高三第一學(xué)期期中聯(lián)合考試）下列表中的對(duì)數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的：358915 請(qǐng)將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為 = 解析，所以3和9的對(duì)數(shù)值正確，若正確，則從而，即，矛盾。故15的對(duì)數(shù)值錯(cuò)誤，應(yīng)改正為搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.（2020年華師附中）用反證法證明命題：“三角形內(nèi)角和至少有一個(gè)不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（ ）A. 三個(gè)內(nèi)角都不大于 B. 三個(gè)內(nèi)角都大于 C. 三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D. 三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于解析 B2.已知，關(guān)于的取值范圍的說法正確的是（ ）A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于解析 B3.若三角形能剖分為兩個(gè)與自己相似的三角形，那么這個(gè)三角形一定是（ ）A.銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不能確定解析 B4.要證明不等式成立，只需證明： 解析 5.已知 與的大小關(guān)系是 解析 （注意：不能取等號(hào)）用平均值不等式6. (07年惠州第一問)已知數(shù)列滿足, ，求證：是等比數(shù)列； 解析由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 綜合提高訓(xùn)練7. （金山中學(xué)2020屆高三期中考）已知表中的對(duì)數(shù)值有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的： x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3(1-a-c）2(2a-b)1-a+2b請(qǐng)你指出這兩個(gè)錯(cuò)誤 （答案寫成如lg20abc的形式）解析若錯(cuò)誤，則也錯(cuò)誤，反之亦然，此時(shí)其他對(duì)數(shù)值都正確，但，、且，若錯(cuò)誤，則也錯(cuò)誤， 正確若錯(cuò)誤，也能導(dǎo)出錯(cuò)誤，正確，正確，綜上，8. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù).（）求實(shí)數(shù)的值；（）用定義法判斷在其定義域上為增函數(shù)解析（）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽是奇函數(shù) （）由（）知， 設(shè)且，則在R上是增函數(shù)9. 已知證明： 解析即證： 設(shè).當(dāng)x（-1，0）時(shí)，k(x)0，k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x（0，）時(shí)，k(x)0，k(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；x=0為k(x)的極大值點(diǎn)，k(x)k(0)=0.即10. 已知函數(shù)， 的最小值恰好是方程的三個(gè)根，其中求證：；解析三個(gè)函數(shù)的最小值依次為， 由，