第8章 偏微分方程數(shù)值解ppt課件

.,第8章偏微分方程數(shù)值解,一、典型的偏微分方程介紹,1.橢圓型方程:在研究有熱源穩(wěn)定狀態(tài)下的熱傳導(dǎo)，有固定外力作用下薄膜的平衡問題時(shí)，都會(huì)遇到Poisson方程,Laplace方程,Poisson方程,.,2.拋物型方程,熱傳導(dǎo)方程:在研究熱傳導(dǎo)過程、氣體擴(kuò)散現(xiàn)象、電磁場的傳播等問題中以及在統(tǒng)計(jì)物理、概率論和重子力學(xué)中，經(jīng)常遇到拋物型方程。這類方程中最簡單、最典型的是熱傳導(dǎo)方程。,其中a是常數(shù)。它表示長度為L的細(xì)桿內(nèi)，物體溫度分布的規(guī)律,.,3雙曲型方程,波動(dòng)方程,(波的傳播、物體的振動(dòng))它表示長度為L的弦振動(dòng)的規(guī)律。,.,二、定解問題,決定方程唯一解所必須給定的初始條件和邊界條件,叫做定解條件.定解條件由實(shí)際問題提出.解條件,拋物型方程邊界條件的提法應(yīng)為物體在端點(diǎn)的溫度分布為已知，即邊界條件,.,雙曲型方程初始條件表示弦在兩端振動(dòng)規(guī)律為已知：,.,Poisson方程反應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)的情況，與時(shí)間無關(guān)，所以不需要提初始條件。邊界條件的提法為：其中(x,y)為已知邊界，s是區(qū)域D的邊界。,.,本章主要針對(duì)幾個(gè)典型的微分方程介紹常用的差分方法和有限元方法。這些方法基本思想是：把一個(gè)連續(xù)問題離散化通過各種手法化成有限形式的線性方程組然后求其解。,.,計(jì)算機(jī)只能作有限次的加、減、乘、除運(yùn)算，它既不能求導(dǎo)數(shù)，更不能解偏微分方程如果想在計(jì)算機(jī)上求得微分方程數(shù)值解，它的主要做法是把偏微分方程中所有的偏導(dǎo)數(shù)分別用差商代替從而得到一個(gè)代數(shù)方程組差分方程組然后對(duì)差分方程求解，并以所求的解作為偏微分方程數(shù)值解,8.1差分法簡介,.,因此需要對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分，用網(wǎng)格點(diǎn)來代替連續(xù)區(qū)域，所以差分法亦稱“網(wǎng)格法”。,.,把整體分割成若干個(gè)單元來處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱為“離散化方法”。在結(jié)點(diǎn)上采用離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展開等）將微分方程的初邊值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題，這個(gè)相應(yīng)問題的解就是方程在點(diǎn)xi上的數(shù)值解f(x)，或在點(diǎn)（xi,ti）上的數(shù)值解U(xi,ti)。一般來說，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。,.,例：取一邊長為1的正方形均勻薄板，上下側(cè)面絕熱，四周保持恒溫，求板內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)定溫定分布。,Laplace方程第一邊值問題,.,記,u在這些點(diǎn)滿足方程,.,得到u(i,k)的近似ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組：,其中,用迭代法來解方程組,.,簡單迭代法,高斯賽德爾迭代法,.,.,.,.,用差分法解偏微分方程需要考慮三個(gè)問題：,1選用網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程。,2當(dāng)網(wǎng)格步長h0時(shí)差分方程的準(zhǔn)確解是否收斂于微分方程的解？,3如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？,.,8.2橢圓型方程的差分解法,橢圓型方程最簡單的典型問題就是拉普拉斯方程,泊松方程,.,考慮泊松方程第一邊值問題：,.,(一)矩形網(wǎng)格,設(shè)為xy平面上一有界區(qū)域，為其邊界，是分段光滑曲線。,正則內(nèi)點(diǎn),非正則內(nèi)點(diǎn),邊界點(diǎn),.,（二）五點(diǎn)差分格式,現(xiàn)在假設(shè)（i，k）為正則內(nèi)點(diǎn)。沿著x，y軸方向分別用二階中心差商代替uxx，uyy，則得,若以u(píng)h，fh表示網(wǎng)函數(shù)，記,.,則差分方程可簡寫成：,利用Taylor展式,.,.,這四個(gè)式子兩兩相加便有：,.,于是可得差分方程的截?cái)嗾`差,.,（三）邊值條件的處理,：非正則內(nèi)點(diǎn)集合,h：邊界點(diǎn)集合,（1）直接轉(zhuǎn)移法,對(duì)（xi,yk），用邊界上距離這點(diǎn)最近的點(diǎn)的值作為（xi,yk）的值，即,.,（2）線性插值法,6,4,1,3,5,2,h1,.,則u在這些點(diǎn)上的值有近似關(guān)系：,.,（3）列不等距差分方程,f1為f在1點(diǎn)的值。,.,8.3拋物型方程的差分解法,拋物型方程是指如下形式的方程：,很多實(shí)際的物理問題都可以用這類方程描述：,熱傳導(dǎo)方程,.,現(xiàn)以熱傳導(dǎo)方程為例，介紹拋物型方程的有限差分格式。,設(shè)熱傳導(dǎo)方程：,定解條件,(1),(2),求（1）滿足（2）的解。,.,8.3.1矩形網(wǎng)格,用兩組平行直線族xj=jh,tk=k(j=0,1,，k=0，1,)構(gòu)成的矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面，網(wǎng)格點(diǎn)（xj,tk）稱為結(jié)點(diǎn)，簡記為（j,k），h、為常數(shù)，分別稱為空間步長及時(shí)間步長，或稱h為沿x方向的步長，稱為沿t方向的步長，N為正整數(shù)。在t=0上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)，其余所有屬于內(nèi)的結(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。,t,h,(xj,tk),.,8.3.2古典差分格式,于平面區(qū)域上考慮傳導(dǎo)方程：,(4),.,于結(jié)點(diǎn)（j,k）處偏導(dǎo)數(shù)與差商之間有如下近似的關(guān)系：,利用上述表達(dá)式得到LU在(j,k)處的關(guān)系式：,(5),.,j=1,2,N1；k=0,1,2,差分方程（6）稱為解熱傳導(dǎo)方程（3）的古典顯格式，,它所用到的結(jié)點(diǎn)如下圖：,*（j,k）,.,將（6）寫成便于計(jì)算的格式：,（7）,稱為網(wǎng)比，利用（7）及初邊值條件（4）,在網(wǎng)格上的值,（8）,即可算出k=1,2,，各層上的值。,截?cái)嗾`差階為0(+h2)。,.,為了提高截?cái)嗾`差的階，可以利用中心差商：,j=1,2,N1；k=0,1,2,（9）,得到Richardson格式，其結(jié)點(diǎn)圖為：,*（j,k）*,.,截?cái)嗾`差階為o(2+h2)，較古典顯格式高。,將（9）式改寫成適于計(jì)算的形式：,j=1,2,N1；k=1,2,r=a/h2稱為網(wǎng)比，（10）式中出現(xiàn)了三層網(wǎng)格上的值，,（10）,才能逐層計(jì)算。,.,如果利用向后差商,j=1,2,N1；k=0,1,2,(11),(12),j=1,2,N1；k=0,1,2,古典隱格式，其結(jié)點(diǎn)圖為：,（j,k）*,截?cái)嗾`差為o(+h2)，與古典顯格式相同。,.,8.3.3六點(diǎn)對(duì)稱格式,取該點(diǎn)的中心差商，從而,對(duì)于方程（3）式，在點(diǎn)列方程，,.,將以上各式代入（3）式得到差分方程：,.,整理,得,此即六點(diǎn)對(duì)稱格式，也稱為Crank-Nicolson格式，所用結(jié)點(diǎn)圖為：,*k+1*kj+1jj1,（13）,.,8.3.4穩(wěn)定性,（1）當(dāng)步長無限縮小時(shí)，差分方程的解是否逼近于微分方程,（2）計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中是無限增加，,還是可以控制？（穩(wěn)定性）,的解？（收斂性）,穩(wěn)定性問題是研究拋物型差分方程的一個(gè)中心課題！,.,考察Richardson格式的穩(wěn)定性。,用表示計(jì)算所產(chǎn)生的誤差，如果右端無誤差存在，,則滿足：,假設(shè)k-1層之前無誤差存在。即，而在第k層產(chǎn)生了,誤差。，這一層其它點(diǎn)也無誤差，而且在計(jì)算過程,中不再產(chǎn)生新的誤差，利用（14）式算出誤差的傳播如下表：,.,r=時(shí)Richardson格式的誤差傳播,jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4,k,-2,-474,-617-2417-6,-831-6889-6831-8,-1049-144277-388277-14449-10,71-260641-1091311-109641-26071,.,r1/2時(shí)古典顯格式的誤差傳播,jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4,k,0.500.5,0.2500.500.25,0.12500.37500.37500.125,0.062500.2500.37500.2500.0625,如果選用r=時(shí)的古典顯格式，誤差方程為：,.,差分格式關(guān)于初值穩(wěn)定的實(shí)際含義是：如果其解在某一層存在誤差，則由它引起的以后各層上的誤差不超過原始誤差的M倍（M為與無關(guān)的常數(shù)）。,因此，在穩(wěn)定的條件下，只要初始誤差足夠小，以后各層的誤差也能足夠小。,以上構(gòu)造的幾種差分格式中，,古典顯格式：r1/2時(shí)穩(wěn)定,古典隱格式：絕對(duì)穩(wěn)定,Richardson格式：絕對(duì)不穩(wěn)定,六點(diǎn)對(duì)稱格式：絕對(duì)穩(wěn)定。,穩(wěn)定性概念：,.,8.4雙曲型方程的差分解法,一階線性雙曲型方程最簡單的形式為,（8.4.1),當(dāng)給定初始條件,(8.4.2),以后，容易驗(yàn)證，雙曲型方程(8.4.1)的解為：,(8.4.3),.,也就是說，在平面xt上，沿著,（k是常數(shù)）,這樣的直線，u的值保持不變。這種直線叫做特征線。,這是個(gè)單向的傳播波，a0時(shí)，波形（x）沿x軸方向傳播，為右傳播波，a0時(shí)，恒有，格式（8.4.7）不穩(wěn)定；,當(dāng)a0且ar1時(shí)，格式（8.4.7）穩(wěn)定。,格式（8.4.8）在a0且ar1時(shí)穩(wěn)定。,將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式：,穩(wěn)定性條件為：,(8.4.9),.,b)Lax-Friedrichs格式,該格式構(gòu)造于1954年，用到,的技巧，截?cái)嗾`差為：,節(jié)點(diǎn)分布圖：,*（j,n）,(8.4.10),.,傳播因子,時(shí)穩(wěn)定。,當(dāng)時(shí)，即格式（8.4.10）在,.,c）Lax-Wendroff格式,截?cái)嗾`差為,節(jié)點(diǎn)分布圖：,*（j,n）,傳播因子,當(dāng)時(shí)有，即格式在條件下穩(wěn)定。,.,d）古典隱式格式,ut用向后差商代替，ux用中心差商代替得,截?cái)嗾`差為：,傳播因子：,對(duì)任意的網(wǎng)格比，