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第三節(jié)行列式及其性質(zhì),1.3.1行列式的定義1.3.2行列式的性質(zhì)1.3.3行列式的計算,1.3.1行列式的定義,二階行列式與三階行列式,二階行列式,定義,a,b,c,d,主對角線元素之積減去副對角線元素之積,根據(jù)定義算一算,主對角線元素之積減去副對角線元素之積,二階行列式在解二元一次方程組的應(yīng)用,三階行列式的定義,對角線法則,根據(jù)定義算一算,練一練,計算,n階行列式定義,設(shè)方陣,則稱行列式,為A所對應(yīng)的行列式，或A的行列式,記作,稱n為行列式D的階數(shù)。,余子式：元素的余子式記為,元素5的余子式,元素0的余子式,1.3.2行列式的性質(zhì),代數(shù)余子式,元素5的代數(shù)余子式,=？,3階行列式的余子式定義,三階行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代數(shù)余子式再相加,n階行列式的定義,首行展開,行列式的展開,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。,根據(jù)定義算一算,行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。,此性質(zhì)表明行與列是對等的，行具有的性質(zhì)，列也具有,互換行列式的兩行（列），行列式變號。,推論：如果行列式D有兩行（列）相同，則D=0,行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。,推論2：如果行列式D有一行（列）的元素全為零，則D=0。,推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素成比例，則D=0。,推論1:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。,推論4：設(shè)A為n階方陣，則,性質(zhì),設(shè)D為任一階的行列式，則按行（列）展開得D,串行（列）展開得零。,如果行列式的某一行（列）的元素都是兩項的和，則可以把該行列式拆成相應(yīng)的兩個行列式之和。,把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一個數(shù)后，加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變。,消元變換,行的運算row,列的運算column,交換i,j兩行,數(shù)乘第i行,數(shù)乘第i行加到第j行,交換i,j兩列,數(shù)乘第i列,數(shù)乘第i列加到第j列,變號,K倍,等值,變號,K倍,等值,注意與矩陣的初等變換的區(qū)別。,性質(zhì),推廣,1.3.3行列式的計算,例計算行列式D=解按定義，有D=5A11+1A21+0A31+0A41=5(-1)1+1M11+1(-1)2+1M21=5=2=2,證明,主對角線行列式,下三角形行列式,利用首行展開法可以證明,下三角形行列式之值等于主對角線元素之積,練一練,計算,例,

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