1999考研數(shù)二真題及解析

1999 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。把答案填在題中橫線上。)(1) 曲線，在點(diǎn)處的法線方程為 (2) 設(shè)函數(shù)由方程確定，則 (3) (4) 函數(shù)在區(qū)間上的平均值為 (5) 微分方程的通解為 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在提后的括號(hào)內(nèi)。)(1) 設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處 ( )(A) 極限不存在.(B) 極限存在，但不連續(xù).(C) 連續(xù)，但不可導(dǎo).(D) 可導(dǎo).(2) 設(shè)，則當(dāng)時(shí)是的 ( ) (A)高階無(wú)窮小 (B)低階無(wú)窮小(C)同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 (D)等價(jià)無(wú)窮小(3) 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則 ( )(A) 當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，必是偶函數(shù).(B) 當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，必是奇函數(shù).(C) 當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，必是周期函數(shù).(D) 當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù).(4) “對(duì)任意給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有”是數(shù)列收斂于的 ( )(A)充分條件但非必要條件. (B)必要條件但非充分條件.(C)充分必要條件. (D)既非充分條件又非必要條件.(5)記行列式為，則方程的根的個(gè)數(shù)為( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.三、(本題滿分5分)求 .四、(本題滿分6分)計(jì)算 .五、(本題滿分7分)求初值問(wèn)題 的解.六、(本題滿分7分)為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見(jiàn)圖，已知井深30m,抓斗自重, 纜繩每米重 ，抓斗抓起的污泥重，提升速度為,在提升過(guò)程中，污泥以的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功？(說(shuō)明：其中分別表示米，牛頓，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì).)七、(本題滿分8分)已知函數(shù)，求(1)函數(shù)的增減區(qū)間及極值；(2)函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)(3)函數(shù)圖形的漸近線.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.九、(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，.過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程.十、(本題滿分6分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，證明數(shù)列的極限存在.十一、(本題滿分8分)設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣.十二、(本題滿分5分)設(shè)向量組，(1)為何值時(shí)，該向量組線性無(wú)關(guān)？并在此時(shí)將向量用線性表出；(2)為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.1999 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則曲線在點(diǎn)的切線斜率為，把代入得，所以改點(diǎn)處法線斜率為，故所求法線方程為.(2)【答案】1【詳解】是有方程所確定，所以當(dāng)時(shí)，.對(duì)方程兩邊非別對(duì)求導(dǎo)，得，把和代入得(3)【答案】【詳解】通過(guò)變換，將積分轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)積分，即(4)【答案】【詳解】按照平均值的定義有，作變換令，則，所以(5)【答案】其中為任意常數(shù).【分析】先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個(gè)特解.【詳解】原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為：解得，故的通解為由于非齊次項(xiàng)為因此原方程的特解可設(shè)為代入原方程可求得，故所求通解為二、選擇題(1)【答案】( D )【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)則極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手.因?yàn)?從而，存在，且，故正確選項(xiàng)為(D).(2)【答案】( C )【詳解】當(dāng)有，所以當(dāng)時(shí)是同階但不等價(jià)的無(wú)窮小.(3)【答案】( A )【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性.的原函數(shù)可以表示為于是當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，從而有即 F(x)為偶函數(shù). 故(A)為正確選項(xiàng).(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：是偶函數(shù)，但其原函數(shù)不是奇函數(shù)，可排除(B)；是周期函數(shù)，但其原函數(shù)不是周期函數(shù)，可排除(C)；在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但其原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).(4)【答案】( C )【詳解】【方法1】“必要性”：數(shù)列極限的定義 “對(duì)于任意給定的，存在，使得當(dāng)時(shí)恒有”. 由該定義可以直接推出題中所述，即必要性；“充分性”：對(duì)于任意給定的，取，這時(shí)，由已知，對(duì)于此存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有，現(xiàn)取，于是有當(dāng)時(shí)，恒有. 這證明了數(shù)列收斂于. 故(C)是正確的.【方法2】數(shù)列極限的精確定義是：對(duì)于任意給定的，總存在，使得當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)數(shù)列收斂于. 這里要抓住的關(guān)鍵是要能夠任意小，才能使任意小. 將本題的說(shuō)法改成：對(duì)任意，總存在，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱(chēng)數(shù)列收斂于. 由于可以任意小，所以能夠任意小. 故兩個(gè)說(shuō)法是等價(jià)的.(5)【答案】(B)【詳解】利用行列式性質(zhì)，計(jì)算出行列式是幾次多項(xiàng)式，即可作出判別.(若均為階方陣，則)故 有兩個(gè)根，故應(yīng)選(B).三【詳解】進(jìn)行等價(jià)變化，然后應(yīng)用洛必達(dá)法則，【方法1】【方法2】四【詳解】采用分部積分法五【詳解】將原方程化簡(jiǎn) 令，則，代入上式，得 ，化簡(jiǎn)并移項(xiàng)，得 ，由積分公式得 ，其中是常數(shù)， 因?yàn)樗裕サ舾?hào)，得 ，即，把代入并化簡(jiǎn)，得 六【詳解】建立坐標(biāo)軸如圖所示，解法1：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功，其中是克服抓斗自重所作的功；是克服纜繩重力作的功；為提出污泥所作的功. 由題意知將抓斗由處提升到處，克服纜繩重力所作的功為= 纜繩每米重纜繩長(zhǎng)提升高度從而 在時(shí)間間隔內(nèi)提升污泥需做功為將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間所以 因此，共需做功 解法2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為，當(dāng)抓斗運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，作用力包括抓斗的自重, 纜繩的重力， 污泥的重力即 于是 七【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令得駐點(diǎn)；令得. 因此，需以為分界點(diǎn)來(lái)討論，列表討論如下：凸，增拐點(diǎn)凹，增凹，減極小值凹，增由此可知，(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為.(2)函數(shù)圖形在區(qū)間內(nèi)是向上凸的，在區(qū)間內(nèi)是向上凹的，拐點(diǎn)為點(diǎn).(3)由，可知是函數(shù)圖形的鉛直漸近線. 又因?yàn)?故是函數(shù)的斜漸近線.八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.【詳解】解法1：由麥克勞林公式得，其中介于與之間，分別令并結(jié)合已知條件得 兩式相減，得 由的連續(xù)性，知在區(qū)間上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為和，則有 再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 解法2：構(gòu)造函數(shù)，使得時(shí)有三個(gè)點(diǎn)，有兩個(gè)點(diǎn)，從而使用羅爾定理證明必然存在.設(shè)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)令 ，將代入得代入得 由羅爾定理可知，存在，使又因?yàn)椋儆闪_爾定理可知，存在，使得再由羅爾定理知，存在，使 即 .九【詳解】如圖，曲線上點(diǎn)處的切線方程為所以切線與軸的交點(diǎn)為由于 因此于是 又 根據(jù)題設(shè) 得兩邊對(duì)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得這是可降階的二階常微分方程，令 則，上述方程化為分離變量得，解得，即從而有 ，根據(jù)可得故所求曲線得方程為 .十【詳解】利用單調(diào)有界必有極限的準(zhǔn)則來(lái)證明.先將形式化簡(jiǎn)，因?yàn)?所以 又因?yàn)閱握{(diào)減少且非負(fù)，所以有 ，故；又因?yàn)?所以單調(diào)減少，因?yàn)閱握{(diào)有界必有極限，所以存在.十一【詳解】題設(shè)條件 上式兩端左乘，得 因?yàn)椋?根據(jù)可逆矩陣的定義：對(duì)于矩陣，如果存在矩陣，使得，則稱(chēng)為可逆矩陣，并稱(chēng)是的逆矩陣，故均是可逆矩陣，且又 因?yàn)槌?shù)與矩陣相乘，的每個(gè)元素都要乘以，故，所以(對(duì)應(yīng)元素相減)()用初等行變換求逆，當(dāng)用初等行變換將矩陣化為單位矩陣時(shí)，經(jīng)過(guò)相同的初等行變換，單位矩陣化成了，即故 十二【概念】向量組線性無(wú)關(guān)以為列向量組成的線性齊次方程組只有零解向量能否由向量組線性表出以為列向量組成的線性非齊次方程組是否有解【詳解】作方程組，并對(duì)增廣矩陣作初等行變換，(1) 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且等于未知量的個(gè)數(shù)，故線性無(wú)關(guān)