四川省成都市龍泉第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 文（含解析）

成都龍泉二中2020級(jí)高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)（文）注意事項(xiàng)：1.答題時(shí)，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.選做題的作答：先把所做題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交；第卷（選擇題部分）一、選擇題在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)全集，則中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由得：，結(jié)合得：，則中整數(shù)元素為3，4，5，6，即個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選B.點(diǎn)睛：研究一個(gè)集合，我們首先要看清楚它的研究對(duì)象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.第二步常常是解不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的過(guò)程中，要注意分母不能為零.解指數(shù)或?qū)?shù)不等式要注意底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響.元素與集合之間是屬于和不屬于的關(guān)系，集合與集合間有包含關(guān)系. 在求交集時(shí)注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，則， ，故選B3.若，則， ， 的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用中間量“0”，“1”判斷三個(gè)數(shù)的大小即可【詳解】 故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)的大小比較，一般來(lái)講要轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象分布和單調(diào)性比較，有時(shí)也用到0，1作為比較的橋梁4.下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是( )A. 命題“若，則”的否命題為：“若，則”B. 若為真命題，則均為真命題.C. 命題“存在，使得” 的否定是：“對(duì)任意，均有”D. 命題“若，則”的逆否命題為真命題【答案】D【解析】【分析】否命題只需要否定結(jié)論，原命題為真，則逆否命題也為真?！驹斀狻緼,該命題的否命題應(yīng)為:”若,故A錯(cuò)誤;”C選項(xiàng),對(duì)命題的否定只需要否定結(jié)論即可，故錯(cuò)誤；,B選項(xiàng)為p為真命題或q為真命題，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)原命題正確，說(shuō)明逆否命題也對(duì)，故正確。【點(diǎn)睛】本道題考查了命題和邏輯這一塊內(nèi)容，命題否定只需要否定結(jié)論，原命題為真，逆否命題也是真的。5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖，左視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】該幾何體是一個(gè)半球上面有一個(gè)三棱錐，體積為，故選A.6.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)，例如：他們研究過(guò)圖中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，則這些三角形數(shù)從小到大形成一個(gè)數(shù)列，那么的值為（ ）A. 45 B. 55 C. 65 D. 66【答案】B【解析】由以上圖形可知 共有10行, 選B.7.秦九韶算法是我國(guó)古代算籌學(xué)史上光輝的一筆，它把一元n次多項(xiàng)式的求值轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的運(yùn)算，即使在計(jì)算機(jī)時(shí)代，秦九韶算法仍然是高次多項(xiàng)式求值的最優(yōu)算法，其算法如圖所示，若輸入的分別為，則該程序框圖輸出p的值為（ ）A. -14 B. -2 C. -30 D. 32【答案】B【解析】解析：根據(jù)圖中程序框圖可知：，當(dāng)x=2的值圖中的計(jì)算是當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式 的值，故選B點(diǎn)晴：程序框圖為每年高考必考題型，注意兩種出題方式：給出流程圖，計(jì)算輸出結(jié)果；給出輸出結(jié)果，填寫(xiě)判斷條件8.函數(shù)圖象的大致形狀是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根據(jù)表達(dá)式知道，故函數(shù)是奇函數(shù)，排除CD；當(dāng)x1時(shí)， 故排除A選項(xiàng)，B是正確的。故答案為：B。9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短來(lái)原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖像，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，而橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，則周期較少一般，故只需要將x的系數(shù)增加一倍，即可得出答案?！驹斀狻拷Y(jié)合圖像可知函數(shù)，而橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，則x的系數(shù)增加一倍，故新函數(shù)解析式為?！军c(diǎn)睛】本道題目考查了三角函數(shù)解析式的求法和函數(shù)平移問(wèn)題，結(jié)合圖像，先寫(xiě)出解析式，然后結(jié)合平移，描繪出x的變化。10.若在中，其外接圓圓心滿足，則（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：取BC中點(diǎn)為D，根據(jù)，即為重心，另外O為的外接圓圓心，即為等邊三角形。詳解：取BC中點(diǎn)為D，根據(jù)，即為重心，另外O為的外接圓圓心，即為等邊三角形。 故選A點(diǎn)晴：注意區(qū)分向量三角形法則和平行四邊形法則之間的關(guān)系，注意區(qū)分向量積運(yùn)算倆公式的區(qū)別。11.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道題目首先繪制出的圖像，然后將所求方程轉(zhuǎn)化成直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖像，判斷大致的位置，計(jì)算斜率。【詳解】先繪制出的圖像要使得關(guān)于x的方程存在唯一實(shí)數(shù)根，則介于圖中1號(hào)和3號(hào)直線之間，以及2號(hào)直線；1號(hào)直線的斜率為，3號(hào)直線的斜率為，故a的范圍為當(dāng)直線與相切時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為建立方程，解得綜上所述，a的范圍為，故選A。【點(diǎn)睛】本道題目考查了數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，遇到方程根問(wèn)題，可以將其轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解答.12.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之和等于常數(shù)t,則稱函數(shù)為“t函數(shù)”.下列函數(shù)中為“2函數(shù)”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道題分別計(jì)算該四個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),判斷是否存在相應(yīng)點(diǎn),即可得出答案.【詳解】對(duì)于1,求導(dǎo),解得,不存在,錯(cuò)誤;對(duì)于2,求導(dǎo),解得,不存在,錯(cuò)誤; 對(duì)于3,求導(dǎo),存在,故正確;對(duì)于4,求導(dǎo),解得,存在,正確,故選B.【點(diǎn)睛】本道題目考查了函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題,結(jié)合導(dǎo)數(shù),計(jì)算是否存在,可以結(jié)合相應(yīng)函數(shù)性質(zhì),進(jìn)行判斷.第卷（非選擇題）二、填空題。13.若平面向量滿足,則向量與的夾角為_(kāi).【答案】【解析】設(shè)向量與夾角為.解得，所以.故答案為為：.14.設(shè)變量X,Y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)【答案】2【解析】【分析】結(jié)合不等式方程,繪制可行域,然后理解的意義,建立等式.【詳解】繪制函數(shù)圖像 結(jié)合不等式,繪制可行域,圖中陰影部分便是可行域,表示點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率,故該斜率最大為點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率 【點(diǎn)睛】本道題目考查了線性規(guī)劃問(wèn)題,理解表示點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率.15.在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)為外接圓的圓心，則_【答案】【解析】如圖，由O是正外接圓的圓心（半徑為2），則O也是正的重心，設(shè)AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，故 點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).16.已知，若的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則的表達(dá)式為_(kāi).【答案】【解析】【分析】利用對(duì)稱關(guān)系,建立起與坐標(biāo)關(guān)系,代入解析式中,得到的解析式,即可得出答案.【詳解】設(shè)函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)楹完P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以 ,解得,代入方程中, ,解得,把換成得到 .【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)解析式求法,利用對(duì)稱,得到兩個(gè)函數(shù)的坐標(biāo)關(guān)系,代入.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1) (2) 【解析】分析：累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；裂項(xiàng)相消法求和（1）由已知， ，.（2）， .點(diǎn)晴：類比等差數(shù)列的定義，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，中間再利用等比數(shù)列求和即可。18.如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，（I）證明：平面平面；（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3+2【解析】試題分析：（）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由線面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（）設(shè)AB=，通過(guò)解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來(lái)，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐的體積為求出x，即可求出三棱錐的側(cè)面積.試題解析：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD，因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）設(shè)AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC= ,GB=GD=.因?yàn)锳EEC，所以在AEC中，可得EG= .由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱錐E-ACD的體積.故=2從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為.考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計(jì)算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】19.在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中，我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科班平均分的差叫某科偏差，班主任為了了解個(gè)別學(xué)生的偏科情況，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x（單位：分）與物理偏差y（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行偏差分析，決定從全班40位同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析，得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下：（1）已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為92分，試預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)126分的同學(xué)的物理成績(jī)參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）；（2）94分【解析】試題分析：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)及公式可求得，即可得到關(guān)于的線性回歸方程；（2）設(shè)出物理成績(jī)，可得物理偏差為，又?jǐn)?shù)學(xué)偏差為，代入回歸方程可求得。試題解析：（1）由題意計(jì)算得， ，故線性回歸方程為（2）由題意設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?，則物理偏差為，而數(shù)學(xué)偏差為，則（1）的結(jié)論可得，解得，故可以預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)榉?點(diǎn)睛：（1）線性相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，但是在求得回歸方程的基礎(chǔ)上可利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)（2）回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，在解題中要注意這一結(jié)論的運(yùn)用。20.己知函數(shù)，函數(shù)(1)求時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【答案】() () 【解析】試題分析：(1) 當(dāng)時(shí)，求出即得解，（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以或，變量分離可求得k的范圍.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；(2) 因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以或由得，所以，所以；由得，所以，而，所以，所以綜上所述: 實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛：高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍21.已知，.（1）若在恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的范圍并證明.【答案】(1) (2) 證明見(jiàn)解析【解析】【試題分析】(1)將原不等式分離常數(shù)得到,構(gòu)造函數(shù),利用二階導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的取值范圍.(2)求得的階導(dǎo)數(shù)和階導(dǎo)數(shù),將分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求得,并求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)的大小.化簡(jiǎn),由此證得【試題解析】 (1)由題:得： 設(shè)，設(shè)：，在單增， 在單增， (2) ，若時(shí), 知: 在單調(diào)遞增,不合題意.若時(shí), 知:在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減只需要 此時(shí)知道：在單減，單增，單減, 且易知: 又由又 【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.還考查了恒成立問(wèn)題的求解方法. 確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存 在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（）求a；（）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】試題分析（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；（II）不妨設(shè)A的極角為，B的極角為+，則|OA|+|OB|=2cos+2cos（+）=2cos（+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出解：（）曲線C：=2acos（a0），變形2=2acos，化為x2+y2=2ax，即（xa）2+y2=a2曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；由l：cos（）=，展開(kāi)為，l的直角坐標(biāo)方程為x+y3=0由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1（）不妨設(shè)A的極角為，B的極角為+，則|OA|+|OB|=2cos+2cos（+）=3cossin=2cos（+），當(dāng)=時(shí)，|OA|+|OB|取得最大值2考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】23.設(shè)函數(shù) . （1）求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的取值范圍；（2）若集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案