《數(shù)學(xué)面積體積公式》PPT課件

,體積與面積的計(jì)算,歡迎來(lái)到V1.1,正方形、正方體,一、正方形1、邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直。2、內(nèi)角：四個(gè)角都是90。3、對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。4、對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）。5、正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)。6、特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。7、在正方形里面畫(huà)一個(gè)最大的圓，該圓的面積約是正方形面積的78.5%；正方形外接圓面積大約是正方形面積的157%。8、正方形是特殊的矩形。9、正方形也是矩形的一種。S正=邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)=a=aa5cm（）（）=（）cm，周長(zhǎng)是邊長(zhǎng)4,5,5,25,二、正方體,因?yàn)?個(gè)面全部相等，所以正方體的表面積=底面積6=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6,正方體的體積(或叫做正方體的容積）=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)；設(shè)一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的體積為：V=aaa=V正=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)=Sh=底面積棱長(zhǎng)（）棱長(zhǎng)9cm，體積是（）（）（）=cm,9,9,9,9,729,平行四邊形,（矩形(長(zhǎng)方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。）性質(zhì)：（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”）（2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等。（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等”）（3）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的鄰角互補(bǔ)（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的鄰角互補(bǔ)”）（4）夾在兩條平行線間的平行的高相等。（平行線間的高距離處處相等）,（5）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。（簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”）（6）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論）（7）平行四邊形的面積等于底和高的積。（可視為矩形）.（8）過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。（9）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn).（10）平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，但平行四邊形是中心對(duì)稱圖形。矩形和菱形是軸對(duì)稱圖形。注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質(zhì)。,平行四邊形（11）平行四邊形ABCD中（如圖）E為AB的中點(diǎn)，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn)，則AC和DE互相(n+1)等分。（12）平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。（13）平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等份。（14）平行四邊形中，兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。（15）平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高，與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。平行四邊形的對(duì)邊平行且相等平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)平行四邊形的對(duì)角線互相平分平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)平行四邊形的內(nèi)角和是外角和的四分之一。周長(zhǎng)：底加高再2,平行四邊形面積公式是S平=底高=ah一個(gè)平行四邊形底5cm，高5cm，面積是多少（）（）=cm,5,5,25,長(zhǎng)方形,定義四個(gè)角都是直角的平行四邊形叫做長(zhǎng)方形。又叫矩形。長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的定義：第一種意見(jiàn)：長(zhǎng)方形較長(zhǎng)的那條邊叫長(zhǎng)，較短的那條邊叫寬。第二種意見(jiàn)：和水平面同方向的叫做長(zhǎng)，反之就叫做寬。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是相對(duì)的，不能絕對(duì)的說(shuō)“長(zhǎng)比寬長(zhǎng)”，但習(xí)慣地講，長(zhǎng)的為長(zhǎng)，短的為寬。,兩條對(duì)角線相等；兩條對(duì)角線互相平分；兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；四個(gè)角都是直角；有2條對(duì)稱軸（正方形有4條）。正方形是特殊的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是長(zhǎng)加寬再2,長(zhǎng)方形長(zhǎng)9cm，寬6cm，面積多少？,正方形面積=長(zhǎng)乘寬=ab（）（）=cm,9,6,54,長(zhǎng)方體,(1長(zhǎng)方體有6個(gè)面。有三組相對(duì)的面完全相同。一般情況下六個(gè)面都是長(zhǎng)方形，特殊情況時(shí)有兩個(gè)面是正方形，其他四個(gè)面都是長(zhǎng)方形，并且這四個(gè)面完全相同。2長(zhǎng)方體有12條棱，相對(duì)的四條棱長(zhǎng)度相等。按長(zhǎng)度可分為三組，每一組有4條棱。3長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)。每個(gè)頂點(diǎn)連接三條棱。三條棱分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高。(4)長(zhǎng)方體相鄰的兩條棱互相垂直。,因?yàn)橄鄬?duì)的2個(gè)面面積相等，所以先算上下兩個(gè)面，再算前后兩個(gè)面，最后算左右兩個(gè)面。設(shè)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、h，則它的表面積為S長(zhǎng)方體=2(ab+bh+ah)也等于ah乘2+ab乘2+bc2；公式：長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)寬2+寬高2+長(zhǎng)高2，或：長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)寬+寬高+長(zhǎng)高）2,長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)寬高設(shè)一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則它的體積V=abc=Sh因?yàn)殚L(zhǎng)方體也屬于棱柱的一種，所以棱柱的體積計(jì)算公式它也同樣適用。長(zhǎng)方體體積=底面積高，即V=Sh（S是底面積）。聲明：關(guān)于長(zhǎng)方體的體積公式，寫(xiě)成V=abh是正確的。在一般的小學(xué)課本中，都是V=abh,就北京的教材也一樣。長(zhǎng)方體的底面積就是長(zhǎng)方形的面積S=ab,而將它代入V=Sh就是V=abh。當(dāng)然，也不強(qiáng)求必須用a,b,c或l,w,h來(lái)表示長(zhǎng)寬高。所以，V=abh,V=abc,V=lwh都是正確的。一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)9cm，寬28mm，高0.04m，它的體積是多少立方分米？（）（）（）=dm,0.9,0.28,0.4,0.7072,梯形,定義：梯形（trapezium)是指只有一組對(duì)邊平行的四邊形（叫作梯形）。平行的兩邊叫做梯形的底邊。不平行的兩邊叫腰；兩底之間的公垂線段叫梯形的高。性質(zhì)梯形的上下兩底平行；梯形的中位線（兩腰中點(diǎn)相連的線叫做中位線1）平行于兩底并且等于上下底和的一半。等腰梯形對(duì)角線相等,輔助線1作高（根據(jù)實(shí)際題目確定）；2平移一腰；3平移對(duì)角線；4反向延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)；5取一腰中點(diǎn)，另一腰兩端點(diǎn)連接并延長(zhǎng)；6取兩底中點(diǎn)，過(guò)一底中點(diǎn)做兩腰的平行線。7.取兩腰中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作中位線。,周長(zhǎng)梯形的周長(zhǎng)公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。2等腰梯形的周長(zhǎng)公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。面積梯形的面積公式：（上底+下底）高2，用字母表示：S=（a+b）h2。3變形1：h=2s（a+b）；變形2：a=2sh-b；變形3：b=2sh-a。另一計(jì)算梯形的面積公式：中位線高，用字母表示：Lh。對(duì)角線互相垂直的梯形面積為：對(duì)角線對(duì)角線2。一個(gè)高7cm，上底下底一樣是8cm，面積是多少平方毫米？（）+（）=（）（）=cm,8,8,16,16,7,87,臺(tái)體,圓臺(tái)的體積公式：V=S+S+(SS)h3=h(R+Rr+r)/3圓臺(tái)的表面積公式：S=r+R+rl+Rl=(r+R+rl+Rl)r上底半徑R下底半徑h高l母線棱臺(tái)棱臺(tái)的體積公式:V臺(tái)體=1/3【S+S+（S*S）】*h.S：上底面積S：下底面積h：高即棱臺(tái)體積=1/3*【棱臺(tái)底面積+頂面積+開(kāi)根號(hào)（棱臺(tái)底面積乘以頂面積）】*棱臺(tái)高,圓形、橢圓、扇形、球體的體積或面積,1.圓的周長(zhǎng)C=2r=或C=d2.圓的面積S=r3.扇形弧長(zhǎng)L=圓心角（弧度制）*r=nr/180（n為圓心角）4.扇形面積S=nr/360=Lr/2（L為扇形的弧長(zhǎng)）5.圓的直徑d=2r6.圓錐側(cè)面積S=rl（l為母線長(zhǎng)）7.圓錐底面半徑r=n/360L（L為母線長(zhǎng)）（r為底面半徑）圓的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)（此方面涉及到弧微分）圓周長(zhǎng)一半是8cm，半徑是9cm，面積是多少,8,9,3.14,=226.08,扇形,扇形面積公式R是扇形半徑，n是弧所對(duì)圓心角度數(shù)，是圓周率，L是扇形對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)。也可以用扇形所在圓的面積除以360再乘以扇形圓心角的角度n，如下：（L為弧長(zhǎng)，R為扇形半徑）,橢圓形,S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸,短半軸的長(zhǎng)).或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng)).橢圓的周長(zhǎng)公式橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式，有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式。橢圓周長(zhǎng)(L)的精確計(jì)算要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和。如L=0,/24a*sqrt(1-(e*cost)2)dt2(a2+b2)/2)橢圓近似周長(zhǎng),其中a為橢圓長(zhǎng)半軸,e為離心率橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF，到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則e=PF/PL,球體,數(shù)學(xué)中的球體球體基本概念半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球。半圓的圓心叫做球心。連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑。連結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑。球體性質(zhì)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面。球的截面有以下性質(zhì)：1球心和截面圓心的連線垂直于截面。2球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r2=R2-d2球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做小圓。在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離。球體函數(shù)半徑為r的球的函數(shù)為：r2=x2+y2+z2,球體的計(jì)算公式半徑是R的球的體積計(jì)算公式是：V=（4/3）R3(三分之四乘以乘以半徑的三次方)V=（1/6）d3(六分之一乘以乘以直徑的三次方)半徑是R的球的表面積計(jì)算公式是：S=4R2（4倍的乘以R的二次方）圖1圖1證明：證：V球=4/3r3欲證V球=4/3r3，可證V半球=2/3r3做一個(gè)半球h=r,做一個(gè)圓柱h=r(如圖1)V柱-V錐=r3-r3/3=2/3r3若猜想成立，則V柱-V錐=V半球根據(jù)卡瓦列利原理，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體圖形，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果所得的兩個(gè)截面面積相等，那么，這兩個(gè)立體圖形的體積相等。若猜想成立，兩個(gè)平面：S1(圓)=S2(環(huán))1.從半球高h(yuǎn)點(diǎn)截一個(gè)平面根據(jù)公式可知此面積為(r2-h2)0.52=(r2-h2)2.從圓柱做一個(gè)與其等底等高的圓錐：V錐根據(jù)公式可知其右側(cè)環(huán)形的面積為r2-rh/r=(r2-h2)(r2-h2)=(r2-h2)V柱-V錐=V半球V柱-V錐=r3-r3/3=2/3r3V半球=2/3r3由V半球可推出V球=2V半球=4/3r3證畢當(dāng)然，求球體體積的方法很多，較容易讓人理解的是用重積分的方法解：積分區(qū)域如圖積分區(qū)域積分區(qū)域，圓的半徑為r,圓柱1、以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)360形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓柱(circularcylinder)，即AG矩形的一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)360所得的幾何體就是圓柱。其中AG叫做圓柱的軸，AG的長(zhǎng)度叫做圓柱的高，所有平行于AG的線段叫做圓柱的母線，DA和DG旋轉(zhuǎn)形成的兩個(gè)圓叫做圓柱的底面，DD旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓柱的側(cè)面。2、在同一個(gè)平面內(nèi)有一條定直線和一條動(dòng)線，當(dāng)這個(gè)平面繞著這條定直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，這條動(dòng)線所成的面叫做旋轉(zhuǎn)面，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)面的軸，這條動(dòng)線叫做旋轉(zhuǎn)面的母線。如果母線是和軸平行的一條直線，那么所生成的旋轉(zhuǎn)面叫做圓柱面。如果用垂直于軸的兩個(gè)平面去截圓柱面，那么兩個(gè)截面和圓柱面所圍成的幾何體叫做直圓柱，簡(jiǎn)稱圓柱。,圓柱所占空間的大小，叫做這個(gè)圓柱體的體積求圓柱的體積跟求長(zhǎng)方體、正方體一樣，都是底面積高：設(shè)一個(gè)圓柱底面半徑為r，高為h，則體積V=r*rh如S為底面積，高為h，體積為V：V=Sh，也可以是V=r*rh,圓柱的側(cè)面積=底面的周長(zhǎng)高。2S側(cè)=Ch（C表示底面的周長(zhǎng)，h表示圓柱的高）圓柱的底面積=r*r;圓柱的表面積圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積S表=2r*r+2rhs側(cè)=dhs底=2r*s表=s側(cè)+s底,角錐：V=rSh3【角錐體積=底面積高3】柱體：V=sh(柱體體積=底面積高）,球缺,球冠的面積=2RH（不包括截面的面積）球缺體積公式=(/3)(3R-H)*H2（R是球的半徑,H是球缺的高)球缺質(zhì)心：勻質(zhì)球缺的質(zhì)心位于它的中軸線上，并且與底面的距離為：c=(4R-H)H/(12R-4H)=(d2+2H2)H/(3d2+4H2)（其中，H為球缺的高，R為大圓半徑，d為球缺的底面直徑。）用高等數(shù)學(xué)定積分來(lái)計(jì)算的方法：已知：球半徑R，球缺高H。我們就可以得到球缺的體積為：V=H2(R-H/3)證明過(guò)程：由于圓方程（原點(diǎn)為零點(diǎn)）：X2+Y2=R2X=（R2-Y2）V球缺=x2dy=(R2-y2)dy(積分上限為R積分下限位R-H)推導(dǎo)后得出V=H2(R-H/3)又：球缺高H，底面半徑r，則V=H(3r2+H2)/6,正劈錐體,第一種劈錐體(圖二)的垂直于x