微觀至介觀尺度的模擬方法概述優(yōu)秀課件

微觀至介觀尺度的模擬,1,微觀至介觀尺度的模擬,主要研究內(nèi)容：微結(jié)構(gòu)演化（動力學控制）微結(jié)構(gòu)與其性質(zhì)之間關(guān)系結(jié)構(gòu)演化的方向熱力學控制微結(jié)構(gòu)變化路徑動力學控制結(jié)構(gòu)演化的這種非平衡特性導致了各種各樣的晶格缺陷結(jié)構(gòu)及其相互作用機制。,2,微結(jié)構(gòu)的實物空間和時間尺度,3,微觀至介觀尺度的模擬,非平衡因素材料性質(zhì)的多樣性,應(yīng)用,性質(zhì),材料,微結(jié)構(gòu)機制,4,微觀至介觀尺度的模擬,介觀尺度模擬的特點：處理的原子數(shù)目巨大(1023個/cm3)。排除了（1）嚴格求解薛定諤方程（2）由唯象原子論方法(如與經(jīng)驗勢相聯(lián)系的分子動力學)來完成。必須建立能覆蓋較寬尺度范圍的恰當?shù)慕橛^尺度模擬方法，以便給出遠遠超過原子尺度的預測。,5,微觀至介觀尺度的模擬,連續(xù)體模型原子運動方程的嚴格解或近似解（薛定諤方程或分子動力學）替換為平均本征結(jié)構(gòu)關(guān)系式介觀尺度機理和本構(gòu)定律的復雜性和多樣性，導致建立介觀尺度模型的方法的不唯一性。,6,空間及時間離散化介觀尺度模擬方法,空間及時間離散化位錯動力學(晶體塑性，復原，織構(gòu)，斷裂),相場動力學或廣義Ginzburg-Landau模型(超導電性，擴散，相變，晶粒生長),確定性或概率性元胞自動機(擴散，熱傳遞，相變，再結(jié)晶，晶粒生長),多態(tài)動力學波茨(Potts)模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長),幾何拓撲和組分模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長),拓撲網(wǎng)格和頂點模型(晶界動力學，網(wǎng)格動力學，成核，復原，晶粒生長),典型應(yīng)用領(lǐng)域中的主要介觀尺度模擬方法,7,微觀至介觀尺度的模擬,介觀模擬方法的共同特點：不明顯地包含原子尺度動力學，而是理想化地把材料作為連續(xù)體。由均勻性基體將晶格缺陷之間的相互作用耦合在一起?？刂品匠讨型ǔ２伙@含內(nèi)秉空間或時間標度。含有單個晶格缺陷的連續(xù)體介觀尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征結(jié)構(gòu)方程組表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡羅方法可以對這些微分方程近行求解。,8,微觀至介觀尺度的模擬,時空標度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其系數(shù)、變量所擁有的特點和性質(zhì)決定。作為態(tài)變量(例如原子濃度，位鍺密度，結(jié)構(gòu)參數(shù)，位移或品格取向)，通常被并進空間格柵坐標；控制微分方程被用于局域或整體情況，這取決于相互作用的性質(zhì)(短程或長程)。能夠利用連續(xù)體近似方法對介觀尺度的結(jié)構(gòu)演化進行預測、意義重大，因為唯象態(tài)方程和結(jié)構(gòu)演化定律已在介觀尺度進行很好地研究，其實驗數(shù)據(jù)的獲得比在微觀尺度更容易，而且數(shù)據(jù)信息比在宏觀尺度更詳細。,9,第6章元胞自動機,6.1基本原理元胞自動機是描述和處理復雜系統(tǒng)在離散空間-時間上演化規(guī)律的算法，通常采用對晶格格座的局域或整體的確定性和概率性變換規(guī)則進行具體操作。空間變量可以代表實空間、動量空間或波矢空間。其晶格定義為具有固定數(shù)目的點，一般是規(guī)則晶格，但其維數(shù)及大小可以是任意的。它表述了系統(tǒng)由基礎(chǔ)實體形成的構(gòu)象。這些“基礎(chǔ)實體”可以是任意大小的連續(xù)體型體積單元、原子顆粒、晶格缺陷或生物界中的動物等等。,10,元胞自動機的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃,11,6.1基本原理,基本實體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、顏色、血壓或動物種類等)進行量化表述。在每一個獨立的格座，這些態(tài)變量的實際取值都是確定的。并且認為，每一個結(jié)點代表有限個可能的離散狀態(tài)中的一個態(tài)。通過將某些變換規(guī)則應(yīng)用于每個結(jié)點狀態(tài)，就會發(fā)生自動機的演化。這些規(guī)則決定著晶格格座的狀態(tài)；對于局域規(guī)則，格座狀態(tài)是其前一狀態(tài)及近鄰格點(座)狀態(tài)的函數(shù)，而在整體變換規(guī)則下，則為所有格座狀態(tài)的函數(shù)。傳統(tǒng)元胞自動機大多采用局域變換規(guī)則。,12,6.1基本原理,對于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。對于非均勻介質(zhì)，在討論的晶格區(qū)域采用較小的晶格間距比較妥當；而且，還必須考慮對變換速率進行合理修正和重正化。元胞自動機以離散時間步發(fā)展演化。經(jīng)過一個時間間隔，要對所有結(jié)點的態(tài)變量值同時更新。廣義微結(jié)構(gòu)元胞自動機可以采用元胞或格座的離散空間格柵，在空間上通常被認為是均勻的，所有格座都是等價的，并被排布在規(guī)則晶格上，其中的變換規(guī)則在各處都是一樣的。假定它們是有限個可能狀態(tài)中的一個，并對所有元胞狀態(tài)同步更新。此外，它們與常規(guī)自動機不同的是，格座變換既可以按照確定性定律，也可以按照概率性定律。,13,6.1基本原理,元胞自動機方法為模擬動力學系統(tǒng)的演化提供了一種直接的手段，這些動力學系統(tǒng)包含有大量基于短程相互作用或長程相互作用的相似組元。對于簡單的物理系統(tǒng)，時間是其惟一個獨立變量(自變量)。這種直接方法，就相當于利用有限差分近似法給出偏微分方程組的離散解。元胞自動機方法對“基礎(chǔ)實體”類型和選用的變換規(guī)則沒有任何限制。它們可以描述：簡單有限差分模擬中態(tài)變量值的分布，混合算法的色問題，“教室里的兒童健康情況”，在任何變換條件下的模糊集合元素，以及元胞的初級生長與衰減過程等。,14,6.1基本原理,例如，用于計算高次多項式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯卡三角形，可以作為一維元胞自動機。其中規(guī)則三角晶格各個格座對應(yīng)的值，可通過在其上方的兩個數(shù)之和給出。在這種情況下、自動機的“基礎(chǔ)實體”是一些無量綱的整數(shù)，其變換定律是求和法則。,一維元胞自動機模型帕斯卡三角形示意圖,15,6.1基本原理,另一種自動機是由立方晶格組成的，這時每個點具有一種顏色，并能按照下述簡單的變換規(guī)則進行轉(zhuǎn)換：“如果某點有超過50的近鄰格點(座)是藍色，則該點就由原色變成紅色”；或者“當有超過75的近鄰格點是紅色時，那么所考察格點的顏色也轉(zhuǎn)換為紅色”。若要描述學校里孩子們之間的相互傳染問題，我們可以通過一個規(guī)則，亦即“如果一個教室里有50的孩子得病則該教室里其他所有孩子就被感染”，定義一個元胞自動機。為了使上述簡單唯象模型變得更加合理、真實、可信，應(yīng)該增加更多的變換規(guī)則。上面的例子可補充這樣的規(guī)則：“經(jīng)過一定數(shù)目的時間步之后，受感染的孩子已康復”或“每個孩子只能被感染一次等等。,16,6.1基本原理,元胞自動機并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各種有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。元胞自動機具有廣泛的適用性和多功能的特點，是離散計算方法的普遍化推廣。這種靈活適用性是基于這樣一個事實：除了采用簡明的數(shù)學表達式作為變量和變換規(guī)則之外，如果需要的話，自動機能夠包括任何元素或規(guī)則。,17,6.1基本原理,在材料科學中，有時對常規(guī)有限差分計算方法補充一些“如果就”規(guī)則可以為處理“數(shù)學上的奇點(即非光滑函數(shù)表述中的臨界或自發(fā)效應(yīng))問題提供了一種簡單有效的途徑。事實上，這些規(guī)則經(jīng)常出現(xiàn)在微結(jié)構(gòu)模擬中。例如，在離散位錯動力學模擬中，“如果兩個反平行螺位錯相互靠近到其間距小于5個伯格斯矢量時，它們就會自發(fā)湮沒”；在斷裂力學或彈簧模型中，會經(jīng)常包含這樣的規(guī)則：“如果裂紋速度達到某一個值，試驗樣品將自發(fā)損壞”；在重結(jié)晶模擬中，會經(jīng)常遇到這樣的規(guī)則：“如果晶體局城取向誤差達到某一個值，格座將滿足成核的動力學非穩(wěn)定性臨界條件?！被颉熬钟騼Υ娴膹椥阅苓_到某個臨界值，格座將滿足成核的熱力學非穩(wěn)定性條件”。,18,6.1基本原理,如果對主微分方程補充上述所說的“如果就”的變換規(guī)則，我們就可以對復雜系統(tǒng)的動力學行為特性進行模擬。通常而言，所考察粒子之間的局域相互作用是這一問題的根本基礎(chǔ)。盡管元胞自動機模擬一般是在基本尺度層次(例如原子、原子團簇、位錯段、亞晶粒)上完成的，但是作為對連續(xù)體空間進行離散化和映射處理的派生方法，本身不存在物理特征線度或時間刻度的內(nèi)秉標定問題。對連續(xù)體系統(tǒng)的元胞自動機模擬，需要定義相應(yīng)的基本單元和對應(yīng)的變換規(guī)則，以便恰當?shù)卣宫F(xiàn)系統(tǒng)在給定層次上的行為特性。,19,6.1基本原理,從物理角度看，分子動力學表示的是真正的微觀模型，而在使用元胞自動機方法時，并不局限任何特定體系，可適用于任何系統(tǒng)。與蒙特卡羅方法相比，由元胞自動機方法得到的平衡系綜的熱力學量，在物理上更缺少依據(jù)和基礎(chǔ)。由于這個原因，在進行元胞自動機計算機實驗之前，一個重要工作就是，檢驗基本模擬單元是否切實體現(xiàn)了“基礎(chǔ)物理實體”的特性。由于元胞自動機的應(yīng)用并不局限于微觀體系，所以它為在微結(jié)構(gòu)模擬中實現(xiàn)不同空間及時間尺度的方法之間的跨越，提供了一個非常方便的數(shù)值工具。,20,6.2CA在材料中的多面性,由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及變換規(guī)則時所展現(xiàn)的廣泛適用性和靈活性。元胞自動機方法在對由再結(jié)晶、晶粒生長及相變現(xiàn)象等形成的微結(jié)構(gòu)進行模擬時，表現(xiàn)出特有的多面性。例如，對于再結(jié)晶和晶粒生長，元胞自動機可以離散化方式同時描述局域結(jié)晶結(jié)構(gòu)及其形成過程。為了實現(xiàn)對這些特性的描述，一般是將局域晶體取向g、儲存的彈性能(即某種近似可測量，諸如位錯密度或局域泰勒因子M)以及溫度T作為態(tài)變量。這些變量都是因變量，也就是它們依賴于自變量，諸如空間坐標(x1，x2，x3)和時間t等。,21,6.2CA在材料中的多面性,就特定的研究對象，狀態(tài)參量應(yīng)包含在所使用的各種局域結(jié)構(gòu)演化定律之中。根據(jù)局域的信息、數(shù)據(jù)及變換規(guī)律，可以對諸如復原、成核及其生長等現(xiàn)象的機理結(jié)出相應(yīng)合理的唯象解釋。通過確定二維或三維空間格柵所對應(yīng)的態(tài)變量，元胞自動機模擬可以應(yīng)用于對微結(jié)構(gòu)的非均勻性質(zhì)的研究，其中包括諸如第二相、微帶、剪切帶、過渡帶、異相界面、晶界和孿晶等。這些局域性缺陷結(jié)構(gòu)，可以借助其態(tài)變量的相應(yīng)值或梯度值進行表述；用高位錯密度和大的局域晶格曲率表征剪切帶的特性。對于一個給定雜質(zhì)含量的晶界遷移率m，可以采用相鄰晶粒之間的取向偏差g和晶界法線的空間取向n來表征。,22,6.3元胞自動機的一般表述,在元胞自動機中，鄰接格座的局域相互作用，是通過一套確定性或概率件變換規(guī)則具體確定的。在時間(t+t)時，對應(yīng)于某特定格座的態(tài)變量值將由目前狀態(tài)(t0)(或最接近的幾個態(tài)t0，t0-t等)及其鄰近格點的狀態(tài)決定。若只考慮最鄰近的兩個時間步，則對于一維元胞自動機的演化來說，可以用公式寫成下式形式：表示在時間t0時對應(yīng)于結(jié)點j的態(tài)變量值；j+1和j-1表示格點j的兩個最近鄰結(jié)點。f具體指定了描述變換規(guī)則的函數(shù)。,(6.1),23,6.3元胞自動機的一般表述,幾種鄰接狀態(tài)馮諾伊曼鄰接結(jié)點狀態(tài)僅取決于最鄰近結(jié)點摩爾鄰接結(jié)點狀態(tài)取決于最鄰近結(jié)點和次鄰近結(jié)點擴展摩爾鄰接考慮兩層鄰近的元胞馬哥勒斯鄰接每次考慮一個22的元胞塊鄰接類型影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換速率和演化形態(tài)。,24,圖6.1馮諾依曼鄰接和摩爾鄰接,25,6.3元胞自動機的一般表述,對于擴展配置，一維情況下，考慮兩個鄰近時間步時的轉(zhuǎn)換規(guī)則可以寫為：其中n表示單位晶格元胞變換規(guī)則的作用范圍。,(6.2),26,6.3元胞自動機的一般表述,元胞自動機存在眾多可行的變換規(guī)則。馮諾伊曼鄰接的一維二進制元胞自動機，每一個時間步，即j=0或j=1，轉(zhuǎn)換規(guī)則采取的形式，其轉(zhuǎn)換規(guī)則有28個。其中之一,27,該轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞自動機方法中，一般采用數(shù)字編碼方式簡化表述相關(guān)變換規(guī)則。,28,6.3元胞自動機的一般表述,變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)計算得到，其中k為元胞的狀態(tài)數(shù)，n為包含芯元胞在內(nèi)的鄰近元胞的數(shù)目。對于具有摩爾鄰接的二維元胞自動機（n=9），假設(shè)每個元胞具有兩個可能的狀態(tài)，則該系統(tǒng)將具有229=262144個不同的轉(zhuǎn)變規(guī)則。,29,6.4元胞自動機的分類,沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動力學行為的差異將元胞自動機分為四類。(1)平穩(wěn)型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞空間趨于一個空間平穩(wěn)的獨一無二的構(gòu)形，這里空間平穩(wěn)即指每一個元胞處于固定狀態(tài)，不隨時間變化而變化。(2)周期型：產(chǎn)生周期性重復的短周期結(jié)構(gòu)，或者產(chǎn)生穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在這種元胞自動機中同時呈現(xiàn)出局部和整體的排列次序。這種自動機可以看作是一個濾波器（Filter），這來自于給定轉(zhuǎn)換規(guī)則的離散數(shù)據(jù)的本質(zhì)。在向空間中這種系統(tǒng)形成閉環(huán)。,30,6.4元胞自動機的分類,(3)混沌型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞自動機形成非周期的混沌結(jié)構(gòu)。至少在經(jīng)過一定的時間后，這種結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征與初始結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計特征大致相同。由第三種元胞自動機生成的結(jié)構(gòu)通常為自相似的分形排列。對于任意的初始配置，經(jīng)過大量的時間步后，這些結(jié)構(gòu)具有相同的統(tǒng)計特征。人們對這類自動機在幾何方面的應(yīng)用具有很大的興趣。這種自動機是最常用的一種元胞自動機。,31,6.4元胞自動機的分類,(4)復雜型：第四類元胞自動機產(chǎn)生穩(wěn)定的，周期性的，可以維持任意長時間的傳播結(jié)構(gòu)。一些元胞自動機在經(jīng)歷一定時間步以后衰退，即所有元胞的狀態(tài)變?yōu)榱?。一些第四類元胞自動機可以形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)。通過對這些恰當?shù)膫鞑ソY(jié)構(gòu)進行設(shè)置，可以得到具有任意循環(huán)長度的最終狀態(tài)。在演化過程中，第四類元胞自動機表現(xiàn)出高度的不可逆性。這種元胞自動機可以呈現(xiàn)出重要的局域排列。,32,6.5概率性元胞自動機方法,將確定性元胞自動機變?yōu)榉谴_定性的基本方法有兩種:第一種方法就是隨機地選擇所研究的晶格格點，而不是系統(tǒng)化地按順序選擇，但是要使用確定性變換規(guī)則；第二種方法就是用概率性變換代替確定性變換，但要系統(tǒng)地研究所有格點。主要討論第二種方法，并將之歸為概率性或隨機性元胞自動機。,33,6.5概率性元胞自動機方法,概率性元胞自動機，就其基本過程和要素方面而言，非常相似于普通的元胞自動機，只不過轉(zhuǎn)變規(guī)則由確定性的換成了隨機性的。設(shè)有N個格點組成一個一維鏈，其中每個格點有k個可能的狀態(tài)Sv=0,1,2,.,k-1。從而整個鏈共有kN個不同的排列方式。由（S1,S2,SN）描述的某給定晶格狀態(tài)用下式整數(shù)標記：,(6.3),34,6.5概率性元胞自動機方法,假設(shè)每個狀態(tài)i的存在概率為Pi。作為時間的函數(shù)的Pi(t)，按照其轉(zhuǎn)變概率以離散時間步t=0,1,2,的方式變換發(fā)展。如果只考慮鄰近的時間步(t-1)，這一規(guī)則可用下式給出：轉(zhuǎn)移概率Tij就表示由前一時刻的j狀態(tài)轉(zhuǎn)變到i狀態(tài)的概率。對于離散型元胞自動機方法，轉(zhuǎn)移矩陣Tij是由局部規(guī)則決定：,(6.4),(6.5),35,6.5概率性元胞自動機方法,和分別表示狀態(tài)j和i的格點變量；因而，變量的轉(zhuǎn)換只有其最近鄰及其自己的狀態(tài)有關(guān)。雖然概率性元胞自動機與Metropolis蒙特卡洛算法之間具有一定的相似性，但二者之間還是有差別的。這種差別主要表現(xiàn)在兩個方面：第一，蒙特卡洛方法每個時間步只更新一個格點，而概率元胞自動機像大多數(shù)自動機一樣，每次要全部一起更新；第二，元胞自動機沒有本征的長度或時間標度。元胞自動機的標定參數(shù)主要是由構(gòu)成物理模型的基礎(chǔ)來決定，而不是由所采用的元胞自動機算法來決定。,36,6.5概率性元胞自動機方法,元胞自動機與波茨蒙特卡羅自旋模型的區(qū)別：(1)元胞自動機對微觀體系不存在內(nèi)稟標度，如果選擇合適的基礎(chǔ)單元，并且建立與場變量相匹配的代數(shù)、微分或積分方程，那么元胞自動機可以用于任意空間和時間尺度上的問題處理。蒙特卡羅方法對于微觀體系是有內(nèi)稟標度的。(2)在蒙特卡羅方法中，廣義自旋格座是隨機抽樣順序考察的，而元胞自動機則是同步一起更新。(3)元胞自動機比多態(tài)波茨模型使用了更多的確定性或概率性變換規(guī)則。,37,6.6非平衡現(xiàn)象的模擬,6.6.1熱力學模擬在金屬的熱變形過程中，會發(fā)生諸如再結(jié)晶、連續(xù)與非連續(xù)型晶粒生長和不連續(xù)沉淀等非平衡轉(zhuǎn)變現(xiàn)象和微結(jié)構(gòu)瞬態(tài)問題。按照微結(jié)構(gòu)的觀點，這些轉(zhuǎn)變現(xiàn)象都是由于高角晶界的運動引起的。由于吉布斯自由焓存在梯度，原子或原子團將從一個晶粒越遷轉(zhuǎn)移到其鄰近晶粒。對同相界面，其凈驅(qū)動壓強,(6.6),38,6.6.1熱力學模擬,在實際材料中，各種貢獻都將影響到局域自由焓的值。(1)在冷加工金屬中，位錯密度的增加對所儲存的彈性能的貢獻，在對驅(qū)動壓強中占最大的份額。是界面兩邊的位錯密度差；為各向同性極限下的體剪切模量；b表示伯格矢量的大小。如果將存在于元胞壁的位錯(w)和元胞內(nèi)的位錯(i)的貢獻分別表述。,(6.7),(6.8),w只能用亞晶粒尺寸D和亞晶粒壁的界面能sub表述,39,6.6.1熱力學模擬,(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強或毛細壓強的貢獻。對于常見的晶粒粒度分布和球形晶粒為23的常數(shù)；為界面能；1/R為曲率。對于薄膜，還有來自表面能梯度的貢獻：式中，B表示薄膜寬度；h為膜厚；代表表面能變化量。,(6.9),(6.10),40,6.6.1熱力學模擬,(3)在過飽和態(tài)，對驅(qū)動壓強還有一項化學貢獻。其對應(yīng)的轉(zhuǎn)變稱為非連續(xù)沉淀。kB為波耳茲曼常數(shù)；為原子體積；T1為（數(shù)值）實驗中的實際溫度；T0為相應(yīng)于T1時過飽和濃度的平衡溫度；c0為濃度。,(6.11),41,6.6.1熱力學模擬,(4)其他因素對總壓強的貢獻在總的驅(qū)動壓強中，還要考慮冷加工或硬化金屬間化合物中由于損失長程有序而產(chǎn)生的貢獻。更進一步還應(yīng)當考慮來自于磁性、彈性及溫度場等梯度的貢獻，但是這類貢獻在實際應(yīng)用中意義不大。(5)可能的反驅(qū)動力雜質(zhì)阻力以及在有序化合金中高角晶界運動在遠處產(chǎn)生疇的結(jié)構(gòu)。,42,6.6.2動力學模擬,為使原級再結(jié)晶能夠啟動，要在熱力學、力學和動力學方面有一定的不穩(wěn)性。第一類不穩(wěn)定性就是成核，第二類就是有凈驅(qū)力，第三類就是高角晶界的運動。在再結(jié)晶過程中，主要是非均勻成核。可能成核的格點所處的區(qū)域應(yīng)該具有非常高的位錯密度和較小的子晶粒尺寸，以及具有較大的局域晶格取向偏差。例如：剪切帶、微帶、遷移帶、存在高角晶界、在沉淀周圍的形變區(qū)等。,43,6.6.2動力學模擬,采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴散過程，則用于描述界面運動的對稱速率方程可以寫為：表示界面速度；vD是德拜頻率；gb表示通過界面時的跳變寬度；c表示平面內(nèi)自擴散截體缺陷的固有濃度（如晶界空位或源的重組）；n表示晶界片的法向矢量；Gt是與轉(zhuǎn)變有關(guān)的吉布斯焓;kB為波耳茲曼常數(shù);T為絕對溫度。,(6.12),44,6.6.2動力學模擬,將焓、熵及驅(qū)動壓強帶入式（6.12），則有：p為驅(qū)動力（如儲存的彈性能或界面曲率）；為原子體積；Sf表示形成熵；Hf表示形成焓；Sm表示運動熵；Hm表示運動焓。,(6.13),45,6.6.2動力學模擬,Sf主要是振動熵，而Sm包含有組態(tài)和振動兩者的貢獻，則式（6.13）變?yōu)?考慮到雙曲函數(shù)中的是個小量,(6.14),(6.15),46,6.6.2動力學模擬,晶界遷移率實驗數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯象表達式：式中，m表示遷移率，Qgb表示晶界運動的激活能。比較式（6.15）和式（6.16）兩式中的系數(shù)，則有：晶界運動的經(jīng)典動力學圖像。,(6.16),(6.17),47,6.6.2動力學模擬,在原級再結(jié)晶的初級階段，局域復原過程促進了晶核的形成。在其最后階段，位錯湮滅及重新排列將引起所儲存能量的不斷降低，從而使局域驅(qū)動力明顯減小，最終導致再結(jié)晶速度減慢。(t)是作為時間t的函數(shù)的位錯密度，0表示形變后的位錯密度，為弛豫時間。,(6.18),48,6.6.3確定性元胞自動機解法,冷加工金屬中原級再結(jié)晶模擬的確定性元胞自動機方法。假定成核和新結(jié)晶晶粒長大所需驅(qū)動力均來源于局域位錯密度的梯度；并且當有碰撞時生長終止。起始數(shù)據(jù)應(yīng)包括格柵幾何參數(shù)和態(tài)變量取值等信息，例如，溫度、成核概率、晶界遷移率、位錯密度和晶體取向。這些數(shù)據(jù)必須能夠描述作為空間函數(shù)的初始微結(jié)構(gòu)的主要特征。原級再結(jié)晶的物理過程：復原、成核和晶核生長。,49,6.6.3確定性元胞自動機解法,(1)復原階段位錯密度與驅(qū)動力相聯(lián)系并對成核速度有潛在的影響。在簡單的有限差分公式中，因子f與弛豫時間、溫度T和時間ti有關(guān)。(2)在成核階段各元胞或元胞團簇由變形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樵俳Y(jié)晶狀態(tài)。,(6.19),50,6.6.3確定性元胞自動機解法,根據(jù)所構(gòu)造模型的物理基礎(chǔ)，相對周圍的形變基體，其晶核取向可有三種情況：即相同取向相似取向（g15o）不同取向（g15o）相同或相似取向的晶核只能存在于高角晶界，而當取向偏差明顯不同時晶粒會生長進入近鄰晶粒。把這些反映晶粒取向特性的臨界條件，以及產(chǎn)生的晶核應(yīng)與基體有相似取向的規(guī)則結(jié)合起來，就相當于給出一個取向成核的假說。,51,6.6.3確定性元胞自動機解法,(3)生長階段在生長階段，對于每個晶?？蓤?zhí)行一個循環(huán)，這個循環(huán)遍及所有屬于目標晶粒表面的元胞，可以確定表面元胞與其非再結(jié)晶近鄰元胞兩者結(jié)晶取向偏差g和溫度T的函數(shù)。在原級晶界的情況下，局域驅(qū)動力取決于非再結(jié)晶元胞的實際位錯密度。驅(qū)動力和遷移率決定著晶界運動的速度；晶界速度即是指在單個時間增量內(nèi)的生長量。,52,6.6.4概率性元胞自動機解法,在概率性元胞自動機方法中，通過采用權(quán)重隨機抽樣方案把確定性積分用統(tǒng)計積分代替，為此，必須把式（6.15）或式（6.16）分解成確定性部分和概率性部分w，即有：其中為晶界速度，并且;,(6.20),(6.21),53,6.6.4概率性元胞自動機解法,模擬應(yīng)是在空間網(wǎng)格上進行，其給定標度m大于原子尺度。如果有轉(zhuǎn)變現(xiàn)象發(fā)生，則晶粒將按生長（或收縮），而不是b3，為了校正標定尺度根據(jù)m及時間標度（1/v）可知，對統(tǒng)計積分施加這樣一個頻率是不合適的。利用沖擊頻率v0把上述方程歸一化,(6.22),(6.23),54,6.6.4概率性元胞自動機解法,其中由網(wǎng)格大小及選取的沖擊頻率決定；由溫度及實驗輸入數(shù)據(jù)決定。例如，晶界特征性質(zhì)依賴于取向偏差和平面傾角，驅(qū)動力取決于所存儲的彈性能和局域曲率。,(6.24),55,6.7CA方法在材料科學中的應(yīng)用,6.7.1再結(jié)晶的模擬(1)動態(tài)再結(jié)晶過程HY-100鋼的顯微組織轉(zhuǎn)變MQian等采用動態(tài)再結(jié)晶(DRX)的原理和元胞自動機（CA）的方法建立的模型，對HY-100鋼的顯微組織轉(zhuǎn)變和塑性流變特征進行了模擬。動態(tài)再結(jié)晶的理論模型為只有當位錯密度或應(yīng)變達到臨界值時，再結(jié)晶才能發(fā)生，其中臨界值是與溫度和應(yīng)變速率有關(guān)的。初始顯微組織按正常的晶粒長大的算法構(gòu)建的，初始的晶粒與基體的取向是在01800