高等數(shù)學上冊第五章ppt課件

.,5.1定積分概念與性質(zhì),二、定積分定義,三、定積分的性質(zhì),一、定積分問題舉例,.,二、定積分定義,定積分的定義,在小區(qū)間xi1xi上任取一點i(i12n),maxx1x2xn,記xixixi1(i12n),ax0x1x2xn1xnb,在區(qū)間ab內(nèi)插入分點:,設函數(shù)f(x)在區(qū)間ab上有界,如果當0時上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間ab的分法和i的取法無關則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間ab,下頁,.,定積分各部分的名稱積分符號f(x)被積函數(shù)f(x)dx被積表達式x積分變量a積分下限b積分上限a,b積分區(qū)間,積分和,定積分的定義,二、定積分定義,下頁,.,函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在ab上的定積分存在我們就說f(x)在區(qū)間ab上可積,定理1設f(x)在區(qū)間ab上連續(xù)則f(x)在ab上可積定理2設f(x)在區(qū)間ab上有界且只有有限個間斷點則f(x)在ab上可積,定積分的定義,二、定積分定義,下頁,.,定積分的幾何意義,當f(x)0時f(x)在ab上的定積分表示由曲線yf(x)、兩條直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積,當f(x)0時f(x)在ab上的定積分表示由曲線yf(x)、兩條直線xa、xb與x軸所圍成的圖形面積的負值,這是因為,下頁,.,三、定積分的性質(zhì),兩點規(guī)定,下頁,.,三、定積分的性質(zhì),下頁,.,注值得注意的是不論abc的相對位置如何上式總成立,三、定積分的性質(zhì),下頁,.,三、定積分的性質(zhì),下頁,.,推論1,如果在區(qū)間ab上f(x)g(x)則,這是因為g(x)f(x)0從而,如果在區(qū)間ab上f(x)0則,性質(zhì)5,下頁,.,這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|所以,推論1,如果在區(qū)間ab上f(x)g(x)則,如果在區(qū)間ab上f(x)0則,性質(zhì)5,下頁,.,推論1,如果在區(qū)間ab上f(x)g(x)則,如果在區(qū)間ab上f(x)0則,性質(zhì)5,性質(zhì)6設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間ab上的最大值及最小值則,下頁,.,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)則在積分區(qū)間ab上至少存在一個點使下式成立,性質(zhì)7(定積分中值定理),積分中值公式,結束,.,5.2微積分基本公式,積分上限的函數(shù)及其導數(shù),牛頓萊布尼茨公式,.,二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù),積分上限的函數(shù),定理1(積分上限函數(shù)的導數(shù)),下頁,.,定理2(原函數(shù)存在定理),首頁,.,例1、求下列函數(shù)的導數(shù)。,.,變限積分求導,.,練習,.,練習,求下列極限,.,三、牛頓萊布尼茨公式,定理3(牛頓萊布尼茨公式),若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間ab上的一個原函數(shù)則,下頁,.,下頁,.,例4.計算其中,.,5.3定積分的換元法和分部積分法,一、定積分的換元法,二、定積分的分部積分法,換元積分法,分部積分法,定積分,換元積分法,分部積分法,不定積分,.,一、定積分的換元法,假設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),函數(shù)x(t)滿足條件:(1)(a)a,()b;(2)(t)在,(或,)上具有連續(xù)導數(shù),且其值域不越出a,b,則有,定理(換元積分法),下頁,.,說明:,1)當,即區(qū)間換為,定理1仍成立.,3)換元公式也可反過來使用,即,配元不換限,2)必需注意換元必換限,原函數(shù)中的變量不必代回.,.,例1.計算,.,提示,提示,換元一定要換積分限不換元積分限不變,下頁,.,討論,例5證明若f(x)在aa上連續(xù)且為偶函數(shù)則,下頁,.,計算：,.,二、定積分的分部積分法,設函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導數(shù),分部積分過程,由(uv)uvuv,得uv(uv)uv,等式兩端在區(qū)間ab上積分得,這就是定積分的分部積分公式,下頁,.,例：計算（1）,分部積分過程,（2）,.,練習（1）,分部積分過程,（2）,（3）,.,5.4反常積分,一、無窮限的反常積分,二、無界函數(shù)的反常積分,.,一、無窮限的反常積分,定義(無窮限的反常積分),在反常積分的定義式中如果極限是存在的則稱此反常積分收斂否則稱此反常積分發(fā)散,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上的反常積分定義為,類似地連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(b上和在區(qū)間()的反常積分定義為,下頁,.,反常積分的計算,如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則有,可采用如下簡記形式,一、無窮限的反常積分,定義(無窮限的反常積分),連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上的反常積分定義為,下頁,.,類似地有,反常積分的計算,如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則有,一、無窮限的反常積分,定義(無窮限的反常積分),連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上的反常積分定義為,下頁,.,下頁,.,首頁,.,二、無界函數(shù)的反常積分,無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分,如果函數(shù)f(x)在點x0的任一鄰域內(nèi)都無界那么點x0稱為函數(shù)f(x)的瑕點(也稱為無界間斷點),定義(無界函數(shù)反常積分),設函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab上連續(xù)點a為f(x)的瑕點.函數(shù)f(x)在(ab上的反常積分定義為,在反常積分的定義式中如果極限是存在的則稱此反常積分收斂否則稱此反常積分發(fā)散,下頁,.,函數(shù)f(x)在ac)(cb上(c為瑕點)的反常積分定義為,類似地函數(shù)f(x)在ab)上(b為瑕點)的反常積分定義為,二、無界函數(shù)的反常積分,定義(無界函數(shù)反常積分),設函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab上連續(xù)點a為f(x)的瑕點.函數(shù)f(x)在(ab上的反常積分定義為,下頁,.,反常積分的計算,如果F(x)為f(x)的原函數(shù),可采用簡記形式,則f(x)在(ab上的反常積分為,二、無界函數(shù)的反常積分,定義(無界函數(shù)反常積分),設函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab上連續(xù)點a為f(x)的瑕點.函數(shù)f(x)在(ab上的反常積分定義為,下頁,.,提問f(x)在ab)上和在ac)(cb上的反常積分如何計算？如何判斷反常積分的斂散性？,反常積分的計算,如果F(x)為f(x)的原函數(shù),則f(x)在(ab上的反常積分為,二、無界函數(shù)的反常積分,定義(無界函