第04講邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)

第4講,課時(shí)授課計(jì)劃課程內(nèi)容,內(nèi)容：邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法目的與要求：掌握卡諾圖的填寫(xiě)方法；掌握最小項(xiàng)的卡諾圖表示；熟練運(yùn)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)；用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)；具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。難點(diǎn)：卡諾圖填寫(xiě)；具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)。復(fù)習(xí)（提問(wèn)）：邏輯函數(shù)的幾種表示方法的相互轉(zhuǎn)換。,邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn),卡諾圖適合于化簡(jiǎn)變量數(shù)小于5的邏輯函數(shù)。1卡諾圖的結(jié)構(gòu),2變量邏輯函數(shù)的方格表示,卡諾圖：每個(gè)小方格表示了函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，每相鄰小方格的變量組合之間只有一個(gè)變量不同。在畫(huà)卡諾圖時(shí)，通常將原變量用“1”表示，反變量用“0”表示，將變量組合標(biāo)注在大方格的左上角，在大方格的左邊和上邊標(biāo)注變量組合的取值，小方格中只需標(biāo)出對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)的編號(hào)就行了。,演示,15變量邏輯函數(shù)的卡諾圖,n變量的函數(shù)有2n個(gè)最小項(xiàng)，卡諾圖上有2n個(gè)小方格，每個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)最小項(xiàng)與之相鄰。由于兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同且互為反變量，因而兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并后可以消去一個(gè)變量。也就是說(shuō)卡諾圖上兩個(gè)相鄰的小方格合并可以消去一個(gè)變量；四個(gè)相鄰的小方格合并可以消去二個(gè)變量；八個(gè)相鄰的小方格合并可以消去三個(gè)變量；十六個(gè)相鄰的小方格合并可以消去四個(gè)變量；。這就是用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理。,2.卡諾圖上最小項(xiàng)的相鄰性,1）幾何相鄰2）相對(duì)相鄰3）重疊相鄰,3.卡諾圖的填寫(xiě)方法,1.函數(shù)為最小項(xiàng)表達(dá)式因?yàn)闃?gòu)成函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)，其邏輯取值都是使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)，所以填寫(xiě)卡諾圖時(shí)，在構(gòu)成函數(shù)的每個(gè)最小項(xiàng)相應(yīng)的小方格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是說(shuō)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填1的那些最小項(xiàng)之和。,演示,例1.作出邏輯函數(shù)F（A,B,C,D）=m（1,3,6,7）對(duì)應(yīng)的卡諾圖。解：先作一個(gè)4變量的卡諾圖，在編號(hào)為1、3、6、7的小方格中填寫(xiě)1，其余小方格中填寫(xiě)0，得到邏輯函數(shù)F（A,B,C,D）=m（1,3,6,7）的卡諾圖如下。,2.函數(shù)為最大項(xiàng)表達(dá)式因?yàn)橄嗤幪?hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系，所以使函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)的編號(hào)與構(gòu)成函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式中的那些最大項(xiàng)編號(hào)相同，按這些最大項(xiàng)的編號(hào)向卡諾圖的相應(yīng)小方格中填上0，其余方格上填上1即可。例2.作出函數(shù)F（A,B,C,D）=M（3,4,8,9,11,15）對(duì)應(yīng)的卡諾圖。解：先作一個(gè)4變量的卡諾圖，在編號(hào)為3、4、8、9、11、15的小方格中填寫(xiě)0，其余小方格中填寫(xiě)1，得到邏輯函數(shù)F（A,B,C,D）=M（3,4,8,9,11,15）的卡諾圖如下。,3.函數(shù)為任意與或表達(dá)式首先分別將每個(gè)與項(xiàng)的原變量用1表示，反變量用0表示，在卡諾圖上找出交叉小方格并填寫(xiě)1，沒(méi)有交叉點(diǎn)的小方格填寫(xiě)0即可。例3.作出函數(shù)F(A,B,C,D)=AB+BC+CD對(duì)應(yīng)的卡諾圖。,4.函數(shù)為任意或與表達(dá)式對(duì)于任意的或與表達(dá)式，只要當(dāng)任意一項(xiàng)的或項(xiàng)為0時(shí)，函數(shù)的取值就為0。要使或項(xiàng)為0，只須將組成該或項(xiàng)的原變量用0、反變量用1代入即可。故填寫(xiě)方法是：首先將每個(gè)或項(xiàng)的原變量用0、反變量用1代入，在卡諾圖上找出交叉小方格并填寫(xiě)0；然后在其余小方格上填寫(xiě)1即可。,例4.作出函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖。,4.卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),一般規(guī)則：2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)構(gòu)成的一個(gè)矩形框可合并為一項(xiàng)，該項(xiàng)僅含有這些最小項(xiàng)中的公共因子，其余n對(duì)以原變量和反變量形式出現(xiàn)的因子均可消去?？ㄖZ圈包含值為1的最小項(xiàng)的數(shù)目必須是2n（n=1，2，3）。,主要項(xiàng)：把2n個(gè)為1的相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行合并，若卡諾圈不能再擴(kuò)大，則圈得的合并與項(xiàng)稱(chēng)為主要項(xiàng)。必要項(xiàng)：若主要項(xiàng)圈中至少有一個(gè)為1的“特定”最小項(xiàng)沒(méi)有被其它主要項(xiàng)所覆蓋，則稱(chēng)此主要項(xiàng)為必要項(xiàng)或?qū)嵸|(zhì)主要項(xiàng)。最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的與項(xiàng)都是必要項(xiàng)。冗余項(xiàng)：若主要項(xiàng)圈中不包含有為1的“特定”最小項(xiàng)，或者說(shuō)它所包含為1的最小項(xiàng)均已被其它的主要項(xiàng)圈所覆蓋，則稱(chēng)其為冗余項(xiàng)或多余項(xiàng)。,卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)可按下列步驟進(jìn)行：將邏輯函數(shù)用卡諾圖表示出來(lái)。首先圈出沒(méi)有相鄰最小項(xiàng)的孤立的值為1的最小項(xiàng)方格，這是一個(gè)主要項(xiàng)。找出只有一種合并可能的值為1的最小項(xiàng)方格，從它出發(fā)將所有為1的相鄰最小項(xiàng)按2的整數(shù)次冪為一組構(gòu)成卡諾圈，所有圈中必須至少有一個(gè)為1的最小項(xiàng)方格沒(méi)有被圈過(guò)，并使所有的圈盡可能大。寫(xiě)出最簡(jiǎn)的函數(shù)表達(dá)式。,演示1,演示2,基本步驟圖示,邏輯表達(dá)式或真值表,卡諾圖,1,1,合并最小項(xiàng),圈越大越好，但每個(gè)圈中標(biāo)的方格數(shù)目必須為個(gè)。同一個(gè)方格可同時(shí)畫(huà)在幾個(gè)圈內(nèi)，但每個(gè)圈都要有新的方格，否則它就是多余的。不能漏掉任何一個(gè)標(biāo)的方格。,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,冗余項(xiàng),2,2,3,3,將代表每個(gè)圈的乘積項(xiàng)相加,兩點(diǎn)說(shuō)明：,在有些情況下，最小項(xiàng)的圈法不只一種，得到的各個(gè)乘積項(xiàng)組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個(gè)是最簡(jiǎn)的，要經(jīng)過(guò)比較、檢查才能確定。,不是最簡(jiǎn),最簡(jiǎn),在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡(jiǎn)形式。即一個(gè)函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式不是唯一的。,用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)舉例,例1.化簡(jiǎn)函數(shù)F(A,B,C,D)=m(3,4,5,7,9,13,14,15)。,解：首先作出邏輯函數(shù)F的卡諾圖如下：,例2.化簡(jiǎn)函數(shù)F(A,B,C,D)=m(2,3,5,7,8,10,12,13)。,解：首先作出邏輯函數(shù)F的卡諾圖如下：,可見(jiàn)，函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不具有唯一性，函數(shù)表示的唯一性?xún)H在最大項(xiàng)表達(dá)式或最小表達(dá)式中才具有。,5.具有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn),任意項(xiàng)（無(wú)關(guān)最小項(xiàng)）：不決定函數(shù)的值的最小項(xiàng)。從定義可以看出，與任意項(xiàng)對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值既可以看成1，也可以看成0。因此在卡諾圖或真值表中，任意項(xiàng)常用或d或來(lái)表示；在函數(shù)表達(dá)式中常用或d來(lái)表示任意項(xiàng)。如：F(A,B,C)=m(0,1,5,7)+d(4,6)化簡(jiǎn)具有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的步驟是：畫(huà)出函數(shù)對(duì)應(yīng)的卡諾圖，任意項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方格填上或d或。按2的整數(shù)次冪為一組構(gòu)成卡諾圈，如果任意項(xiàng)方格為1時(shí)可以圈得更大，則將任意項(xiàng)當(dāng)作1來(lái)處理，否則當(dāng)0處理。未被圈過(guò)的任意項(xiàng)一律當(dāng)作0處理。寫(xiě)出化簡(jiǎn)的表達(dá)式。,演示,例1化簡(jiǎn)函數(shù)F(A,B,C,D)=m(5,6,7,8,9)+(10,11,12,13,14,15)解：作出邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)的卡諾圖如下。若將任意項(xiàng)全部看作為1來(lái)處理，卡諾圈構(gòu)成如圖a）所示，函數(shù)化簡(jiǎn)為：,a）b）,若將任意項(xiàng)全部看作為0來(lái)處理，卡諾圈構(gòu)成如圖b）所示，函數(shù)化簡(jiǎn)為：,6.多輸出邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn),關(guān)鍵：充分利用各函數(shù)間可供共享的部分。,衡量多輸出邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)：邏輯表達(dá)式中包含的不同的“與項(xiàng)”總數(shù)最少。在“與項(xiàng)”總數(shù)最少的前提下，各不同“與項(xiàng)”中所包含的變量總數(shù)最少。,例1.化簡(jiǎn)下列兩輸出的