角和角的比較知識歸納及經(jīng)典習題

角（基礎）知識講解【高清課堂：角 角的概念】要點一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經(jīng)過的平面部分是角的內部如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點詮釋：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角1.下列語句正確的是 ( C ) A兩條直線相交，組成的圖形叫做角 B兩條具有公共端點的線段組成的圖形叫做角 C兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角 D過同一點的兩條射線組成的圖形叫做角【答案】【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結升華】角不能僅僅看作是有公共端點的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個重要元素，即兩條射線間的相對位置關系，這是角與“有公共端點的兩條射線”的重要區(qū)別舉一反三：【變式】判斷下列說法是否正確 (1)兩條射線組成的圖形叫做角 ( ) (2)平角是一條直線 ( ) (3)周角是一條射線 ( )2.角的表示法：角的幾何符號用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母寫出圖中(1)能用一個字母表示的角；(2)以B為頂點的角； (3)圖中共有幾個角(小于180). 【答案與解析】 解：(1)能用一個字母表示的角A、C (2)以B為頂點的角ABE、ABC、CBE (3)圖中共有7個角【總結升華】(1)頂點處只有一個角時，才可以用一個字母表示； (2)一般數(shù)角時不包括平角和大于平角的角已知：如圖，在AOE的內部從O引出3條射線，求圖中共有多少個角？如果引出99條射線，則有多少個角？分析：在AOE的內部從O點引出3條射線，那么在圖形中，以O為端點的射線共5條。其中，任意一條射線與其他4條射線都必構成一個角（小于平角的角）。數(shù)角的時候要按一定的順序，從OE邊開始數(shù)，這樣可得到4+3+2+1個角，所以，這5條射線共組成角的個數(shù)為10個角。公式為：。同理，如果引出99條射線，那么，以O為頂點的射線共101條，構成的角的個數(shù)為5050個。已知：如圖，在AOE的內部從O引出3條射線，求圖中共有多少個角？如果引出99條射線，則有多少個角？分析：在AOE的內部從O點引出3條射線，那么在圖形中，以O為端點的射線共5條。其中，任意一條射線與其他4條射線都必構成一個角（小于平角的角）。數(shù)角的時候要按一定的順序，從OE邊開始數(shù)，這樣可得到4+3+2+1個角，所以，這5條射線共組成角的個數(shù)為10個角。公式為：。同理，如果引出99條射線，那么，以O為頂點的射線共101條，構成的角的個數(shù)為5050個。3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角用量角器量角和畫角的一般步驟：對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))（3）角的和、差關系：利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關系，還可以畫出15，75，105，120，135，150，165的角要點四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的方向是北偏東60；射線OB的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60”一般不說成“東偏北30”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點A看B的方向是北偏東30，那么B看A的方向是( ) A南偏東60 B南偏西60 C南偏東30 D南偏西30【答案】D【解析】依題意畫出示意圖由圖可知，圖中1即表示從A看B的北偏東30，2是從B看A的方位角由此可確定從B看A是南偏西30【總結升華】從本例的分析與結果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程，其方向是一種“相反”的對應關系方位角的確定首先以什么點為基點（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30的方向走了1000米到達小軍家，此時小王家在小軍家的_方向【答案】北偏西30要點五、鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30的角，分針1分鐘轉6，時針每小時轉30，時針1分鐘轉0.5，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題4時15分時針與分針的夾角.【答案與解析】 如圖（1），AOC30130， BOC0.5157.5 所以AOB37.5 即4時15分時針與分針的夾角為37.5【總結升華】求鐘表中時針與分針的夾角有兩種方法：第一種方法利用時針與分針的每分鐘轉速求解，比如解法一；第二種方法直接根據(jù)圖形求夾角，如解法二舉一反三：【變式】2時48分時針與分針的夾角【答案】 解法2：如圖(2) BOD304120， COD2612， AOB480.524， 所以AOCBOD+COD+AOB156即2時48分時針與分針的夾角為156要點二、角的比較與運算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點詮釋：在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位 (1)把25.72分別用度、分、秒表示 (2)把451230化成度【思路點撥】第(1)題中25.72中含有兩部分25和0.72，只要把0.72化成分、秒即可第(2)題中，451230含有三部分45，12和30，其中45已經(jīng)是度，只要把12和30化成度即可【答案與解析】解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，所以25.72254312 (2)， 所以45123045.21【總結升華】無論由高級單位向低級化還是由低級單位向高級化，都必須逐級進行，“越級”化單位容易出錯舉一反三：【變式】 (1)把26.29轉化為度、分、秒表示的形式； (2)把332436轉化成度表示的形式【答案】 (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24261724(2)33243633+24+3633+24+0.633+24.633+24.633.41【總結升華】在角度的和、差運算中應先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進行計算。3、已知：A=5024，B=50.24，C =501424”，那么下列各式正確的是（ ）A、ABC B、AB=C C、BCA D、B=CA2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較如比較AOB和AOB的大?。?如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-24.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =AOB要點詮釋：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣如圖所示，已知OC平分BOD，且BOC20，OB是AOD的平分線，求AOD的度數(shù)【答案與解析】解：因為OC平分BOD，且BOC20， 所以BOD2BOC=22040 又OB是AOD的平分線， 所以AOD2BOD24080【總結升華】應用角的平分線的定義時根據(jù)兩點：若OB是AOC的平分線，則AOBBOCAOC；AOC2AOB2BOC，在解題時要學會靈活應用舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是AOB的平分線，ON是BOC的平分線，AOC=80，求：MON. 【答案】OM平分AOB，ON平分COB，MOB=AOB，BON=BOC.(角平分線的定義)MON=MOB+BON =AOB+BOC=(AOB+BOC) =AOC=80=40 .即MON=40.圖中，AOB=BOC=COD=DOE，則有（1） =4AOB （2） = =3BOC（3） = = =1/2AOE（4） = =COE=1/2 =2/3 =2/3 如圖，已知AOB90，BOC30，OM平分AOC，ON平分BOC。（1）求MON的度數(shù)；（2）如果已知中AOB80，其他條件不變，求MON的度數(shù)；（3）如果已知中BOC60，其他條件不變，求MON的度數(shù)；（4）從（1）、（2）、（3）中你能看出有什么規(guī)律？（1）因OM平分AOC，所以MOCAOC。又ON平分BOC，所以NOCBOC。所以MONMOCNOCAOCBOCAOB。而AOB90，所以MON45。（2）當AOB80，其他條件不變時，MON8040。（3）當BOC60，其他條件不變時，MON45。（4）分析（1）、（2）、（3）的結果和（1）的解答過程可知：MON的大小總等于AOB的一半，而與銳角BOC的大小變化無關