2019年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題及答案.pdf

2019 北京東城區(qū)高三 上 期末 數(shù)學(xué) 理 本試卷共 4 頁 共 150 分 考試時長 120 分鐘 考生務(wù)必將答案答在答題卡上 在試卷上作答無效 考試結(jié) 束后 將答題卡一并交回 第一部分 選擇題共 40 分 一 選擇題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 在每小題列出的四個選項(xiàng)中 選出符合題目要求的一項(xiàng) 1 已知集合 20 2 1 0 1 2 AxxB 則AB A 2 1 B 2 0 C 1 0 D 2 1 0 2 下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是 A 2 1i B 2 ii C 1 1 i D 2 1 i 3 下列函數(shù)中 是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是 A 3 yxx B 2 logyx C 2 23yx D 2 y x 4 執(zhí)行如圖所示的程序框圖 若輸入的5 3nm 則輸出的p值為 A 360 B 60 C 36 D 12 5 5 12 m 是 函數(shù) cos 2 6 f xx 的圖象關(guān)于直線xm 對稱 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 6 某三棱錐的三視圖如圖所示 在此三棱錐的六條棱中 最長棱的 長度為 A 2 B 5 C 2 2 D 3 7 在極坐標(biāo)系中 下列方程為圓 2sin 的切線方程的是 A cos2 B 2cos C cos1 D sin1 8 地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量 地震釋放的能量E 單位 焦耳 與地震里氏震級M之間的關(guān)系為 lg4 8 1 5EM 已知兩次地震的里氏震級分別為8 0級和7 5級 若它們釋放的能量分別為 1 E和 2 E 則 1 2 E E 的值所在的區(qū)間為 A 1 2 B 5 6 C 7 8 D 15 16 第二部分 非選擇題共 110 分 二 填空題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 若 x y滿足 2 2 3 x yx xy 則2xy 的最小值為 22 10 1 2 3 0 3 xy m mm 已知雙曲線的一個焦點(diǎn)為 則 11 若等差數(shù)列 n a和等比數(shù)列 n b滿足 11 1 2ab 32 1ab 試寫出一組滿足條件的數(shù)列 n a和 n b的通項(xiàng)公式 n a n b 12 在菱形ABCD中 若3BD 則CB DB 的值為 13 函數(shù) sin cos 63 f xxx 在區(qū)間 2 6 3 上的最大值為 14 已知函數(shù) f x定義域?yàn)镽 設(shè) 1 1 1 f f xf x Fx f x 若 2 2 1 x f x x 則 1 f F 若 e1 ax f x 且對任意x R f Fxf x 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 三 解答題共 6 小題 共 80 分 解答應(yīng)寫出文字說明 演算步驟或證明過程 15 本小題 13 分 在 ABC中 2 sincossin cABaC 求B 的大小 2 cosABCaA 若的面積為 求的值 16 本小題 13 分 某中學(xué)有學(xué)生 500 人 學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時間 從中隨機(jī)抽取了 50 名學(xué)生 獲得了他們某一個月 課外閱讀時間的數(shù)據(jù) 單位 小時 將數(shù)據(jù)分為 5 組 10 12 12 14 14 16 16 18 18 20 整理 得到如圖所示的頻率分布直方圖 求頻率分布直方圖中的x的值 試估計該校所有學(xué)生中 課外閱讀時間不小于 16 小時的學(xué)生人數(shù) 已知課外閱讀時間在 10 12 的樣本學(xué)生中有 3 名女生 現(xiàn)從閱讀時間在 10 12 的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 人 記X為抽到女生的人數(shù) 求X的分布列與數(shù)學(xué)期望 E X 17 本小題 14 分 如圖 1 在四邊形ABCD中 ADBC 2BCAD E F 分別為 AD BC的中點(diǎn) AEEF 2AFAE 將四邊形ABFE沿EF折起 使平面ABFE 平面EFCD 如 圖 2 G是BF的中點(diǎn) 證明 ACEG 在線段BC上是否存在一點(diǎn)H 使得DH平 面ABFE 若存在 求 BH BC 的值 若不存在 說明理由 求二面角DACF 的大小 18 本小題 13 分 已知函數(shù) 2 e2 x f xaxxx 當(dāng)1a 時 求曲線 yf x 在點(diǎn) 0 0 f處的切線方程 當(dāng)0 x 時 若曲線 yf x 在直線yx 的上方 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 19 本小題 13 分 已知橢圓 22 2 1 2 xy C a 過點(diǎn) 2 1 P 求橢圓C的方程 并求其離心率 過點(diǎn)P作x軸的垂線l 設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上 點(diǎn)A不在直線l上 點(diǎn)A關(guān)于l的對稱 點(diǎn)為 A 直線A P 與C交于另一點(diǎn)B 設(shè)O為原點(diǎn) 判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系 并說明理由 20 本小題 14 分 對給定的d N 記由數(shù)列構(gòu)成的集合11 1 nnn daaaadn N 若數(shù)列 2 n a 寫出 3 a的所有可能取值 對于集合 d 若2d 求證 存在整數(shù)k 使得對 d中的任意數(shù)列 n a 整數(shù)k不是數(shù)列 n a中的 項(xiàng) 已知數(shù)列 n a n b d 記 n a n b的前n項(xiàng)和分別為 nn AB 若 11nn ab 求證 nn AB 數(shù)學(xué)試題答案 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 4 10 3 11 2n 答案不唯一 12 3 2 13 3 14 1 2 ln2 三 解答題 共 6 小題 共 80 分 三 解答題 共 6 小題 共 80 分 15 共 13 分 解 sin2 sinsincos sin2 ABC aC cAaCB cA 在 中 由正弦定理得所以 0B 又 4 B 所以 5 分 2 1 sin 2 2 24 S ABCacaca 因?yàn)榈拿娣e所以 222 2 822 2 5 2 baaaaba 由余弦定理所以 222 583 10 cos 10252 2 aaa A aa 所以 13 分 16 共 13 分 解 由0 0520 0820 1020 12221x 可得0 15x 3 分 0 1020 0520 30 即課外閱讀時間不小于 16 個小時的學(xué)生樣本的頻率為0 30 5000 30150 所以可估計該校所有學(xué)生中 課外閱讀時間不小于 16 個小時的學(xué)生人數(shù)為 150 6 分 課外閱讀時間在 10 12 的學(xué)生樣本的頻率為0 0820 16 500 168 即閱讀時間在 10 12 的學(xué)生樣本人數(shù)為 8 8 名學(xué)生為 3 名女生 5 名男生 隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0 1 2 3 3 5 3 8 5 0 28 C P X C 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C 21 35 3 8 15 2 56 C C P X C 3 3 3 8 1 3 56 C P X C 所以X的分布列為 X 0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 故X的期望 5151519 0123 282856568 E X 13 分 17 共 14 分 解 在圖 1 中 2 AEEF AFAE 可得 AEF為等腰直角三角形 AEEF 因?yàn)锳DBC 所以 EFBF EFFC 因?yàn)槠矫鍭BFE 平面 EFCDEF且兩平面交于 CFCDEF 平面 所以CFABFE 平面 又EGABFE 平面 故CF EG 由G為中點(diǎn) 可知四邊形AEFG為正方形 AFEG 所以 又AFFCF EGAFC 所以平面 ACAFC 又平面 ACEG 所以 4 分 II 由 知 FE FC FB兩兩垂直 Fxyz 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)1FE 則 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1 0 FCBD HBC設(shè)是線段上一點(diǎn) 0 1 BHBC 則存在使得 0 2 22 1 21 22 HDH 因此點(diǎn) 0 2 0 FCABFEFC 由 知為平面的法向量 DHABFE 因?yàn)槠矫?0DHABFEDH FC 所以平面當(dāng)且僅當(dāng) 1212 2 0 2 0 0 即 1 2 解得 1 2 BH BCHDHABFE BC 所以在線段上存在點(diǎn)使得平面此時 9 分 III 1 0 1 1 0 0 0 0 1 AEG設(shè) 由 I 可得 1 0 1 EGAFCEG 是平面的法向量 0 1 1 1 1 0 ADCD 設(shè)平面ACD的法向量為 x y z n 由 0 0 AD CD n n 0 0 yz xy 即 1 1 1 xyz 令則 1 1 1 于是n cos 0 EG EG EG 所以 n n n 所以二面角90 DACF 的大小為 14 分 18 共 13 分 解 當(dāng)1a 時 2 e2 x f xxxx 所以 e 1 22 x fxxx 0 1 f 又因?yàn)?0 0f 所以曲線 yf x 在點(diǎn) 0 0 f處的切線方程為yx 4 分 當(dāng)0 x 時 曲線 yf x 在直線yx 的上方 等價于 2 e2 x axxxx 恒成立 即 0 x 時 e10 x ax 恒成立 由于e0 x 所以等價于當(dāng)0 x 時 1 ex x a 恒成立 令 1 0 ex x g xx 則 ex x g x 當(dāng)0 x 時 有 0 g x 所以g x 在區(qū)間 0 單調(diào)遞減 1 0 1 0 0 1 ex x gg xx 故是在區(qū)間上的最大值從而對任意恒成立 綜上 實(shí)數(shù)a的取值范圍為 1 13 分 19 共 13 分 解 由橢圓方程 22 2 1 21 2 xy C a 過點(diǎn) 可得 2 8a 所以橢圓C的方程為 22 1 82 xy 離心率 63 22 2 e 4 分 直線AB與直線OP平行 證明如下 設(shè)直線 12PA yk x 12PB yk x AABB AxyBxy設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 由 22 1 82 21 xy ykxk 得 222 418 1 2 161640 kxkk xkk 2 222 8 1 2 16 1 2 882 2 2 414141 AA kkkkkk xx kkk 則 同理 2 2 88k 2 41 B k x k 所以 2 16k 41 AB xx k 21 AA ykxk 由 21 BB ykxk 2 8 4 41 ABAB k yyk xxk k 有 因?yàn)锳在第四象限 所以0k 且A不在直線OP上 1 2 1 2 AB AB AB opABOP yy k xx kkk 又故 所以直線AB與直線OP平行 13 分 20 共 14 分 解 由于數(shù)列 2 n a 即2d 1 1 a 由已知有 21 123aad 所以 2 3a 322 2aada 將 2 3a 代入得 3 a的所有可能取值為5 1 1 5 4 分 先應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 1 nn adamdm Z若數(shù)列則具有的形式 當(dāng)1n 時 1 01ad 因此1n 時結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)nk k N 時結(jié)論成立 即存在整數(shù) 0 m 使得 00 1 k am d 成立 當(dāng)1nk 時 100000 1 1 1 k am ddmd 10 1 1 k amd 或 10 1 1 k amd 所以當(dāng)1nk 時結(jié)論也成立 由 可知 若數(shù)列 n ad n na N對任意 具有1 mdm Z的形式 由于 n a具有1 mdm Z的形式 以及2d 可得 n a不是d的整數(shù)倍 故取整數(shù)kd 則整數(shù)k均不是數(shù)列 n a中的項(xiàng) 9 分 由 1nn aad 可得 222 1 2 nnn aaa dd 所以