（新課改地區(qū)）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評十七導(dǎo)數(shù)的存在性問題新人教B版.docx

核心素養(yǎng)測評十七 導(dǎo)數(shù)的存在性問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若存在正實數(shù)x使ex(x2-a)1成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,+)B.(0,+)C.(-2,+)D.-1,+)【解析】選A.存在正實數(shù)x使ex(x2-a)x2-在區(qū)間(0,+)上有解,令f(x)=x2-,f(x)=2x+0,所以f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)=-1,又ax2-在區(qū)間(0,+)上有解,所以a(-1,+).2.(多選)若函數(shù)f(x)=6xex-2ax3-3ax2存在三個極值點,則a的取值可能為()A.1B.2C.3D.4【解析】選CD.由題意得:f=6ex+6xex-6ax2-6ax=6,可知x=-1為f的一個零點.若f存在三個極值點,則只需ex-ax=0有兩個不等實根,且兩實根均不等于-1,即g=ex與h=ax有兩個橫坐標(biāo)不等于-1的交點,當(dāng)h與g相切時,設(shè)切點坐標(biāo)為:,g=a,又=a,所以x0=1,a=e,由圖象可知:a時,ex-ax=0有兩個不等實根,且兩實根均不等于-1.所以若f存在三個極值點,則a,故C D正確.3.已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=ln x+,對aR,b(0,+),f(a)=g(b),則b-a的最小值為()A.-1B.1-C.2-1D.1+【解析】選D.設(shè)f(a)=g(b)=t,t(0,+),可得a=,b=,令h(t)=b-a=-,t(0,+),則 h(t)=-,令h(t)=0,得t=,由于h(t)=-是增函數(shù),所以t時,h(t)0,因此h(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而h(t)的最小值為h=1+.4.(2020重慶模擬)若函數(shù)f(x)=ex在(0,1)內(nèi)存在極值點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,-1 D.-1,0)【解析】選A.函數(shù)f(x)=ex,定義域為x|x0,f(x)=ex+xex-=,因為f(x)在(0,1)內(nèi)存在極值點,則f(x)=0的實數(shù)根在(0,1)內(nèi),即x3+x2-ax+a=0的實數(shù)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),令g(x)=x3+x2-ax+a,可知,函數(shù)g(x)=x3+x2-ax+a在(0,1)內(nèi)存在零點,討論a:a=0時,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上無零點.a0時,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a0,無零點.a0時,g(0)=a0,在(0,1)上有零點.所以實數(shù)a的取值范圍是a0,得x2;F(x)0,得0x2,所以F(x)在1,2上遞減,在2,3上遞增,F(1)=3,F(2)=3-ln 2,F(3)=-ln 3.作出函數(shù)F(x)圖象,如圖.作直線y=m,平移可知當(dāng)3-ln 2m-ln 3時符合題意,所以實數(shù)m的取值范圍是(3-ln 2,-ln 3.答案:(3-ln 2,-ln 37.(2020重慶模擬)已知函數(shù)f=x2-2ln x.則函數(shù)f在x上的值域為_;若存在x1,x2,xn,使得f+f+ff成立,則n的最大值為_.(其中自然常數(shù)e=2.718 28)【解析】f=2x-=,令f=0,得x=1(舍去負(fù)根),所以x時,f0,f單調(diào)遞增.故f=f=1,又因為f=+23,5.29=2.72-2f=e2-22.82-2=5.84,故f=f=e2-2,故x時,f.所以有ff=e2-2,故要使f+f+ff成立,且n的值最大,則f,f,f每個的函數(shù)值應(yīng)最小,即x1=x2=xn-1=1,f=f=f=1,從而得到fff=e2-2,所以ne2-17,所以n的最大值為6.答案:68.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2在(-1,1)上沒有最小值,則a的取值范圍是_.【解析】f(x)=x(3x-2a),令f(x)=0,解得:x=0或x=,(-,-1即a-時,f(x)在(-1,0)上遞減,在(0,1)上遞增,此時x=0時,f(x)取最小值,舍去,-10時,f(x)在上遞增,在上遞減,在(0,1)上遞增,由題意f(x)在(-1,1)上沒有最小值,則,解得:-1a0,當(dāng)a=0時,f(x)在(-1,1)上顯然沒有最小值,成立,當(dāng)01時,f(x)在(-1,0)上遞增,在上遞減,在上遞增,由題意f(x)在(-1,1)上沒有最小值,則,解得:0a-1.答案:(-1,+)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)=ex(a+ln x),其中aR.(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線y=-垂直,求a的值.(2)記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x).當(dāng)a(0,ln 2)時,證明:g(x)存在極小值點x0,且f(x0)0,所以g(x)與a+-+ln x同號.設(shè)h(x)=a+-+ln x,則h(x)=.所以對任意x(0,+),有h(x)0,故h(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.因為a(0,ln 2),所以h(1)=a+10,h=a+ln 0,故存在x0,使得h(x0)=0.g(x)與g(x)在區(qū)間上的情況如下:xx0(x0,1)g(x)-0+g(x)極小值所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,1)上單調(diào)遞增.所以若a(0,ln 2),存在x0,使得x0是g(x)的極小值點.令h(x0)=0,得到a+ln x0=,所以f(x0)=(a+ln x0)=0,令f(x)=0,得x=,所以當(dāng)x(0,)時,有f(x)0,則(,+)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)x(1,e)時,函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(,e)上單調(diào)遞增;又因為f(1)=,f(e)=e2-30,f()=(1-ln 3)0,bR).(1)若存在正數(shù)a,使f(x)0恒成立,求實數(shù)b的最大值.(2)設(shè)a=1,若g(x)=xex-2x-f(x)沒有零點,求實數(shù)b的取值范圍.【解析】(1)因為f(x)=ln x-ax+ab,所以f(x)=-a=-,所以y=f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以f(x)max=f=-ln a-1+ab.所以存在正數(shù)a,使ab1+ln a成立,即存在正數(shù)a,使得b成立.令h(x)=,x(0,+),因為h(x)=-,所以y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減.所以h(x)max=h(1)=1,所以b1.故b的最大值為1.(2)因為a=1,所以f(x)=ln x-x+b.所以g(x)=xex-x-ln x-b.所以g(x)=(x+1).令x0(0,1),使得=.兩邊取自然對數(shù),得x0=-ln x0,所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+)上單調(diào)遞增.由題設(shè)可知,要使函數(shù)g(x) 沒有零點,則要g(x)min=g(x0)0即可,g(x0)=x0-x0+x0-b=1-b0,所以b0恒成立,又由g(x)=2e2x-aex-a2=,若a=0,則g(x)=e2x0,g(x)無零點,f(x)無好點.若a0,由g(x)=0,得x=ln a.當(dāng)x(-,ln a)時,g(x)0,所以g(x)在(-,ln a)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln a時,g(x)取最小值g(ln a)=-a2