§11.5 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).doc

11.5 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)如果在處具有任意階的導(dǎo)數(shù)，我們把級(jí)數(shù) (1)稱之為函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)。它的前項(xiàng)部分和用記之，且這里：由上冊(cè)中介紹的泰勒中值定理，有當(dāng)然，這里是拉格朗日余項(xiàng)，且。由有。因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)就是它的另一種精確的表達(dá)式。即這時(shí)，我們稱函數(shù)在處可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，這時(shí)，我們稱函數(shù)可展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)。將函數(shù)在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，可通過(guò)變量替換，化歸為函數(shù) 在 處的麥克勞林展開(kāi)。因此，我們著重討論函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)?！久}】函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式是唯一的。證明：設(shè)在的某鄰域內(nèi)可展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，有把代入上式，有從而 于是，函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式其形式為這就是函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式。這表明，函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)形式只有麥克勞林展開(kāi)式這一種形式。二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1、直接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)可按如下幾步進(jìn)行求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)及函數(shù)值若函數(shù)的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)不能展開(kāi)；寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)并求其收斂半徑?？疾飚?dāng)時(shí)，拉格朗日余項(xiàng)當(dāng)時(shí)，是否趨向于零。若，則第二步寫(xiě)出的級(jí)數(shù)就是函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式；若，則函數(shù)無(wú)法展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)?！纠?】將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)。解：于是得麥克勞林級(jí)數(shù) 而 故 對(duì)于任意 ，有這里是與無(wú)關(guān)的有限數(shù)， 考慮輔助冪級(jí)數(shù)的斂散性。 由比值法有故輔助級(jí)數(shù)收斂，從而一般項(xiàng)趨向于零，即 因此 ，故【例2】將函數(shù)在處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。解：于是得冪級(jí)數(shù) 容易求出，它的收斂半徑為 對(duì)任意的，有由例一可知，故 因此，我們得到展開(kāi)式2、間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式以及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)( 如：加減，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)求積)將所給函數(shù)展開(kāi)?！纠?】將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解：對(duì)展開(kāi)式兩邊關(guān)于逐項(xiàng)求導(dǎo)， 得【例4】將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)。解：而 將上式從到逐項(xiàng)積分得當(dāng)時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。故 下面，我們介紹十分重要牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式【例5】將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)。解：于是得到冪級(jí)數(shù)因此，對(duì)任意實(shí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂。下面，我們證明，該冪級(jí)數(shù)收斂的和函數(shù)就是函數(shù)。設(shè)上述冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為，即 兩邊同乘以因子，有即 引入輔助函數(shù) 因此，在內(nèi)，我們有展開(kāi)式注記在區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性，要看實(shí)數(shù)的取值而定，這里，我們不作進(jìn)一步地介紹。若引入廣義組合記號(hào) ，牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式可簡(jiǎn)記成最后，我們舉一個(gè)將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)形式的例子?！纠?】將函數(shù)展開(kāi)成的