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3 4生活中的優(yōu)化問題舉例 生活中經常遇到求利潤最大 用料最省 效率最高等問題 這些問題稱為優(yōu)化問題 優(yōu)化問題有時也稱為最值問題 解決這些問題具有非常重要的現(xiàn)實意義 一般地 函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 在某個區(qū)間 a b 內 如果 那么函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內單調遞增 如果 那么函數(shù)y f x 在這個區(qū)間內單調遞減 知識回顧 2 一般地 求函數(shù)y f x 的極值的方法是 解方程 當時 1 如果在附近的左側f x 0 右側f x 0 那么是極大值 口訣 左負右正為極小 左正右負為極大 1 導數(shù)的單調性 重點 能從實際問題的不同情景出發(fā) 建立與之相對應的函數(shù)關系 難點 對問題深入細致的分析 完成數(shù)模轉換 教學重 難點 學?；虬嗉壟e行活動 通常需要張貼海報進行宣傳 現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報 要求版心面積為128dm2 上下兩邊各空2dm 左 右兩邊各空1dm 如何設計海報的尺寸 才能使四周空白面積最小 例1 海報版面設計 解 設版心的高為xdm 則版心的寬為dm 此時四周空白面積為 求導數(shù) 得 當x 0 16 時 當x 16 時 因此 x 16是函數(shù)S x 的極小值點 也是最小值點 所以 當版心高為16dm 寬為8dm時 能使四周空白面積最小 令解得x 16 x 16舍去 于是寬為 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料 瓶子的制造成本是分 其中r 單位 cm 是瓶子的半徑 已知每售出1mL的飲料 制造商可獲利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm 那么瓶子半徑多大時 能使每瓶飲料的利潤最大和最小 例2 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 解 由于瓶子的半徑為r 所以每瓶飲料的利潤是 令 我們不用導數(shù)工具 直接從函數(shù)的圖象上觀察 你能發(fā)現(xiàn)什么 從圖象上容易看出 當r 3時 f 3 0 即瓶子的半徑是3cm時 飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等 當r 3時 利潤才為正值 這是一個典型的數(shù)學建模過程 利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路 建立數(shù)學模型 解決數(shù)學模型 作答 溫馨提示 用導數(shù)解決實際問題 要特別注意在實際問題中變量的取值范圍 解決優(yōu)化問題的一般步驟 1 審題 2 建模 3 解模 4 回歸 課堂小結 實際問題轉化數(shù)學模型 求解數(shù)學問題 數(shù)學結果還原到實際問題之中 解決優(yōu)化問題的步驟 課堂練習 從長8cm 寬5cm的矩形薄鐵板的四角剪去相等的正方形 做一個無蓋的箱子 問剪去的正方形邊長為多少時 箱子容積最大 最大容積是多少 8cm 5cm x 解 設剪去的正方形的邊長為xcm 則箱子容積為 令 得 舍

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