高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不等式的證明

6.2 不等式的證明（一）知識(shí)梳理1.均值定理：a+b2；ab（）2（a、bR+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2.比較法：ab0ab，ab0ab.3.作商法：a0，b0，1ab.特別提示1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號(hào)，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件，若1不能推出ab.這里要注意a、b兩數(shù)的符號(hào).點(diǎn)擊雙基1.若a、b是正數(shù)，則、這四個(gè)數(shù)的大小順序是A.B.C.D.解析：可設(shè)a=1，b=2，則=，=，=，=.答案：C2.設(shè)0x1，則a=x，b=1+x，c=中最大的一個(gè)是A.aB.bC.cD.不能確定解析：0x1，1+x2=.只需比較1+x與的大小.1+x=0，1+x.答案：C3.若a、b、c是常數(shù)，則“a0且b24ac0”是“對(duì)任意xR，有ax2+bx+c0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件必要條件解析：當(dāng)a0，b24ac0時(shí)，ax2+bx+c0.反之，ax2+bx+c0對(duì)xR成立不能推出a0，b24ac0.反例：a=b=0，c=2.故選A.答案：A4.（理）已知|a+b|c（a、b、cR），給出下列不等式：abc；ab+c；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序號(hào)都填上）解析：|a+b|c，ca+bc.b+cabc.故成立，不成立.|a+b|c，|a+b|a|b|，|a|b|c.|a|b|c.故成立，不成立.答案：（文）若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中一定成立的是_.解析：a2+32a=（a1）2+20，a2+32a；a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2）=（a2b2）（a3b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.（ab）20，a2+ab+b20，但a+b符號(hào)不確定，a5+b5a3b2+a2b3不正確；aR時(shí)，a+2不正確.答案：5.船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關(guān)系為_.解析：設(shè)甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2v0），則船在流水中在甲乙間來(lái)回行駛一次的時(shí)間t=+=，平均速度v1=.v1v2=v2=0，v1v2.答案：v1v2典例剖析【例1】 設(shè)a0，b0，求證：（）（）a+b.剖析：不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式，故可用比差法證明或比商法證明.證法一：左邊右邊（）0.原不等式成立.證法二：左邊0，右邊0，1.原不等式成立.評(píng)述：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判斷三個(gè)步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過(guò)程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應(yīng)用.【例2】 已知a、b、x、yR+且，xy.求證：.剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合.證法一：（作差比較法）=，又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即.證法二：（分析法）x、y、a、bR+，要證，只需證明x（y+b）y（x+a），即證xbya.而由0，ba0.又xy0，知xbya顯然成立.故原不等式成立.思考討論該例若用函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)如何構(gòu)造函數(shù)?解法一：令f（x）=，易證f（x）在（0，+）上為增函數(shù)，從而.再令g（x）=，易證g（x）在（0，+）上單調(diào)遞減.，a、bR+.ab.g（a）g（b），即，命題得證.解法二：原不等式即為，為此構(gòu)造函數(shù)f（x）=，x（0，+）.易證f（x）在（0，+）上為單調(diào)增函數(shù)，而，即.【例3】 某食品廠定期購(gòu)買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.（1）求該廠多少天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?（2）若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210 t時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠（即原價(jià)的90%），問(wèn)該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉，其購(gòu)買量為6x t，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x+6（x1）+62+61=9x（x+1）.設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y1=9x（x+1）+900+61800=+9x+108092+10809=10989.當(dāng)且僅當(dāng)9x=，即x=10時(shí)取等號(hào)，即該廠應(yīng)每隔10天購(gòu)買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.（2）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天，購(gòu)買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則y2=9x（x+1）+900+618000.90=+9x+9729（x35）.令f（x）=x+（x35），x2x135，則f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+）=x2x135，x2x10，x1x20，100x1x20.f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），即f（x）=x+，當(dāng)x35時(shí)為增函數(shù).當(dāng)x=35時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)y210989.該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.設(shè)x0，y0，且xy（x+y）=1，則A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y（+1）2D.x+y（+1）2解析：x0，y0，xy（）2.由xy（x+y）=1得（）2（x+y）1.x+y2+2.答案：B2.已知x、yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關(guān)系是A.MNB.MNC.M=ND.不能確定解析：MN=x2+y2+1（x+y+xy）=（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）=（xy）2+（x1）2+（y1）20.答案：A3.設(shè)a0，b0，a2+=1，則a的最大值是_.解析：a2+=1a2+=.a=a=.答案：4.若記號(hào)“”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即ab=，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“”和“+”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個(gè)等式可以是_.解析：ab=，ba=，ab+c=ba+c.答案：ab+c=ba+c.思考：對(duì)于運(yùn)算“”分配律成立嗎?即a（b+c）=ab+ac.答案：不成立5.當(dāng)mn時(shí)，求證：m3m2n3mn22m2n6mn2n3證明：（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）m33m2n3mn2n3（mn）3，又mn，mn0.（mn）30，即（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）0.故m3m2n3mn22m2n6mn2n36.已知a1，0，求證：loga（a+）loga+（a+2）.證明：loga（a+）log（a+）（a+2）=a1，0，lga0，lg（a+2）0，且lgalg（a+2）.lgalg（a+2）（）2=22=lg2（a+）.0.loga（a+）log（a+）（a+2）.培養(yǎng)能力7.已知x0，y0，若不等式+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.分析：+m恒成立，m恒成立.m的最小值就是的最大值.解：+m恒成立，m恒成立.x0，y0，=.=.m的最小值為.評(píng)述：分離參數(shù)法是求參數(shù)的范圍問(wèn)題常用的方法，化歸是解這類問(wèn)題常用的手段.8.有點(diǎn)難度喲！求證：在非RtABC中，若ab，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+hab+hb.證明：設(shè)S表示ABC的面積，則S=aha=bhb=absinC.ha=bsinC，hb=asinC.（a+ha）（b+hb）=a+bsinCbasinC=（ab）（1sinC）.C，1sinC0.（ab）（1sinC）0.a+hab+hb.探究創(chuàng)新9.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的兩根x1、x2滿足1x1x2.（1）當(dāng)x（0，x1）時(shí)，證明xf（x）x1；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，求證x0.證明：（1）令F（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，F(xiàn)（x）=a（xx1）（xx2）.當(dāng)x（0，x1）時(shí)，由于x1x2，（xx1）（xx2）0.又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）.又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）x1.綜上，可知xf（x）x1.（2）由題意知x0=.x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根，x1+x2=.x0=.又ax21，x0=.思悟小結(jié)1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì).2.步驟是：作差（商）變形判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關(guān)系，為了便于判斷，往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關(guān)系.3.有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用.4.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握.2.對(duì)于公式a+b2，ab（）2要講清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.拓展題例【例1】設(shè)a、bR，關(guān)于x的方程x2axb0的實(shí)根為、.若ab1，求證：1，1.證法一：a，b，ab1.1，（1）（1）0.1.同理，1.證法二：設(shè)f（x）=x2axb，則有f（1）1ab1（ab）110，f（1）1ab1（ab）0.0a1，1a1.方程f（x）0的兩實(shí)根在（1，1）內(nèi)，即1，1.評(píng)述：證法一先利用韋達(dá)定理，再用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)恰好