奧數(shù)中的和差問題

和差問題、和倍問題、差倍問題一、和差問題：已知兩個(gè)數(shù)的和與差，求出這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和差應(yīng)用題。基本數(shù)量關(guān)系是：（和差） 2大數(shù)（和差） 2小數(shù)解答和差應(yīng)用題的關(guān)鍵是選擇合適的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)法把若干個(gè)不相等的數(shù)變?yōu)橄嗟鹊臄?shù)，某些復(fù)雜的應(yīng)用題沒有直接告訴我們兩個(gè)數(shù)的和與差，可以通過轉(zhuǎn)化求它們的和與差， 再按照和差問題的解法來解答。例 1：有甲乙兩堆煤，共重52 噸，已知甲比乙多4 噸，兩堆煤各重多少噸？分析：根據(jù)公式，我們要找出兩個(gè)數(shù)的和與差，就能解決問題。由題意：堆煤共重52噸知：兩數(shù)和是52 ；甲比乙多 4 噸知：兩數(shù)差是4。甲的煤多，甲是大數(shù)，乙是小數(shù)。故解法如下：甲：（ 52+4 ）2=28 （噸）乙： 28-4=24 （噸）例 2：兩只籠子里共有15 只雞，從甲籠提出3 只后，甲籠比乙籠還多2 只，兩只籠子原來各有多少只雞？分析：從題意知：甲比乙多5 只，所以，兩數(shù)和是15，兩數(shù)差是5.甲是大數(shù)。甲：（ 15+5 ）2=10 （只）乙：15-10=5 （只）練習(xí)：1、兩堆石子共有800 噸，第一堆比第二堆多200 噸，兩堆石子各有多少噸？精品資料2、黃茜和胡敏兩人今年的年齡是 23 歲，4 年后，黃茜比胡敏大3 歲，問黃茜和胡敏今年各是多少歲？3、把長(zhǎng) 84 厘米的鐵絲圍成一個(gè)使長(zhǎng)比寬多6 厘米的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)和寬各是多少厘米？二、和倍問題已知兩個(gè)數(shù)的和，又知兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少，這類問題稱為和倍問題。解決和倍問題的基本方法：將小數(shù)看成1 份，大數(shù)是小數(shù)的n 倍，大數(shù)就是n 份， 兩個(gè)數(shù)一共是n+1 份 ?；緮?shù)量關(guān)系：小數(shù)=和（n+1 ）大數(shù)=小數(shù)倍數(shù)或和-小數(shù)=大數(shù)例 1 ：甲班和乙班共有圖書160 本，甲班的圖書是乙班的3 倍，甲乙兩班各有圖書多少本？分析：從題目中知，乙班的圖書數(shù)較少，故乙是小數(shù)，占1 份，甲占 (3+1) 份。乙： 160 (3+1)=40 （本）甲： 160-40=120 （本）例 2：果園里有梨樹和桃樹共165 棵，桃樹棵數(shù)比梨樹棵數(shù)的2 倍少 6 棵，梨樹和桃樹各多少棵？分析：由題意，桃樹增加6 棵，桃樹正好是梨樹的2 倍，這時(shí)總數(shù)就是：165+6=171 ，這樣就轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)和倍問題，將梨樹看成1 份，一共是3 份。梨樹的棵數(shù)： 171 3=57 ，求桃樹的棵數(shù)時(shí)要減去6 棵。桃樹： 171-57-6=108梨樹：（ 165 ）（2+1 ）=57（棵）桃樹： 171-57-6=108 （棵） 練習(xí)：1、 小明和小強(qiáng)共有圖書120 本，小明的圖書是小強(qiáng)的2 倍，他們兩人各有圖書多少本？2、 果園里一共有桃樹和杏樹340 棵，其中桃樹比杏樹的3 倍多 20 棵，兩種樹各種了多少棵？3、 甲倉(cāng)庫存糧104 噸，乙倉(cāng)庫存糧140 噸，要使倉(cāng)庫的存糧是乙倉(cāng)庫的3 倍，那么必須人乙倉(cāng)庫運(yùn)出多少噸放入甲倉(cāng)庫？4、 一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是是30 厘米，長(zhǎng)是寬的2 倍，求長(zhǎng)方形的面積是多少？三、差倍問題已知兩個(gè)數(shù)的差，并且知道兩個(gè)數(shù)倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)，這樣的問題稱為差倍問題。解決差倍問題的基本方法：設(shè)小是1 份，如果大數(shù)是小數(shù)的n 倍，根據(jù)數(shù)量關(guān)系知道大數(shù)是 n 份，又知道大數(shù)與小數(shù)的差，即知道n-1 份是幾，就可以求出1 份是多少?；緮?shù)量關(guān)系：小數(shù)=差(n-1)大數(shù)=小數(shù)n或大數(shù)=差+小數(shù)例 1：一張桌子的價(jià)格是一把椅子的3 倍，購(gòu)買一張桌子比一把椅子貴60 元。問桌椅各多少元？分析：桌子的價(jià)格與椅子的價(jià)格的差是60，將椅子看成小數(shù)占1 份，桌子占 3 份，份數(shù)差為 3-1，根據(jù)數(shù)量關(guān)系：椅子的價(jià)格： 60 （3-1 ）=30 （元） 桌子的價(jià)格： 30+60=90 （元）例 2：兩筐重量相同的蘋果，甲筐賣出7 千克，乙筐賣出19 千克后，甲筐剩余的蘋果是乙筐的 3 倍，原來兩筐各有蘋果多少千克？分析：兩筐蘋果的重量相同，故兩筐賣出的數(shù)量差即是原來蘋果的數(shù)量差。兩筐蘋果的差為 19-7=12 （千克），將乙筐看成1 份，甲筐為 3 份，份數(shù)差為2.乙筐現(xiàn)有蘋果：（ 19-7 ）（3-1 ）=6 （千克） 乙筐原來有： 6+19=25 （千克）甲筐原來有25 千克。練習(xí)：1、甲桶酒是乙桶酒重量的5 倍，如從甲桶中取出20 千克到入乙桶，那么兩桶酒重量相等。兩桶酒原來各多少千克？2、六、一班有花盆的數(shù)量是六、二班的3 倍，如果六、一班再購(gòu)買20 個(gè)花盆后， 兩班花盆數(shù)相等，兩班原有花盆多少個(gè)？作業(yè)：1、甲、乙兩桶油共重100 千克，從甲桶中取出5 千克放入乙桶中，此時(shí)兩桶油正好相等。求兩桶油原來各有多少千克？2、甲、乙兩箱洗衣粉共有90 袋，如果從甲箱中取出4 袋放入乙箱中，則兩箱中洗衣粉的袋數(shù)相等。求原來兩箱洗衣粉各有多少袋？3、 劉曉每天早晨沿長(zhǎng)和寬相差40 米的操場(chǎng)跑步，每天跑6 圈，共跑2400 米，問這個(gè)操場(chǎng)的面積是多少平方米？4、 小強(qiáng)今年15 歲，小亮今年9 歲。幾年前小強(qiáng)的年齡是小亮的3 倍？5、有兩段一樣長(zhǎng)的繩子，第一根剪去21 米，第二根剪去13 米后是第一根剩下的 3 倍，兩根繩子原來有多長(zhǎng)？6、老貓和小貓去釣雨，老貓釣的魚是小貓的3 倍，如果老貓給小貓3 條后，小貓比老貓還少2 條。兩只貓各釣了多少條魚？7、 學(xué)校今年參加科技興趣小組的人數(shù)比去年多41 人，今年人數(shù)比去年的3 倍 少35 人，今年有多少人？和倍問題和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例 1甲班和乙班共有圖書160 本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3 倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1 份，則甲班圖書為乙班的3 倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4 倍.還可以理解為4 份的數(shù)量是160 本，求出 1 份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班： 160 （ 3+1）=40 （本） 甲班： 40 3=120 （本）或160-40=120 （本）答：甲班有圖書 120 本，乙班有圖書 40 本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是 160 本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)， 看是不是等于 3 倍. 如果與條件相符， 表明這題作對(duì)了 .注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。驗(yàn)算： 120 40=160 （本） 120 40=3 （倍）。例 2甲班有圖書120 本，乙班有圖書30 本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的 2 倍？分析解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出， 不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不 變的量. 最后要求甲班圖書是乙班圖書的2 倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的 3 倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。解：甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30 120=150 （本）甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：2 13（倍）乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150 3=50 （本）甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20 （本） 綜合算式：（30 120 ）（2+1 ）=50 （本）50-30=20 （本）答：甲班給乙班20 本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2 倍 。驗(yàn)算：（ 120-20 ）（30+20 ） 2（倍）（120-20 ）+（30+20 ） 150（本）。例 3光明小學(xué)有學(xué)生760 人，其中男生比女生的3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？分析把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3 倍還少 40 人，如果用男、女生人數(shù)總和760 人再加上 40 人，就等于女生人數(shù)的4 倍（見下圖）。解：女生人數(shù)：（760 40 ）（ 31 ）=200 （人）男生人數(shù)： 200 3-40=560（人）或760-200=560 （人）答：男生有560 人，女生有200人。驗(yàn)算： 560 200=760 （人）（560+40 ）200=3 （倍）。例 4果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552 棵.桃樹比梨樹的2 倍多 12 棵，蘋果樹比梨樹少 20 棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析下圖可以看出桃樹比梨樹的2 倍多 12 棵，蘋果樹比梨樹少20 棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、 作為 1 份數(shù)容易解答 .又知三種樹的總數(shù)是552 棵 . 如果給蘋果樹增加20 棵，那么就和梨樹同樣多了；再?gòu)奶覙淅餃p少12 棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2 倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560 （棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4 倍。解：梨樹的棵數(shù)：（552 20-12 ）（112）=560 4=140 （棵）桃樹的棵數(shù)：140 212=292（棵）蘋果樹的棵數(shù)：140-20=120（棵）答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292 棵、140 棵和 120 棵。例 5 549 是甲、乙、丙、丁4 個(gè)數(shù)的和 .如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2， 丁數(shù)除以 2 以后，則 4 個(gè)數(shù)相等 .求 4 個(gè)數(shù)各是多少？分析上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2 和丁數(shù)除以 2 相等，也就是丙數(shù)的 2 倍和丁數(shù)的一半相等， 即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4 倍.乙減 2 之后是丙的2 倍，甲加上2 之后也是丙的2 倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：丙數(shù)是：（549 2-2 ）（2214）=549 9=61甲數(shù)是： 61 2-2=120乙數(shù)是： 61 2 2=124丁數(shù)是： 61 4=244驗(yàn)算： 120+124 61+244=549120 2=122 124-2=122612122 244 2 122答：甲、乙、丙、丁分別是120 、124 、61 、244.差倍問題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問題具體、形象，使我們能比較順利地解答此類應(yīng)用題 .下面我們?cè)賮硌芯颗c “ 和倍” 問題有相似之處的“差倍” 應(yīng)用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1 倍量，再畫圖確定解題方法. 被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量，然后求出另一個(gè)數(shù)，最后再寫出驗(yàn)算和答題。例 1甲班的圖書本數(shù)比乙班多80 本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3 倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1 倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3 倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2 倍.又知“甲班的圖書比乙班多80 本” ，即 2 倍與 80 本相對(duì)應(yīng)， 可以理解為2 倍是 80 本，這樣可以算出1 倍是多少本 .最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：乙班的本數(shù)：80（ 3-1 ）=40（本）甲班的本數(shù)：40 3=120 （本）或 40 80=120 （本）。驗(yàn)算： 120-40 80（本）120 40=3 （倍）答：甲班有圖書120 本，乙班有圖書40 本 。例 2菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的3 倍，賣出白菜1800 千克，蘿卜300 千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來的白萊是蘿卜的3 倍” 應(yīng)把運(yùn)來的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800 千克，蘿卜300 千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運(yùn)來的白菜比蘿卜多1800-300=1500 （千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2 （倍），這樣就可以先求出運(yùn)來的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來的白菜是多少千克。解：運(yùn)來蘿卜：（1800-300 ）（3-1 ）=750 （千克）運(yùn)來白菜：750 3=2250 （千克） 驗(yàn)算：2250-1800=450 （千克）（白菜剩下部分）750-300=450 （千克）（蘿卜剩下部分）答：菜站運(yùn)來白菜2250 千克，蘿卜750 千克。例 3有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去 12 米，第二根接上14 米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3 倍，兩根繩子原來各長(zhǎng)多少米？分析上圖，兩根繩子原來的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12 米，第二根繩子又接上 14 米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3 倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1 倍，而 12+14=26 （米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2 倍.所以，當(dāng)從第一根截去 12 米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來了， 那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來了。解：第一根截去12 米剩下的長(zhǎng)度：（12+14 ）（3-1 ） 13（米）兩根繩子原來的長(zhǎng)度：13 1225（米）答：兩根繩子原來各長(zhǎng)25 米。自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長(zhǎng) .小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1 倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。解題規(guī)律：差倍數(shù)的差=1 倍數(shù)（較小數(shù)）1 倍數(shù)幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或：較小的數(shù) +差=較大的數(shù)。例 4三（ 1）班與三（ 2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（ 1）班又買來新書74 本 ， 三（2）班從本班原書中拿出96 本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（ 2） 班的 3 倍，求兩班原有圖書各多少本？分析兩個(gè)班原有圖書一樣多.后來三（ 1）班又買新書 74 本，即增加了74 本；三（2 ）班從本班原有圖書中取出96 本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了96 本.結(jié)果是一個(gè)班增加，另一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差96+74 170（本），也就是三（ 1） 班比三（ 2 ）班多了 170 本圖書.又知三（ 1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3 倍，可見這 170 本圖書就相當(dāng)于三（2）班所剩圖書的3-1=2 倍，三（ 2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來了（見上圖）。解：后來三（ 1）班比三（ 2 ）班圖書多多少本？74 96=170 （本）三（ 2）班剩下的圖書是多少本？ 170 （3-1 ）=85（本）三（ 2 ）班原有圖書多少本？8596=181 （本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多）綜合算式：（74 96） （3-1 ） 96170 2+9685 96=181 （本）驗(yàn)算： 181+74=255 （本）181-96=85 （本）255 85=3 （倍）答：兩班原來各有圖書181 本 。例 5兩塊同樣長(zhǎng)的花布， 第一塊賣出31 米，第二塊賣出19 米后，第二塊是第一塊的4 倍，求每塊花布原有多少米？分析已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊 剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12 （米） .又知第二塊所剩下的布是第一塊的4 倍，那么第二塊比第一塊多出的12 米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1 ）倍，這樣，第一塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見上圖）。解：第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-19 12（米）第一塊布剩下多少米？12 （4-1 ）=4（米）第一塊布原有多少米？4+31=35 （米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）綜合列式：（31-19 ）（4-1 ）+31=12 3+31=4 31=35 （米）驗(yàn)算： 35-31=4 （米）35-19 16（米）1644（倍）答：每塊布原有35 米長(zhǎng)。和差問題和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“ 暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出 3 支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3 支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3 支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟 3 支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的 鉛筆比弟弟多3 支（差是 3），那就錯(cuò)了 .實(shí)際上姐姐比弟弟多2 個(gè) 3 支.姐姐給弟弟3 支后，自己留下3 支，再加上他們?cè)械你U筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3 2=6 支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟 3 支后還比弟弟多1 支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多 3217（支）。例 1兩筐水果共重150 千克，第一筐比第二筐多8 千克，兩筐水果各多少千克？分析這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重 150 8158（千克）； 假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8 142 （千克） .解法 1： 第二筐重多少千克？（150-8 ）2=71 （千克）第一筐重多少千克？71 8=79 （千克） 或150-71=79 （千克）解法 2： 第一筐重多少千克？（150+8 ）279 （千克）第二筐重多少千克？79-8=71 （千克）或 150-79=71 （克）答：第一筐重79 千克，第二筐重71 千克。例 2今年小強(qiáng) 7 歲，爸爸35 歲，當(dāng)兩人年齡和是58 歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？分析 題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差， 但是已知兩人今年的年齡， 那么今年兩人的年齡差是 35-7=28 （歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的 .所以，當(dāng)兩人年齡和為 58 歲時(shí)他們年齡差仍是 28 歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。解：爸爸的年齡：58 （ 35-7 ）2=58 28 2=86 2=43 （歲）小強(qiáng)的年齡：58-43 15 （歲）答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58 歲時(shí)，小強(qiáng)15 歲，他爸爸43 歲。例 3 小明期末考試時(shí)語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是 94 分，數(shù)學(xué)比語文多 8 分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析 解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績(jī)之差是8 分， 但是數(shù)學(xué)和語文成績(jī)之和沒有直接告訴我們 .可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是 94 分，這就可以求得這兩科的總成績(jī) .解：語文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？94 2 188 （分）數(shù)學(xué)得多少分？（ 188+8 ） 2196 2=98（分）語文得多少分？（188-8 ） 2=180 2=90 （分）或98-8=90 （分）答：小明期末考試語文得90 分，數(shù)學(xué)得98 分.例 4甲乙兩校共有學(xué)生864 人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)， 從甲校調(diào)入乙校32 名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48 人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？分析 這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是 864 人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校 32 人， 這樣甲校比乙校還多 48 人可以知道， 甲校比乙校多 322+48 112（人）. 112 是兩校人數(shù)差。解：乙校原有的學(xué)生：（864-32 2-48 ） 2 376（人）甲校原有學(xué)生：864-376=488 （人）答：甲校原有學(xué)生488 人，乙校原有學(xué)生376 人 。小結(jié)：從以上4 個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的 . 和差問題的一般解題規(guī)律是：（和+差） 2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù)或（和-差）2= 較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題。例 5在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5分析這樣想：從1 至 9 這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5 的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5，也就是說1 到 9 的和是 45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。（45-5 ） 2=20 ，20+5=25可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25，而另外幾個(gè)數(shù)的和是20. 在組成和是25 的幾個(gè)數(shù)前面添上“+”號(hào)，而在組成和是20 的幾個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)，此題就算出來了。例如： 5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如： 5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如： 3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5和差問題教學(xué)目標(biāo)1. 會(huì)判斷什么樣的應(yīng)用題屬于和差問題已知兩個(gè)數(shù)的和以及兩個(gè)數(shù)的差，要分別求這兩個(gè)數(shù)就屬和差問題，并掌握和差問題的特性，為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和倍、差倍問題做準(zhǔn)備2. 總結(jié)歸納出解決和差問題的方法，并解決一些實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)撥：和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù) 的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式 .有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。知道兩個(gè)數(shù)的和，以及它們的差，要求這兩個(gè)數(shù)，解決和差問題需要我們畫線段圖來分析，方法如下：方法一： (和+差)2= 大數(shù)和-大數(shù)= 小數(shù)方法二：(和-差)2= 小數(shù)和-小數(shù)= 大數(shù)【例 1 】?jī)煽鹚仓?50 千克，第一筐比第二筐少 10 千克，兩筐水果各多少千克？1. 甲、乙兩人同時(shí)以相同的速度打字，2 分鐘共打了 240 個(gè)字，已知甲每分鐘比乙多打10個(gè)字問甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)？2. 果園共 260 棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數(shù)比梨樹多 20 棵桃樹和梨樹各有多少棵？3. 有一根鋼管長(zhǎng)12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2 米每段各長(zhǎng)多少米？4. 陳紅和李玲平均身高為130 厘米，陳紅比李玲高8 厘米，陳紅和李玲身高各是多少厘米？【例 2 】文具王國(guó)的尺子點(diǎn)點(diǎn)和跳跳是一對(duì)好朋友， 他們一會(huì)兒高興地把自己綁在一起，一會(huì)兒又鬧起小別扭，豎起小腦袋比比誰長(zhǎng)的高，每天他們總是有使不完的勁兒同學(xué)們！你能根據(jù)下面的圖，算出點(diǎn)點(diǎn)和跳跳各有多長(zhǎng)嗎？1. 二年級(jí)一班和二班共有85人，一班比二班多3人問一班、二班各有多少人？2. 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是36，這兩個(gè)數(shù)分別是多少？【例 3】長(zhǎng)方形操場(chǎng)的長(zhǎng)與寬相差80 米，沿操場(chǎng)跑一周是 400 米，求這個(gè)操場(chǎng)的長(zhǎng)與寬是多少米？1. 丁丁在期中考試時(shí)，語文、 數(shù)學(xué)兩科平均分是91 分，數(shù)學(xué)比語文多2 分，那么丁丁語文和數(shù)學(xué)各得了多少分？2. 學(xué)校水果店運(yùn)來蘋果和梨共 40 千克，蘋果比梨多 2 袋，蘋果和梨每袋都重 5 千克，則水果店運(yùn)來蘋果和梨各多少袋？【例 4】小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔一共有22 只，如果再買4 只白兔， 白兔和黑兔的只數(shù)一樣多小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔各多少只？1. 圖書館的書架上、下兩層共存書220 本，如果從上層拿出10 本放入下層，則兩層書架上書數(shù)相等求原來上、下層各存書多少本？【例 5 】甲、乙兩校共有學(xué)生 1050 人，部分學(xué)生因搬家需要轉(zhuǎn)學(xué)， 已知由甲校轉(zhuǎn)入乙校 20人，這樣甲校比乙校還多10 人，求兩校原來有學(xué)生多少人？1，小華和小敏共有鉛筆25 枝，如果小華用去4 枝 ，小敏用去3 枝，那么小華還比小敏多2 枝 ， 小華和小敏原來各有多少枝鉛筆？【例 6 】周明和王剛兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的和是 182 分周明如果多考 5 分，就比王剛多 3 分周明和王剛的數(shù)學(xué)各考了多少分？1. 有大、小兩個(gè)油桶，一共裝油24千克，兩個(gè)油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9 千克和5 千克 問： 原來大、小兩個(gè)油桶各裝油多少千克？【例 7】兔媽媽拔了29 個(gè)蘿卜分給了小白兔和小黑兔，因?yàn)榉值奶}卜不一樣多，兔媽媽讓小 白兔給了小黑兔5 個(gè)，這時(shí)再來數(shù)發(fā)現(xiàn)小黑兔比小白兔多出1 個(gè)蘿卜， 你知道原來小 白 兔 和 小 黑兔 各 分 到了 多少 個(gè) 蘿卜嗎？1. 甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫共存大米56 包，從乙倉(cāng)庫調(diào)8 包到甲倉(cāng)庫，兩個(gè)倉(cāng)庫大米的包數(shù)就同樣多了，甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫原有大米各多少包？【例 8】甲校原來比乙校多48 人，為方便就近入學(xué)， 甲校有若干人轉(zhuǎn)入乙校，這時(shí)甲校反而比 乙校少 12 人甲校有多少人轉(zhuǎn)入乙校？1. 兩箱圖書共有66 本，甲箱如果借出10 本，就比乙箱少 4 本甲、乙兩箱原有圖書各多少本？2. 方方和圓圓共有圖書70 本，如果方方給圓圓5 本，那么圓圓就比方方多4 本問：方方和圓圓原來各有圖書多少本？【例 9 】有三塊布料一共190 米，第二塊比第一塊長(zhǎng) 20 米，第三塊比第二塊長(zhǎng)30 米 每塊布料各長(zhǎng)多少米？1. 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是 105 ，甲數(shù)比乙數(shù)多 4， 乙數(shù)比丙數(shù)多 4 ，求丙數(shù)2. 有 3 條繩子，共長(zhǎng) 95 米，第一條比第二條長(zhǎng) 7 米，第二條比第三條長(zhǎng) 8 米，問 3 條繩子各長(zhǎng)多少米？3. 甲、乙兩校共有學(xué)生864 人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32 名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48 人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？4. 小猴和小熊到動(dòng)物商店一共買了30塊糖，小猴把買的糖給了小熊10 塊，還比小熊多2 塊小熊比小猴少買幾塊糖？5. 學(xué)而思學(xué)校新進(jìn)99本書，分給三、四