MATLAB在量子力學(xué)中的應(yīng)用

MATLAB MATLAB 語(yǔ)言語(yǔ)言 課程論文課程論文 MATLABMATLAB 在量子力學(xué)中的應(yīng)用在量子力學(xué)中的應(yīng)用 姓名 魏祎姓名 魏祎 學(xué)號(hào) 學(xué)號(hào) 1201124398912011243989 專(zhuān)業(yè) 通信工程專(zhuān)業(yè) 通信工程 班級(jí) 班級(jí) 20112011 級(jí)通信工程級(jí)通信工程 指導(dǎo)老師 湯全武指導(dǎo)老師 湯全武 學(xué)院 物理電氣信息學(xué)院學(xué)院 物理電氣信息學(xué)院 完成日期 完成日期 2012 12 112012 12 11 1 MATLABMATLAB 在量子力學(xué)中的應(yīng)用在量子力學(xué)中的應(yīng)用 魏祎 12011243989 2011 級(jí)通信班 摘要摘要 量子力學(xué)的應(yīng)用和成就是多方面的 迄今仍保持有旺盛的生命力 碩果頗傳 雖然 大學(xué)物理 中介紹的量子力學(xué)只是一些最基本的概念 但之中涉及了許多復(fù)雜的數(shù)值計(jì) 算問(wèn)題 解微分方程的問(wèn)題 圖像顯示問(wèn)題 例如一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題 一維運(yùn)動(dòng)粒子的 波函數(shù)曲線問(wèn)題 對(duì)其手工求解較為復(fù)雜 而 MATLAB 語(yǔ)言正是處理這些復(fù)雜問(wèn)題的很好工 具 既能進(jìn)行數(shù)值求解 又能繪制有關(guān)曲線 非常方便實(shí)用 另外利用其可以減少工作量 節(jié)約時(shí)間 加深理解對(duì)量子力學(xué)的理解 同時(shí)可以培養(yǎng)應(yīng)用知識(shí)的能力 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 量子力學(xué) MATLAB 語(yǔ)言 一維無(wú)限深方勢(shì)阱 波函數(shù) 概率密度 一 問(wèn)題的提出一 問(wèn)題的提出 MATLAB 語(yǔ)言是當(dāng)今國(guó)際上科學(xué)界 尤其是自動(dòng)控制理論 最具影響力 也 是最有活力的軟件 它提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算 靈活的程序設(shè)計(jì)流程 高質(zhì)量 的圖形可視化與界面設(shè)計(jì) 便捷的與其他程序和語(yǔ)言接口的功能 MATLAB 語(yǔ)言 在各國(guó)高校與研究單位起著重大的作用 它是一種集數(shù)值運(yùn)算 符號(hào)運(yùn)算 可 視化建模 仿真和圖形處理等多種功能 在量子力學(xué)中 可以利用其幫助初學(xué) 者理解量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)截然不同的思維方式和觀念 理解微觀粒子的波粒 二象性 下面將以一維勢(shì)阱問(wèn)題 波函數(shù)和概率密度曲線問(wèn)題為例講述 MATLAB 在量子力學(xué)中的應(yīng)用 二 用二 用 MATLABMATLAB 語(yǔ)言求解一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題語(yǔ)言求解一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題 如圖 1 所示 設(shè)想一粒子處在勢(shì)能為的力場(chǎng)中 并沿 x 軸作一維運(yùn)動(dòng) p E 粒子的勢(shì)能滿足下述邊界條件 p E 1 當(dāng)粒子在范圍內(nèi)時(shí) 0 ax 0 p E 2 當(dāng)及時(shí) 0 xax p E 這就是說(shuō)粒子只能在寬度為 a 的兩個(gè)無(wú)限高勢(shì)壘壁之間自由運(yùn)動(dòng) 就像一 小球被限制在無(wú)限深的平底深谷中運(yùn)動(dòng)那樣 我們理想化了得勢(shì)阱曲線叫無(wú)限 深方形勢(shì)阱 因?yàn)榱Ｗ又幌抻谘?x 軸方向運(yùn)動(dòng) 故這個(gè)勢(shì)阱為一維無(wú)限深的方 形勢(shì)阱 簡(jiǎn)稱(chēng)一維方勢(shì)阱 有上述邊界條件已知 粒子在勢(shì)阱中得勢(shì)能 x 與時(shí)間無(wú)關(guān) 且 0 因 p E p E 此 由一般的薛定諤方程 1 粒子在無(wú)限深方勢(shì)阱中得定態(tài)薛定諤方程為 1 0 8 2 2 2 2 h mE dx d 式中 m 為粒子的質(zhì)量 E 為粒子的總能量 如令 k 為 2 2 2 8 h mE k 2 則上式可寫(xiě)成 3 0 2 2 2 k dx d 根據(jù)邊界條件 x 0 時(shí) 則可以利用 MATLAB 求解微分方程 0 0 利用 MATLAB 語(yǔ)言求解此方程程序如下 y dsolve D2y k 2 y y 0 0 x 求方程 16 p E 0 kxsin 0 0 a x 圖圖 1 1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱中得粒子一維無(wú)限深方勢(shì)阱中得粒子 運(yùn)行結(jié)果 y C1 sin k x 又根據(jù)邊界條件 x a 時(shí) 此時(shí)式 16 的解為kaCasin 1 4 0sin 1 kxCa 一般說(shuō)來(lái) A 可不為零 故 有0sin ka nka n 1 2 3 上式也可寫(xiě)成 a n k 將上式與式 4 相比較 可得勢(shì)中粒子可能的能量值為 5 2 2 2 8ma h nE 式中 n 為量子數(shù) 表明粒子的能量只能取離散的值 當(dāng) n 1 時(shí) 勢(shì)阱中粒 3 子的能量為 n 2 3 4 時(shí) 4 9 16 這就是說(shuō) 一維無(wú) 2 2 1 8ma h E 1 E 1 E 1 E 限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的 下面在來(lái)確定常數(shù) 由于粒子被限制在和 的勢(shì)阱中 因此 1 C 0 xax 按歸一化條件 粒子在此區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率總和為 1 即 6 aa dx 0 2 0 1 或 7 1sin 0 2 2 1 dxx a n C a 令 則上式左側(cè)積分為dx a d a x 8 aA aA d a na C a 2 2 0 2 2 1 2 1 2 sin 于是 可得 a C 2 1 這樣 式 7 所表現(xiàn)得波函數(shù)即為 9 x a n a x sin 2 ax 0 由此可得 能量為 E 所表示的粒子在勢(shì)阱中得概率密度為 10 sin 2 22 x a n a x 下面用 MATLAB 語(yǔ)言求解電子的各能級(jí)能量 波函數(shù)曲線和概率密度曲線 程序如下 function E shor m a 建立函數(shù)文件 n 1 10 量子數(shù) n h 6 63 1e 34 普朗克常量 E n 2 h 2 8 m a 2 n 能級(jí)的能量值 x 0 1 0 1e 12 a x 的值 subplot 4 2 1 分割繪圖區(qū)域 第一個(gè)子圖 y1 sqrt 2 a sin pi x a n 1 的波函數(shù) plot x y1 繪制 n 1 的波函數(shù)圖象 title n 1 給 n 1 的破函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 3 分割繪圖區(qū)域 第三個(gè)子圖 y1 sqrt 2 a sin 2 pi x a n 2 的波函數(shù) plot x y1 繪制 n 2 的波函數(shù)圖象 4 title n 2 給 n 2 的破函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 5 分割繪圖區(qū)域 第五個(gè)子圖 y1 sqrt 2 a sin 3 pi x a n 3 的波函數(shù) plot x y1 繪制 n 3 的波函數(shù)圖象 title n 3 給 n 3 的破函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 7 分割繪圖區(qū)域 第七個(gè)子圖 y1 sqrt 2 a sin 4 pi x a n 4 的波函數(shù) plot x y1 繪制 n 4 的波函數(shù)圖象 title n 4 給 n 4 的波函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 2 分割繪圖區(qū)域 第二個(gè)子圖 y2 2 a sin pi x a 2 n 1 的概率密度曲線 plot x y2 繪制 n 1 的概率密度曲線 title n 1 給 n 1 的概率函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 4 分割繪圖區(qū)域 第四個(gè)子圖 y2 2 a sin 2 pi x a 2 n 2 的概率密度函數(shù) plot x y2 繪制 n 2 的概率密度曲線 title n 2 給 n 2 的概率函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 6 分割繪圖區(qū)域 第六個(gè)子圖 y2 2 a sin 3 pi x a 2 n 3 的概率密度函數(shù) plot x y2 繪制 n 3 的概率密度曲線 title n 3 給 n 3 的概率函數(shù)曲線加標(biāo)題 subplot 4 2 8 分割繪圖區(qū)域 第八個(gè)子圖 y2 2 a sin 3 pi x a 2 n 4 的概率密度函數(shù) plot x y2 繪制 n 4 的概率密度曲線 title n 4 給 n 4 的概率函數(shù)曲線加標(biāo)題 假如有一電子在寬度為 0 02nm 的一維方勢(shì)阱中 則其 調(diào)kgm 31 101 9 用 shor 函數(shù)求解其各能級(jí)能量 波函數(shù)曲線和概率密度曲線 程序如下 a 0 2 1e 9 a 為勢(shì)阱的寬度 m 9 1 1e 31 粒子的質(zhì)量 E shor m a 調(diào)用 shor 函數(shù) 運(yùn)行結(jié)果如下 E 1 0e 015 0 0015 0 0060 0 0136 0 0242 0 0377 0 0543 0 0740 0 0966 0 1223 0 1510 運(yùn)行結(jié)果的圖像如圖 2 所示 5 圖圖 2 2 在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中 粒子的能級(jí) 波函數(shù)和概率密度在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中 粒子的能級(jí) 波函數(shù)和概率密度 通過(guò)以上程序?qū)αＷ釉谝痪S無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的圖形描述 數(shù)據(jù)分析 我們發(fā)現(xiàn) 一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的 為 1 0e 015 0 0015 1 0e 015 0 0060 1 0e 015 0 0136 1 0e 015 0 0242 一些列量子化的能量值 粒子在勢(shì)阱各處的概率密度并不是均勻分布的 隨量 子數(shù)而改變 當(dāng)量子數(shù) n 1 時(shí) 粒子在勢(shì)阱中部 x a 2 附近出現(xiàn)得概率最大 而在兩端出現(xiàn)的概率為零 隨著量子數(shù) n 的增大 概率密度分布曲線的峰值個(gè) 數(shù)也增多 例如 n 2 有兩個(gè)峰值 n 3 有三個(gè)峰值 而且兩相鄰峰值間的距 離將縮小得很小 彼此靠的很近 非常接近粒子在勢(shì)阱中各處概率處處相等的 情況 下面我們?cè)賮?lái)求解一個(gè)一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)和概率密度曲線問(wèn)題 三 用三 用 MATLABMATLAB 語(yǔ)言求解一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線 概率密度曲線語(yǔ)言求解一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線 概率密度曲線 已知一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)為 11 00 0 x xAxe x x 有歸一化條件 aa dx 0 2 0 1 或 6 12 1 0 222 dxexA x 上式積分可得 13 3 2 0 222 4 A dxexA x 于是可得 14 3 2 A 這樣 式 12 表示的波函數(shù)即為 15 00 02 3 x xxe x x 由此可得 一維運(yùn)動(dòng)粒子的概念密度函數(shù)為 16 00 04 223 x xex x x 下面用 MATLAB 語(yǔ)言求解一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線和概率密度曲線 程序如下 r input please input r 輸入 r 的值 a input please input a 請(qǐng)輸入 a 的值 x 0 0 0001 a 設(shè)置位置變量 x 的值 y1 4 r 3 x 2 exp 2 r x x 0 的概率密度函數(shù) y2 2 sqrt r 3 x exp r x x 0 的波函數(shù) y3 max y1 求概率密度最大值 x1 x find y1 y3 求概率密度最大值對(duì)應(yīng)的 x 值 subplot 1 2 1 分割繪圖區(qū)域 第一個(gè)子圖 plot x y1 x1 y3 p 繪制概率密度曲線 并標(biāo)記最大概率點(diǎn) title 概率密度曲線 subplot 1 2 2 分割繪圖區(qū)域 第二個(gè)子圖 plot x y2 繪制波函數(shù)曲線 title 波函數(shù)曲線 運(yùn)行結(jié)果如下 當(dāng) 1 時(shí)的運(yùn)行結(jié)果如下 圖像如圖 3 所示 please input r2 please input a6 y3 1 0827 x1 0 5000 當(dāng) 0 5 時(shí)的運(yùn)行結(jié)果如下 運(yùn)行圖像如圖 4 所示 please input r0 5 please input a20 7 y3 0 2707 x1 2 由以上程序的數(shù)據(jù)分析和圖形顯示可知 當(dāng) 1 時(shí) 粒子在 x 1 處出現(xiàn)的 概率最大 概率為 0 5413 當(dāng)當(dāng) 0 5 時(shí) 粒子在 x 2 處出現(xiàn)的概率最大 概率為 0 2707 給定一個(gè) 就能求出一個(gè)概率最大值和概率最大 10 的 x 值 再次說(shuō)明一維運(yùn)動(dòng)的粒子在空間各處出現(xiàn)的概率密度是不均勻的 隨 的改變而改變 越大 最大概率密度峰值也遠(yuǎn)大 這與經(jīng)典力學(xué)很不相同 按照經(jīng)典力學(xué)粒子在空間各處運(yùn)動(dòng)是不受限制的 粒子在空間各處出現(xiàn)的概率 亦應(yīng)是相等的 但在量子力學(xué)中 這樣的結(jié)論明顯不成立 空間粒子在各處出 現(xiàn)的概率明顯不均勻 從圖 3 和圖 4 我們可以看出 空間粒子只有可能出現(xiàn)在 某一小區(qū)域內(nèi) 在其它區(qū)域出現(xiàn)的概率為零 圖圖 3 1 時(shí)一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線和概率密度曲線時(shí)一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線和概率密度曲線 8 圖圖 4 0 5 時(shí)一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線和概率密度曲線時(shí)一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)曲線和概率密度曲線 四 結(jié)論四 結(jié)論 從以上利用 MATLAB 語(yǔ)言對(duì)兩個(gè)以為運(yùn)動(dòng)粒子波函數(shù)和概率密度曲線的分析 我們不難得出以下結(jié)論 1 MATLAB 語(yǔ)言強(qiáng)大的繪圖功能可以很有效地幫助我們理解量子力學(xué) 理解一 維運(yùn)動(dòng)粒子 的波粒二象性 在研究一維運(yùn)動(dòng)粒子問(wèn)題時(shí) 使用的繪圖函數(shù)為 plot x y 這 種高層繪圖操作簡(jiǎn)單便捷 方便實(shí)用 2 MATLAB 語(yǔ)言具有豐富的符號(hào)運(yùn)算 對(duì)于求解一些復(fù)雜的微分方程帶來(lái)了很 大的便捷 本文采用了符號(hào)函數(shù) dslove 求解一維薛定諤方程的解析解 3 MATLAB 語(yǔ)言具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能 在作一些較繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí) 能 給我們帶來(lái)極大的方便 節(jié)約時(shí)間和精力 本文用之求粒子的能級(jí)快捷準(zhǔn)確 而且求出的能級(jí)數(shù)巨多 達(dá)到了手工無(wú)法達(dá)到的計(jì)算效果 五 課程體會(huì)五 課程體會(huì) 經(jīng)過(guò)一學(xué)期緊張而有序的課程學(xué)習(xí) 我收獲良多 我深刻體會(huì)到 MATLAB 對(duì) 于我們通信專(zhuān)業(yè)的重要性 MATLAB 語(yǔ)言相對(duì)與同類(lèi)程序語(yǔ)言具有功能強(qiáng) 效率 高 簡(jiǎn)單易學(xué)等特點(diǎn) 在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用 目前最流行的幾種科學(xué)計(jì)算 機(jī)軟件各具特點(diǎn) 而且都在不斷地發(fā)展 版本不斷涌現(xiàn) 但其中影響最大 流 行最廣的當(dāng)屬 MATLAB 語(yǔ)言 因此學(xué)好 MATLAB 語(yǔ)言實(shí)屬必要之舉 但學(xué)校開(kāi)的 MATLAB 的課程課時(shí)較少 我們課后花費(fèi)了大量時(shí)間學(xué)習(xí) 經(jīng)過(guò)短時(shí)間的學(xué)習(xí) 我知道了 MATLAB 有很好的編輯環(huán)境 其有 MATLAB 桌 面和命令窗口 歷史命令窗口 編輯器和調(diào)試器 路徑搜索和用于用戶瀏覽幫 9 助 工作空間 文件的瀏覽器等工具可以方便的使用 MATLAB 的函數(shù)和文件 它 有簡(jiǎn)單的易用的程序語(yǔ)言 它包含控制語(yǔ)句 函數(shù) 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 輸入和輸出和 面向?qū)ο缶幊烫攸c(diǎn) 它有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力 它是是一個(gè)包含大 量計(jì)算算法的集合 它有出色的圖形處理功能 MATLAB 自產(chǎn)生之日起就具有方 便的數(shù)據(jù)可視化功能 以將向量和距陣用圖形表現(xiàn)出來(lái) 并且可以對(duì)圖形進(jìn)行 標(biāo)注和打印 高層次的作圖包括二維和三維的可視化 圖象處理 動(dòng)畫(huà)和表達(dá) 式作圖可用于科學(xué)計(jì)算和工程繪圖等特點(diǎn) 下面我具體敘述我的學(xué)習(xí)體會(huì) 在第二章 我們學(xué)習(xí)了 MATLAB 數(shù)據(jù)及其運(yùn) 算 MATLAB 數(shù)據(jù)類(lèi)型比其他語(yǔ)言更為豐富 除數(shù)值型 字符型等基本數(shù)據(jù)類(lèi)型 外 還有結(jié)構(gòu)體 單元體等更為復(fù)雜的對(duì)象 豐富的數(shù)據(jù)類(lèi)型 增強(qiáng)了 MATLAB 的數(shù)據(jù)表達(dá)能力 給應(yīng)用帶來(lái)了很大的方便 并且 MATLAB 在運(yùn)用數(shù)據(jù)時(shí)能自動(dòng) 判別數(shù)據(jù)類(lèi)型 不用先定義后使用 又減少了編程的難度和工作量 因此學(xué)習(xí) 起來(lái)倍感輕松 在第三章 我們學(xué)習(xí)了 MATLAB 矩陣分析與處理 MATLAB 的矩陣運(yùn)算功能 非常豐富 應(yīng)用也非常廣泛 許多含有矩陣運(yùn)算的復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題 在 MATLAB 中 很容易得到解決 在學(xué)習(xí)這一章時(shí) 深刻體會(huì)到 MATLAB 的計(jì)算功能只巨強(qiáng) 在 學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí) 許許多多的計(jì)算特別繁瑣 并且手工計(jì)算容易出錯(cuò) 有了 MATLAB 之后 矩陣的運(yùn)算就簡(jiǎn)單多了 在第四章我們學(xué)習(xí)了 MATLAB 一些簡(jiǎn)單的程序設(shè)計(jì) 知道 MATLAB 有循環(huán)結(jié) 構(gòu) 選擇結(jié)構(gòu)和順序結(jié)構(gòu) 其中選擇結(jié)構(gòu)有 if else 結(jié)構(gòu) if 結(jié)構(gòu) 多 分支 if 語(yǔ)句 switch 語(yǔ)句 try 語(yǔ)句 循環(huán)結(jié)構(gòu)中有 for 語(yǔ)句和 while 語(yǔ)句 這些語(yǔ)言的語(yǔ)法規(guī)則雖然和其它語(yǔ)言有所區(qū)別 但其邏輯思維最基本相同 我 們還學(xué)習(xí)了 MATLAB 的向量運(yùn)算 這種運(yùn)算可以代替循