高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用學(xué)案含解析.docx

1.7 定積分的簡單應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用如右圖，由直線xa，xb，曲線yf(x)和x軸圍成的曲邊梯形面積為S1.由直線xa，xb，曲線yg(x)和x軸圍成的曲邊梯形的面積為S2.問題1：如何求S1?提示：S1f(x)dx.問題2：如何求S2?提示：S2g(x)dx.問題3：如何求陰影部分的面積S?提示：SS1S2.平面圖形的面積由兩條曲線yf(x)，yg(x)和直線xa，xb(ba)所圍圖形的面積(1)如圖所示，f(x)g(x)0，所以所求面積Sdx.(2)如圖所示，f(x)0，g(x)0，所以所求面積Sf(x)dxdx. 相交曲線所圍圖形的面積求法如下圖，在區(qū)間上，若曲線yf(x)，yg(x)相交，則所求面積SS1S2dx|f(x)g(x)|dx.定積分在物理中的應(yīng)用問題：在1.5.2汽車行駛的路程中，我們學(xué)會了利用積分求物理中物體做變速直線運動的路程問題，利用積分還可以解決物理中的哪些問題？提示：變力做功1變速直線運動的路程做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間上的定積分，即s2變力做功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動到xb(a0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.答案：5一物體在變力F(x)(x的單位：m，F(xiàn)的單位：N)的作用下沿坐標(biāo)平面內(nèi)x軸的正方向由x8處運動到x18處，求力F(x)在這一過程中所做的功解：由題意得力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在上的定積分，從而WF(x)dx36x1(36181)(3681)(2)(J)從而可得力F(x)在這一過程中所做的功為 J.一、選擇題1用S表示下圖中陰影部分的面積，則S的值是()A.f(x)dxB.C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx解析：選D由圖可知，x軸上方陰影部分的面積為，x軸下方陰影部分的面積為f(x)dx，故D正確2曲線yx3與直線yx所圍圖形的面積等于()A.(xx3)dxB.(x3x)dxC2(xx3)dxD2(xx3)dx解析：選C由求得直線yx與曲線yx3的交點分別為(1，1)，(1,1)，(0,0)，由于兩函數(shù)都是奇函數(shù)，根據(jù)對稱性得S2(xx3)dx.3由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A.B1C. D.解析：選D結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積是定積分cos xdxsin x.4一質(zhì)點運動的速度與時間的關(guān)系為v(t)t2t2，質(zhì)點做直線運動，則它在時間內(nèi)的位移為()A. B.C. D.解析：選A質(zhì)點在時間內(nèi)的位移為(t2t2)dt.5由拋物線yx2x，直線x1及x軸圍成的圖形的面積為()A. B1C. D.解析：選BS1(x2x)dx(xx2)dx1.二、填空題6曲線ysin x(0x)與直線y圍成的封閉圖形的面積為_解析：由于曲線ysin x(0x)與直線y的交點的橫坐標(biāo)分別為x及x，因此所求圖形的面積為sin xdxcos xx.答案：7物體A以速度v3t21(t的單位：s；v的單位：m/s)在一直線上運動，在此直線上，物體A出發(fā)的同時，物體B在物體A的正前方5 m處以v10t的速度與A同向運動，則兩物體相遇時物體A運動的距離為_m.解析：設(shè)ta時兩物體相遇，依題意有(3t21)dt10tdt(t3t)5t25，即a3a5a25，(a5)(a21)0，解得a5，所以(3t21)dt535130.答案：1308有一橫截面面積為4 cm2的水管控制往外流水，打開水管后t s末的流速為v(t)6tt2(單位：cm/s)(0t6)，則t0到t6這段時間內(nèi)流出的水量為_解析：由題意可得t0到t6這段時間內(nèi)流出的水量(6tt2)dt4(6tt2)dt4144(cm3)故t0到t6這段時間內(nèi)流出的水量為144 cm3.答案：144 cm3三、解答題9求由曲線yx2和直線yx及y2x所圍圖形的面積S.解：由得A(1,1)，由得B(2,4)如圖所示，所求面積(即圖中陰影部分的面積)為S(2xx)dxx2)dxxdxx2)dxx2.10有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)(1)點P從原點出發(fā)，當(dāng)t6時，求點P離開原點的路程和位移；(2)求點P從原點出發(fā)，經(jīng)過時間t后又返回原點時的t值解：(1)由v(t)8t2t20，得0t4，即當(dāng)0t4時，P點向x軸正方向運動；當(dāng)t4時，P點向x軸負方向運動故t6時，點P離開原點的路程為s1(