直線圓錐曲線及向量的綜合問題.doc

WORD資料可編輯 直線圓錐曲線與向量的綜合問題高考考什么知識要點：1直線與圓錐曲線的公共點的情況（1）沒有公共點 方程組無解 （2）一個公共點 （3）兩個公共點 2連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數關系來計算弦長，常用的弦長公式：3以平面向量作為工具，綜合處理有關長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題4.幾何與向量綜合時可能出現的向量內容（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知A、B與PQ的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數；若存在實數,等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。（8）給出,等于已知是的平分線。（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內心；（15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;高考怎么考主要題型：1三點共線問題；2公共點個數問題；3弦長問題；4中點問題；5定比分點問題；6對稱問題；7平行與垂直問題；8角的問題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為（1）考查學生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。（2）考查學生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標準方程和幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系。特別提醒：D法和韋達定理是解決直線和圓錐曲線位置關系的重要工具。高考真題1. 2012上海卷 若n(2,1)是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為_(結果用反三角函數值表示)arctan2解析 考查直線的法向量和傾斜角，關鍵是求出直線的斜率由已知可得直線的斜率k1，k2，ktan，所以直線的傾斜角arctan2.2.2012重慶卷 如圖13，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形圖13(1)求該橢圓的離心率和標準方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2QB2，求直線l的方程解：(1)設所求橢圓的標準方程為1(ab0)，右焦點為F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2為直角，因此|OA|OB2|，得b.結合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題設條件SAB1B24，得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標準方程為：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為：xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.3 2012湖北卷 設A是單位圓x2y21上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|m|DA|(m0，且m1)當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由解：(1)如圖(1)，設M(x，y)，A(x0，y0)，則由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因為點A在單位圓上運動，所以xy1.將式代入式即得所求曲線C的方程為x21(m0，且m1)因為m(0,1)(1，)，所以當0m1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(，0)，(，0)；當m1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(0，)，(0，)(2)方法1：如圖(2)、(3)，對任意的k0，設P(x1，kx1)，H(x2，y2)，則Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直線QN的方程為y2kxkx1，將其代入橢圓C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依題意可知此方程的兩根為x1，x2，于是由韋達定理可得x1x2，即x2.因為點H在直線QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而PQPH等價于0，即2m20，又m0，得m，故存在m，使得在其對應的橢圓x21上，對任意的k0，都有PQPH.方法2：如圖(2)、(3)，對任意x1(0,1)，設P(x1，y1)，H(x2，y2)，則Q(x1，y1)，N(0，y1)因為P，H兩點在橢圓C上，所以兩式相減可得m2(xx)(yy)0.依題意，由點P在第一象限可知，點H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1x2)(x1x2)0.于是由式可得m2.又Q，N，H三點共線，所以kQNkQH，即.于是由式可得kPQkPH.而PQPH等價于kPQkPH1，即1，又m0，得m，故存在m，使得在其對應的橢圓x21上，對任意的k0，都有PQPH.4大綱文數 2011全國卷 已知O為坐標原點，F為橢圓C：x21在y軸正半軸上的焦點，過F且圖14斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足0.(1)證明：點P在C上；(2)設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上【解答】 (1)證明：F(0,1)，l的方程為yx1，代入x21并化簡得4x22x10.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，則x1，x2，x1x2，y1y2(x1x2)21，由題意得x3(x1x2)，y3(y1y2)1.所以點P的坐標為.經驗證，點P的坐標滿足方程x21，故點P在橢圓C上(2)證明：由P和題設知Q，PQ的垂直平分線l1的方程為yx.設AB的中點為M，則M，AB的垂直平分線l2的方程為yx.由、得l1、l2的交點為N.|NP|，|AB|x2x1|，|AM|，|MN|，|NA|，故|NP|NA|.又|NP|NQ|，|NA|NB|，所以|NA|NP|NB|NQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上5 2012福建卷 如圖橢圓E：1(ab0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由解：解法一：(1)因為|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因為e，即，所以c1，所以b.故橢圓E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上設M(x1,0)，則0對滿足(*)式的m、k恒成立因為，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.解法二：(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上取k0，m，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為22，交x軸于點M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合條件的點M存在，則M的坐標必為(1,0)以下證明M(1,0)就是滿足條件的點：因為M的坐標為(1,0)，所以，(3,4km)，從而330，故恒有，即存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.突破重難點例1過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（ D ）A BC D 例2 已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)解法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.解法二：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.例3.在平面直角坐標系O中，直線與拋物線y22x相交于A、B兩點（1）求證：“如果直線l過點T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解（1）設過點T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).當直線l的鈄率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于點A(3,)、B(3,). =3；當直線l的鈄率存在時,設直線l的方程為，其中，由得 又 ，綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0).例4已知A,B為拋物線x2=2py(p0)上異于原點的兩點，點C坐標為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點共線； （2）若（）且試求點M的軌跡方程。（1）證明：設，由得，又 ，即A,B,C三點共線。（2）由（1）知直線AB過定點C，又由及（）知OMAB，垂足為M，所以點M的軌跡為以OC為直徑的圓，除去坐標原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。例5橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且PF1F1F2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程。解法一：()因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）. 從而可設直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因為A，B關于點M對稱. 所以 解得，所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經檢驗，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）. 設A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因為A、B關于點M對稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.)例6設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點.（）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.解：（）解法一： 易知 ，所以，設，則因為，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值-2當x=2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或例7已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點，過的直線交橢圓于A、C兩點，且，垂足為P. （）設P點的坐標為，證明：；（）求四邊形ABCD的面積的最小值。（）證明: 橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設，則：，；因為AC與BC相交于點P，且AC的斜率為所以，四邊形ABCD的面積當k2=1時，上式取等號（）當BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積S=4綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為例8已知函數與的圖象相交于，分別是的圖象在兩點的切線，分別是，與軸的交點（I）求的取值范圍；（II）設為點的橫坐標，當時，寫出以為自變量的函數式，并求其定義域和值域；（III）試比較與的大小，并說明理由（是坐標原點）解：（I）由方程消得依題意，該方程有兩個正實根，故 解得（II）由，求得切線的方程為，由，并令，得，是方程的兩實根，且，、故，是關于的減函數，所以的取值范圍是是關于的增函數，定義域為，所以值域為，（III）當時，由（II）可知類似可得由可知從而當時，有相同的結果所以自我提升1、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中a,bR，且a+b=1，則點C的軌跡方程為( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|+|=4.則點P(x,y)的軌跡是.( C )A橢圓B雙曲線C線段D射線3、中心在原點，焦點在坐標為(0，5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為(C )4、直線y=kx+1與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是（A）. A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|-|=2.則點P(x,y)的軌跡C的方程為_.( ).52012許昌一模 設F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點若點P在雙曲線上，且0，則|()A2 B. C4 D25D解析 根據已知PF1F2是直角三角形，向量2，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出.0，則|2|2.6已知A、B為拋物線x2=2py (p0)上兩點，直線AB過焦點F，A、B在準線上的射影分別為C、D，則y軸上恒存在一點K，使得；存在實數l使得 ；若線段AB中點P在在準線上的射影為T，有。中說法正確的為_7.已知橢圓，過P(1,0)作直線 l，使得l與該橢圓交于A,B兩點，l與y軸的交點為Q，且，求直線 l的方程。解：直線l過P(1,0)，故可設方程為y=k(x-1)， 因為，所以 AB的