XX211圓錐曲線知識點歸納

XX211圓錐曲線知識點歸納 xx-2-111圓錐曲線知識點歸納橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義第一定義平面內(nèi)與兩個定點12F F、的距離之和等于常數(shù)（大于12FF）的點的軌跡叫做橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。 第二定義動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù))10(?e e，則動點M的軌跡叫做橢圓。 定點F是橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做橢圓的離心率。 說明若常數(shù)2a等于2c，則動點軌跡是線段12F F。 若常數(shù)2a小于2c，則動點軌跡不存在。 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222?b abyax中心在原點，焦點在x軸上)0(12222?b abxay中心在原點，焦點在y軸上圖形范圍x ay b?，x by a?，頂點?12120000A aA aB b B b?，、，、，?12120000A aA aB b B b?，、，、，對稱軸x軸、y軸；長軸長2a，短軸長2b；焦點在長軸上x軸、y軸；長軸長2a，短軸長2b；焦點在長軸上焦點?1200F cF c?，、，?1200F cF c?，、，焦距)0(221?c cF F)0(221?c cF F離心率)10(?eace)10(?eace準(zhǔn)線2axc?2ayc?參數(shù)方程與普通方程22221x yab?的參數(shù)方程為?cossinx ayb?為參數(shù)22221y xab?的參數(shù)方程為?cossiny axb?為參數(shù)3.2焦半徑公式橢圓上的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑。 焦半徑公式橢圓焦點在x軸上時，設(shè)12F F、分別是橢圓的左、右焦點，?00P xy，是橢圓上任一點，則10PF aex?，20PF aex?。 推導(dǎo)過程由第二定義得11PFed?（1d為點P到左準(zhǔn)線的距離），則211000aPF ede xex aa exc?；同理得20PF aex?。 簡記為左“”右“”。 由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。 若焦點在y軸上，則為22221y xab?。 有時為了運算方便，設(shè)),0(122n mm nymx?。 判定直線與橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)方法定理1:設(shè)1F、2F分別是橢圓1:2222?byaxC?0?b a的左、右焦點，點P是直角坐標(biāo)平面中的任意一點，則 （1）?a PF PF221點P在橢圓上. （2）?a PFPF221點P在橢圓外. （3）?a PFPF221點P在橢圓內(nèi).證明: (1)由橢圓的定義直接可得這個結(jié)論. (2)1)當(dāng)點P在橢圓外時:如圖,連結(jié)1PF交橢圓于點M,則2121PF MFPM PFPF?a MFMF221?即a PFPF221?成立.即:點P在橢圓外?a PFPF221? (3)1)當(dāng)點P在橢圓內(nèi)時:如圖,連結(jié)P F1并延長交橢圓于點M,則32121PF MPMF PFPF? (2)2)當(dāng)a PFPF221?時:若點P在橢圓上,則有a PFPF221?得矛盾若點P在橢圓內(nèi),則有a PFPF221?得矛盾點P在橢圓外.即?a PFPF221點P在橢圓外. (3)2)同理可得?a PFPF221點P在橢圓內(nèi).定理2設(shè)直線l上的動點P到橢圓1:2222?byaxC?0?b a兩焦點1F、2F的距離和的最小值為m,則 （1）?a m2直線l和橢圓C相切； （2）?a m2直線l和橢圓C相離； （1）?a m2直線l和橢圓C相交；證明: (1)直線l和橢圓C相切?直線l和橢圓C有且僅有一個公共點?直線l上有且僅有一個點在橢圓上,而其它點全在橢圓外?21PFPF?的最小值為a2?a m2? (2)直線l和橢圓C相離?直線l上的所有點都在橢圓C的外部?a PFPF221?恒成立?a m2? (3)直線l和橢圓C相交4?直線l上至少存在一點P在橢圓C的內(nèi)部?直線l上至少存在一點P使a PFPF221?成立?a m2?注:容易驗證對于焦點在y軸上的橢圓,上述結(jié)論也成立.定理3已知直線)0(0:22?B AC ByAx l橢圓1byax:C2222?R b a,，則 （1）和橢圓相交直線l c Bb A a?022222； （2）和橢圓相切直線l c Bb A a?022222； （3）和橢圓相離直線l cBbA a?022222。 證明作坐標(biāo)變換?by yaxx則在新坐標(biāo)系y ox中橢圓C變成曲線C的方程為122?y x（已化為單位圓），直線l變成直線l的方程為0?c bByaAx，易見坐標(biāo)變換前后直線和曲線的位置關(guān)系（公共點的個數(shù)）保持不變；在y ox中，由于圓心o到直線l的距離2222|BbA acd?l直線和橢圓C相交?l和單位圓o相交?1d?22222cBbAa022222?cBbAa同理l直線?0和橢圓C相切/l直線?0和橢圓C相離例1已知:橢圓C以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在x軸上，且與兩直線010405?y xy x和均相切，求橢圓C的方程。 解設(shè)橢圓的方程為12222?byax橢圓和直線05?y x相切由定理3可知25221?b a又橢圓和直線50104?y x相切10016222?ba由?10016252222b aba解得?52022ba橢圓的方程為152022?y x雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識要點1定義 （1）第一定義平面內(nèi)到兩定點F 1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|）的點的軌跡叫雙曲線。 說明|PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|時無軌跡。 設(shè)M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上，則|MF1|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。 2雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程)0b,0a(1byax2222?)0b,0a(1bxay2222?圖形焦點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂點A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實軸2a，虛軸2b，實軸在x軸上，c2=a2+b2實軸2a，虛軸2b，實軸在y軸上，c2=a2+b2離心率|2MDMFace?|2MDMFace?準(zhǔn)線方程cax:l,cax:l2221?準(zhǔn)線間距離為ca22cay:l,cay:l2221?準(zhǔn)線間距離為ca22漸近線方程0,0?byaxbyax0,0?aybxaybx3幾個概念 （1）等軸雙曲線實、虛軸相等的雙曲線。 等軸雙曲線的漸近線為y=x，離心率為2。 （62）共軸雙曲線以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例12222?byax的共軸雙曲線是12222?byax。 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。 但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F為拋物線的焦點，定直線l為拋物線的準(zhǔn)線。 注定義可歸結(jié)為“一動三定”一個動點設(shè)為M；一定點F（即焦點）；一定直線l（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動點M到定點F的距離與它到定直線l的距離之比1）定義中的隱含條件焦點F不在準(zhǔn)線l上。 若F在l上，拋物線退化為過F且垂直于l的一條直線圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)與一定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)10?e時，表示橢圓；當(dāng)1?e時，表示雙曲線；當(dāng)1?e時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。 二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。 2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為?022?p pxy，?022?p py x，其中參數(shù)p的幾何意義焦參數(shù)p是焦點到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正值；p值越大，張口越大；2p等于焦點到拋物線頂點的距離。 標(biāo)準(zhǔn)方程的特點方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為x軸時，方程中的一次項變量就是x，若x的一次項前符號為正，則開口向右，若x的一次項前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為y軸時，方程中的一次項變量就是y，當(dāng)y的一次項前符號為正，則開口向上，若y的一次項前符號為負(fù)，則開口向下。 三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.待定系數(shù)法因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)p，因此要做到“先定位，再定值”。 注當(dāng)求頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為ax y?2或ay x?2，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。 四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)7方程設(shè)拋物線?022?p pxy性質(zhì)焦點范圍對稱性頂點離心率準(zhǔn)線通徑?0,2pF0?x關(guān)于x軸對稱原點1?e2px?p2注焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的41；對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識拋物線及其性質(zhì)。 五、直線與拋物線有關(guān)問題1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x或y化得形如02?c bxax（*）的式子當(dāng)0?a時，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；當(dāng)0?a時，若0?（*）式方程有兩組不同的實數(shù)解?直線與拋物線相交；若=0?（*）式方程有兩組相同的實數(shù)解?直線與拋物線相切；若0?（*）式方程無實數(shù)解?直線與拋物線相離.2直線與拋物線相交的弦長問題弦長公式設(shè)直線交拋物線于?2211,y xB yx A，則B AABx xk AB?21或B AyykAB?211.若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時,借助于焦半徑公式處理拋物線?022?p pxy上一點?00,yx M的焦半徑長是20px MF?，拋物線?022?p pyx上一點?00,yx M的焦半徑長是20py MF? 六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB為過拋物線?022?p pxy焦點的弦，設(shè)?2211,yxB yx A，直線AB的傾斜角為?，則221221,4p yypx x?；?2sin2pAB?p xx?21；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；弦兩端點與頂點所成三角形