高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布學(xué)案含解析.docx

2.4 正態(tài)分布正態(tài)曲線及正態(tài)分布1正態(tài)曲線函數(shù)，(x)e，x(，)，其中實(shí)數(shù)和(0)為參數(shù)，稱，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a，b的概率為P(aXb)，(x)dx，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)的兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，就是X落在區(qū)間(a，b的概率的近似值，如圖2正態(tài)分布如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作N(，2)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為XN(，2)參數(shù)和的意義：正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)就是隨機(jī)變量X的均值，它可以用樣本的均值去估計(jì)；參數(shù)就是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)把0，1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)曲線的特點(diǎn)及3原則1正態(tài)曲線的特點(diǎn)正態(tài)曲線，(x)e，xR有以下特點(diǎn)：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱；(3)曲線在x處達(dá)到峰值(最大值)；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大， 曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散23原則正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)的理解特點(diǎn)(1)說(shuō)明函數(shù)的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)的子集，且以x軸為漸近線；特點(diǎn)(2)是曲線的對(duì)稱性，曲線關(guān)于直線x對(duì)稱；特點(diǎn)(3)說(shuō)明函數(shù)在x時(shí)取得最大值；特點(diǎn)(4)說(shuō)明正態(tài)分布的隨機(jī)變量在 (，)內(nèi)取值的概率為1；特點(diǎn)(6)說(shuō)明當(dāng)均值一定，變化時(shí)，總體分布的集中、離散程度正態(tài)曲線的圖象和性質(zhì)如圖是一個(gè)正態(tài)曲線試根據(jù)圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，并求出總體隨機(jī)變量的均值和方差從正態(tài)曲線的圖象可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x20對(duì)稱，最大值為，所以20，解得.于是概率密度函數(shù)的解析式為，(x)e，x(，)總體隨機(jī)變量的均值是20，方差是2()22.利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)，(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求.(2)正態(tài)曲線在x處達(dá)到峰值，由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A12，12B12C12，12，12解析：選A反映的是正態(tài)分布的平均水平，x是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，由圖可知12；反映的是正態(tài)分布的離散程度，越大，越分散，曲線越“矮胖”，越小，越集中，曲線越“瘦高”，由圖可知12正態(tài)分布中的概率計(jì)算設(shè)隨機(jī)變量XN(1,22)，試求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)(1)P(1X3)P(12X12)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)(0.954 40.682 6)0.135 9.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(X)，P(2X2)，P(35)解：P(X5)P(X3)0.022 8.正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的成績(jī)XN(110,202)，且知滿分是150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)因?yàn)閄N(110,202)，所以110，20，P(11020X11020)0.682 6.于是X130的概率為(10.682 6)0.158 7，X90的概率為0.682 60.158 70.841 3，故及格的人數(shù)為540.841 345(人)，130分以上的人數(shù)為540.158 79(人)解決此類問(wèn)題一定要靈活把握3原則，將所求概率向P(X)，P(2X2)，P(3X3)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)的概率同時(shí)要充分利用好曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N(4,0.52)，質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的1 000個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外直徑為5.7 cm，該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？解：由于X服從正態(tài)分布N(4,0.52)，由正態(tài)分布的性質(zhì)，可知正態(tài)分布N(4,0.52)在(430.5,430.5)之外的取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為該批零件是不合格的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0,1)，如果P(1)0.841 3，求P(11)10.841 30.158 7.所以P(1)0.158 7，所以P(10)0.50.158 70.341 3.1求解時(shí)，不注意結(jié)合圖形對(duì)稱性，錯(cuò)解為P(10)1P(1)0.158 7.2針對(duì)0的正態(tài)分布，求某區(qū)間上的取值概率時(shí)常利用如下兩個(gè)公式：(1)P(Xx0)1P(Xx0)；(2)P(aXb)P(X3)P(1)成立，則_.解析：因?yàn)镹(，2)，故正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，又P(3)，從而2，即的值為2.答案：21設(shè)XN(，2)，則眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)滿足()A眾數(shù)2，中位數(shù)平均數(shù)B平均數(shù)，眾數(shù)中位數(shù)2C中位數(shù)，眾數(shù)平均數(shù)2D眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)解析：選D利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義同頻率分布直方圖的關(guān)系2設(shè)XN，則X落在(3.5，0.5內(nèi)的概率是()A95.44%B99.74%C4.56% D0.26%解析：選B由XN知，2，則P(3.50)若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)解析：X服從正態(tài)分布(1，2)，X在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同，均為0.4.X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.40.40.8.答案：0.84如圖是三個(gè)正態(tài)分布XN(0,0.25)，YN(0,1)，ZN(0,4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的_、_、_.解析：在密度曲線中，越大，曲線越“矮胖”；越小，曲線越“瘦高”答案：5設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求P(X0)，P(2X2)解：對(duì)稱軸X0，故P(X0)0.5，P(2X2)P(021X021)0.954 4.一、選擇題1正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)它所對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體的均值為()A1B1C0 D不確定解析：選C均值即為其對(duì)稱軸，0.2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，P(X4)0.84，則P(X0)等于()A0.16 B0.32C0.68 D0.84解析：選A由XN(2，2)，可知其正態(tài)曲線如圖所示，對(duì)稱軸為直線x2，則P(X0)P(X4)1P(Xp2 Bp1p2Cp1p2 D不確定解析：選C由正態(tài)曲線的對(duì)稱性及題意知，0，1，所以曲線關(guān)于直線x0對(duì)稱，所以p1p2.4總體密度曲線是函數(shù)f(x)e，xR的圖象的正態(tài)總體有以下命題：正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱；正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱；正態(tài)曲線與x軸一定不相交；正態(tài)曲線與x軸一定相交其中正確的命題是()A BC D解析：選C利用正態(tài)函數(shù)圖象的基本特征判斷5如果提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：某工廠制造的零件尺寸X服從正態(tài)分布N(，2)，當(dāng)隨機(jī)抽取某一個(gè)測(cè)量值時(shí)，可以說(shuō)明假設(shè)不成立的是下列中的()A(3，3) B(3，3)C(2，2) D(2，2)解析：選B由生產(chǎn)實(shí)際中的3原則可知，P(3c1)P(c1)P(c1)，2，3，2，則c2.答案：28設(shè)隨機(jī)變量XN(1,22)，則Y3X1服從的總體分布可記為_(kāi)解析：因?yàn)閄N(1,22)，所以1，2.又Y3X1，所以E(Y)3E(X)1312，D(Y)9D(X)62.YN(2,62)答案：YN(2,62)三、解答題9設(shè)N(1,1)，試求：(1)P(02)；(2)P(23)；(3)P(3)解：N(1,1)，1，1.(1)P(02)P(1111)P()0.682 6.(2)P(23)P(10)，P(20)，若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2，求：(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率；(2)P(X4)解：(1)由于XN(2，2)，對(duì)稱軸x2，畫(huà)出示意圖如圖：P(0X2)P(2X4)，P(0X4)2P(0X4)(10.4)0.3.11在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即N(90,100)(1)試求考試成績(jī)位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少(2)若這次考試共有2 000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)的考生大約有多少人解：因?yàn)镹(90,100)，所以90，10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率是0.954 4，而該正