傅里葉變換與傅里葉級數(shù).doc

傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的區(qū)別與聯(lián)系 以上我們分別討論了傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的定義及其存在條件，現(xiàn)簡要討論一下二者的區(qū)別。 前已述及，傅里葉級數(shù)對應(yīng)的是周期信號，而傅里葉變換對應(yīng)的是非周期信號；前者要求信號在一個(gè)周期內(nèi)的能量是有限的，而后者要求信號在整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的能量是有 此外，傅里葉級數(shù)的系數(shù)X(k2。)是離散的，而傅里葉變換x(jn)是的連續(xù)函數(shù)。 由此可見，傅里葉級數(shù)與傅里葉變換二者的物理含義不同，因而量綱也不同。X(k。)代表了周期信號x(t)的第k次諧波幅度的大小，而x(js2)是頻譜密度的概念為說明這一點(diǎn)，我們可將一個(gè)非周期信號視為周期丁趨于無窮大的周期信號。由。=2/T可知，若T則必有。o，k。，將(313)式兩邊同乘以T，并取T時(shí)的極限，可得 該式表明，一個(gè)周期信號的傅里葉變換是由頻率軸上間距為。的沖激序列(Drac函數(shù))所組成，這些沖激序列的強(qiáng)度等于相應(yīng)的傅里葉系數(shù)乘以2兀。這樣的離散頻譜又稱為“線譜”。由沖激函數(shù)的定義和頻譜密度的物理概念可知，周期信號的頻譜應(yīng)理解為在無窮小的頻率范圍內(nèi)取得了一個(gè)“無限大”的頻譜密度。無限大是從沖激函數(shù)的角度來理解的。沖激函數(shù)的強(qiáng)度為2zcX(kf2。)，單純地從X(kf2。)來理解，它無密度的概念，它代表了在kf2。處的諧波的大小。 由此可以看出，本不具備傅里葉變換條件的周期信號，在引入了沖激信號后也可以作傅里葉變換。當(dāng)然，變換的結(jié)果也應(yīng)從沖激信號的角度來理解。這樣，由(3118)式，我們可以把傅里葉級數(shù)和傅里葉變換統(tǒng)一在一個(gè)理論框架下來進(jìn)行討論，并建立起二者的聯(lián)系。 由上述的討論，我們不難得出如下的結(jié)論：時(shí)域連續(xù)的周期信號的傅里葉變換在頻域是離散的、非周期的。 當(dāng)周期信號的周期T趨于無窮大時(shí)，|由(3118)式給出的離散頻譜將變成連續(xù)譜，它對應(yīng)的是周期信號的一個(gè)周期的傅里葉變換，但由于周期為無窮大，因此，它對應(yīng)的實(shí)際上是(317)式的非周期信號的傅里葉變換。由此我們可得出另一個(gè)結(jié)論：時(shí)域連續(xù)的非周期信號的傅里葉變換在頻域上是連續(xù)的、非周期的。 讀者在有關(guān)“信號與系統(tǒng)”的教科書(例如，參考文獻(xiàn)E2，8，13)中都可看到有關(guān)連續(xù)時(shí)間信號傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的詳述，本書不再對此作進(jìn)一步的討論。下面僅給出幾個(gè)常用周期信號傅里葉變換的例子。 3.2.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 從例2-3可知，周期脈沖信號離散頻譜函數(shù)為 其隨頻率的變化規(guī)律如圖3.5所示（參看圖2.6）。 圖3.5 周期To增加對離散頻譜的影響 從圖中可見：當(dāng)振幅值等于為最大；當(dāng)基頻，各譜線之間的間隔，頻譜包絡(luò)線第一個(gè)過零點(diǎn)的值按 求得 若不是整數(shù)說明過零點(diǎn)的頻率不存在諧波分量。 現(xiàn)設(shè)脈沖寬度秒，周期從秒增加到2秒、4秒，則求得相應(yīng)的離散頻譜分別如圖3.5(a)(b)(c)所示。該圖表示譜線之間（相鄰頻率分量）的間隔，隨著的增加在逐步減少。從到第一個(gè)過零點(diǎn)的頻帶寬度，因不變而保持不變，故而從之間所容納的諧波分量隨著的增加而增多，其結(jié)果使得譜線越來越密集。如果把非周期信號看作周期信號，當(dāng)周期趨于無窮的極限情況，則由于，各譜線之間的間隔趨于零，使原為離散的頻譜變成連續(xù)頻譜，雖然這時(shí)頻譜的變化規(guī)律仍按包絡(luò)線在變化。但因幅度頻譜趨于零，以致難以用無限小頻譜函數(shù)值來描述非周期信號的頻譜特性。為了避免對的影響，定義一個(gè)物理量 該式表示每單位頻帶寬度的復(fù)頻譜，故稱為頻譜密度。當(dāng)，則得 (3.7) 式(3.7)是連續(xù)變量的函數(shù)，稱為非周期信號頻譜密度函數(shù)。按理，就可以用來表征非周期信號的頻譜特性，但為了與習(xí)慣上通用的定義式相一致，又稱式(3.7)乘以常數(shù)，即定義頻譜密度為： (3.8)式(3.8)把連續(xù)時(shí)間函數(shù)變換為頻率的連續(xù)函數(shù)，稱這為信號的傅里葉變換或連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（CTFT）。由于它在頻域反映了信號的基本特征，因而是非周期信號進(jìn)行頻域分析的理論依據(jù)和最基本的公式。3.2.2 頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別上一頁下一頁 從以上推導(dǎo)過程可見，周期信號離散頻譜函數(shù)與非周期信號連續(xù)頻譜密度函數(shù)之間有著密切的關(guān)系，即 (3.9) 按周期信號的傅里葉級數(shù)表示式為 當(dāng)T0 則 nw0w,wdw, 故得 （3.10） 式(3.10)與式(3.8)相對應(yīng)，它把連續(xù)頻率函數(shù)變換為連續(xù)時(shí)間函數(shù)，故稱之為頻譜密度x(w)的傅里葉反變換（ICTFT）。該式說明一個(gè)非周期信號是由頻率為無限密度，幅度等于無限小，無限多的復(fù)指數(shù)信號的線性組合而成。它類似周期信 號，通過傅里葉級數(shù)把信號分解成由無窮多的復(fù)指數(shù)或正弦信號的線性組合，藕以在時(shí)間域?qū)π盘栠M(jìn)行分析。但在頻率域它們卻有明顯的不同，這主要表現(xiàn)在周期信 號的頻譜是離散的復(fù)頻譜，表示的是每個(gè)諧波分量（單一頻率）的復(fù)振幅，而非周期信號的頻譜是連續(xù)的頻譜，表示的是每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅。 所以x(w)是頻譜密度的函數(shù)，是個(gè)復(fù)量，即，有的書用x(jw)表示。由于它反映了x(t)分解成不同頻率正弦分量的幅度和相位的變化規(guī)律，為了方便仍通稱為x(t)的頻譜。其模|x(w)|稱為幅度頻譜，幅角稱為相位頻譜。但應(yīng)注意它與周期信號的離散頻譜在內(nèi)涵上有所差異。式(3.8)與式(3.10)構(gòu)成一對傅里葉變換，通?？捎洖?(3.11) (3.12) 式中符號“F”代表傅里葉變換，“F-1”代表傅里葉反變換。為了簡便也可以采用下列符號表示傅里葉變換對 雙箭頭的含義是x(t)的傅里葉正變換為x(w),x(w)的傅里葉反變換為x(t)。從上列關(guān)系式可見，如果采用式(3.7)作為傅里葉正變換的定義式，則其反變換式(3.12)就不出現(xiàn)常數(shù)。所以兩種定義式都是可行的，僅僅是在正、反變換式子中的常系數(shù)互相對調(diào)，有所不同而已。這種情況，在各種數(shù)學(xué)變換關(guān)系式中經(jīng)常會(huì)遇見。 傅里葉變換是一對線性變換，它們之間存在一對一的關(guān)系，其中一個(gè)積分方程是另一個(gè)積分方程的解。式(3.12)從已知x(w)恢復(fù)原有信號x(t)稱為合成公式；式(3.11)從已知信號x(t)求它的組成分量x(w)稱為分解公式。通過它們把時(shí)域與頻域有機(jī)地聯(lián)系起來。非周期信號存在傅里葉變換的條件需要滿足下列狄里赫利條件： 1信號x(t)絕對可積，即 按 所以存在傅里葉變換。 2在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號x(t)只有有限個(gè)最大值和最小值。 3在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號x(t)，僅有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且在這些點(diǎn)都必須是有限值。 上列第一條是充分條件但不一定必要，第二、三條是必要條件量不充分。按一個(gè)絕對可積的信