不等式的證明一例題解析人教

不等式的證明例題解析一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 不等式的證明教學(xué)目標(biāo) 1. 掌握不等式證明的作差比較法和作商比較法。 2. 在熟悉一些常用基本不等式的基礎(chǔ)上，掌握不等式證明的綜合法； 3. 掌握分析法證明不等式的要求和格式； 4. 通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，提高同學(xué)們的化簡(jiǎn)意識(shí)、變形意識(shí)，拓寬解題思路，提高推理論證能力。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握不等式證明的三種方法。即：比較法、綜合法、分析法。 2. 教學(xué)難點(diǎn)： 正確理解三種證明方法的證題思想，準(zhǔn)確把握證明步驟和書寫格式?！纠}分析】（一）比較法：比較法有作差比較法和作商比較法兩種。 1. 作差比較法：一般適用于具有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的題目。 其步驟是：作差變形判斷差的符號(hào)（與0比較大小）。 2. 作商比較法：一般適用于不等式兩邊恒為正且具有乘積式冪指數(shù)結(jié)構(gòu)的題目。 其步驟是：作商變形判斷商與1的大小。 例1. 解析： 這個(gè)不等式兩邊是多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的，因此可采用作差比較法，最后的結(jié)果與0比大小。 說(shuō)明：采用作差法證明不等式，作差后經(jīng)常采用配方的辦法，判斷結(jié)果與0的大小。 例2. 解析： 此題具有積的結(jié)構(gòu)，且兩邊恒為正的不等式。因此，采用作商比較法，最后的結(jié)果與1比較大小。 證明： 說(shuō)明：在上述討論中，要求必須對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)清楚。 例3. 解析： 根據(jù)已知條件及要證的不等式的結(jié)構(gòu)，既可以用作差比較法也可以用作商比較法。 證法一： 原不等式成立 證法二： 原不等式成立（二）綜合法：就是從已知的不等式出發(fā)，用必要條件代替前面的不等式，直至推出欲證的不等式。 常用的重要不等式有： 例1. 解析： 要證此不等式，應(yīng)充分使用已知條件，同時(shí)改變要證不等式左邊的現(xiàn)狀，使之可以運(yùn)算且大于或等于9。 證明： 例2. 解析： a、b、c為ABC的三邊， 可以挖掘出a、b、c均為正數(shù)，且ab+c，ba+c，ca+b，在此基礎(chǔ)上我們?cè)贅?gòu)造a2、b2、c2。 證法一：在ABC中，a、b、c為三邊 ab+c，ba+c，ca+b 證法二：在ABC中，a、b、c為三邊 說(shuō)明：由a、b、c是ABC的三邊，挖出a、b、c均為正，且兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來(lái)供求證明使用。 例3. 已知：a、b、c是不全相等的正數(shù)。 分析： 由于要證的不等式兩邊均為以10為底的對(duì)數(shù)，所以逆用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，這個(gè)不等式應(yīng) 又以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù) 證明：a、b、c是不全相等的正數(shù) a、b、c是不全相等的正數(shù) 式中至少有一個(gè)不取“”號(hào) 給上式兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù) （三）分析法：分析法就是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能肯定這些充分條件都已具備，那么就可以判定原不等式成立。 分析法的特點(diǎn)：執(zhí)果索因。 例1. 解析： 分析法有兩種書寫格式： （1）使用“連接”關(guān)鍵詞，如“為了證明”，“只需證明”，“即證”等。 證明： 所證不等式成立 例2. 解析： 這是一個(gè)含兩個(gè)不等號(hào)的連不等式，因此得分別證明兩個(gè)不等號(hào)都成立。 證明： 同時(shí)，練習(xí)一下書寫格式。 1. ，求證： 2. 已知：x、y、z是互不相等的正數(shù)，且。 求證： 3. 已知：，求證： 4. 且，求證：（要求用三種方法）參考答案 1. 這是一個(gè)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的不等式，顯然是用作差比較法。 2. 先把每一個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)通分看看，即，再把1換為x+y+z x、y、z均為正數(shù)且x+y+z=1 同理， 則可得出要證的不等式： 3.